2024届湖南省高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以集合，由，可得，所以，所以.故选:C.2.已知复数满足，且是纯虚数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗设，其中，是实数，则由，得，所以，则，又因为是纯虚数，所以，解得，即，所以.故选：B.3.已知，平面向量，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,故，当时，最小，此时由二次函数性质得，故，故的最小值为，故A正确.故选：A4.已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，，所以.故选：D.5.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗观察图象知，函数单调递减，即，于是，而函数图象与轴相切，则从大于0的方向趋于0时，趋于负无穷大，也即趋于0，又，因此，所以，.故选：D6.一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗经过变换得到.由题意，，，所以回归方程的图象经过，从而，所以，.故选：B7.已知，，，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，，所以，且，，当且仅当取等号.故选：C.8.已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面，则该八面体的体积为（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗B〖解析〗如图，取的中点，作，垂足分别为，，连接，，，，，平面平面，所以是直角，易知为外接球直径，点在球上，所以为直角，.在中，，在中，，联立可得，所以，，，八面体的体积.故选：B.二、选择题9.若随机变量服从标准正态分布，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，B,因为，所以，A正确，B错误对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,,故选：AD.10.已知，，则函数的单调区间有（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为，，所以.的单调区间为，.对于A，，错误.对于B，，正确对于C，，正确.对于D，，错误故选：BC11.已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，点关于的对称点是，因为的图象关于对称，该点在函数的图象上，所以，故A正确.对于B，因为为奇函数，所以，将替换为有，则.又的图象关于对称，所以，则，故B正确.对于C，在中将替换为有，由B知，，两式相减得到，故C错误.因为为奇函数，所以，又图象关于对称，从而，故由C得，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗易知，所以，离心率为.故〖答案〗为：13.在中，，，，则的面积为______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知，即，解得；所以的面积为.故〖答案〗为：14.已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为__________.〖答案〗77〖解析〗在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项，（1）求的值，并求数列的通项公式：（2）若，求使成立的正整数n的最小值．解：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意有，代入，可得，代入得，，解之得或（舍去）数列的通项公式为．（2），，①②，由②①得，，由得，，则，易知：当时，，当时，，故使成立的正整数的最小值为．16.如图，在三棱锥中，，，为中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，，且，求二面角的大小．（1）证明：因为，且为中点，所以，因为，且为中点，所以，因为，且为中点，所以，因为，，，所以，所以，，所以平面.（2）解：因为，且为中点，所以，从而，，两两垂直，如图，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空间直角坐标系，易知，，，，设，由，即，可求得，所以，，不妨设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的大小为．17.已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.（1）求双曲线的方程；（2）已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.（1）解：双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，所以，即，又，从而，所以双曲线的方程为；（2）证明：显然直线不与轴平行，可设其方程为，由，得，设，，则由韦达定理可得，，因为，所以，即，整理得，即，而显然直线不经过点，所以，，故直线经过定点，得证.（3）解：设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，此时，所以点到直线距离的最大值为.18.已知函数，，函数，有两条不同的公切线（与，均相切的直线），.（1）求实数的取值范围；（2）记，在轴上的截距分别为，，证明：.（1）解：设直线：同时与，的图象相切，切点分别为，，由，知，，，且，，则可同时表示为在的切线方程和在的切线方程，即和，两条直线相同，故它们具有相同的斜率和截距，所以①，②，结合①②有（）.设，则由有.从而在上单调递增，在上单调递减，最大值为.可作出的大致图象如下，它与有两个交点，所以，解得.所以实数的取值范围为.（2）证明：设，与的切点坐标分别为，不妨设，则由（1）知，且，要证明，即证明.（方法一）因为，所以，设，，则，所以（），只需要证明，即.设（），则，所以在上单调递增，，则成立，从而.故成立，证毕.（方法二）在上单调递增，在上单调递减，所以.要证明即，注意到，均在区间，故由的单调性，只要证明，即，整理得.设（），则.从而在时单调递增，所以，从而成立、故成立，证毕.19.五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.（1）若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；（2）记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有（1）解：依题可知，的可能取值为.，，，所以，的分布列如下：024所以，．（2）解：依题可知，时，，所以时胜利概率最大.（3）证明：记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”.下面我们对事件进行分析.发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走，这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走，从而机器人第2步到第步向前和向后行走步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，，所以．由于，，故等式成立．湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以集合，由，可得，所以，所以.故选:C.2.已知复数满足，且是纯虚数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗设，其中，是实数，则由，得，所以，则，又因为是纯虚数，所以，解得，即，所以.故选：B.3.已知，平面向量，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,故，当时，最小，此时由二次函数性质得，故，故的最小值为，故A正确.故选：A4.已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，，所以.故选：D.5.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗观察图象知，函数单调递减，即，于是，而函数图象与轴相切，则从大于0的方向趋于0时，趋于负无穷大，也即趋于0，又，因此，所以，.故选：D6.一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗经过变换得到.由题意，，，所以回归方程的图象经过，从而，所以，.故选：B7.已知，，，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，，所以，且，，当且仅当取等号.故选：C.8.已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面，则该八面体的体积为（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗B〖解析〗如图，取的中点，作，垂足分别为，，连接，，，，，平面平面，所以是直角，易知为外接球直径，点在球上，所以为直角，.在中，，在中，，联立可得，所以，，，八面体的体积.故选：B.二、选择题9.若随机变量服从标准正态分布，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，B,因为，所以，A正确，B错误对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,,故选：AD.10.已知，，则函数的单调区间有（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为，，所以.的单调区间为，.对于A，，错误.对于B，，正确对于C，，正确.对于D，，错误故选：BC11.已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，点关于的对称点是，因为的图象关于对称，该点在函数的图象上，所以，故A正确.对于B，因为为奇函数，所以，将替换为有，则.又的图象关于对称，所以，则，故B正确.对于C，在中将替换为有，由B知，，两式相减得到，故C错误.因为为奇函数，所以，又图象关于对称，从而，故由C得，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗易知，所以，离心率为.故〖答案〗为：13.在中，，，，则的面积为______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知，即，解得；所以的面积为.故〖答案〗为：14.已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为__________.〖答案〗77〖解析〗在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项，（1）求的值，并求数列的通项公式：（2）若，求使成立的正整数n的最小值．解：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意有，代入，可得，代入得，，解之得或（舍去）数列的通项公式为．（2），，①②，由②①得，，由得，，则，易知：当时，，当时，，故使成立的正整数的最小值为．16.如图，在三棱锥中，，，为中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，，且，求二面角的大小．（1）证明：因为，且为中点，所以，因为，且为中点，所以，因为，且为中点，所以，因为，，，所以，所以，，所以平面.（2）解：因为，且为中点，所以，从而，，两两垂直，如图，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空间直角坐标系，易知，，，，设，由，即，可求得，所以，，不妨设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的大小为．17.已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.（1）求双曲线的方程；（2）已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；（3）在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.（1）解：双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，所以，即，又，从而，所以双曲线的方程为；（2）证明：显然直线不与轴平行，可设其方程为，由，得，设，，则由韦达定理可得，，因为，所以，即，整理得，即，而显然直线不经过点，所以，，故直线经过定点，得证.（3）解：设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，此时，所以点到直线距离的最大值为.18.已知函数，，函数，有两条不同的公切线（与，均相切的直线），.（1）求实数的取值范围；（2）记，在轴上的截距分别为，，证明：.（1）解：设直线：同时与，的图象相切，切点分别为，，由，知，，，且，，则可同时表示为在的切线方程和在的切线方程，即和，两条直线相同，故它们具有相同的斜率和截距，所以①，②，结合①②有（）.设，则由有.从而在上单调递增，在上单调递减，最大值为.可作出的大致图象如下，它与有两个交点，所以，解得.所以实数的取值范围为.（2）证明：设，与的切点坐标分别为，不妨设，则由（1）知，且，要证明，即证明.（方法一）因为，所以，设，，则，所以（），只需要证明，即.设（），则，所以在上单调递增，，则成立，从而.故成立，证毕.（方法二）在上单调递增，在上单调递减，所以.要证明即，注意到，均在区间，故由的单调性，只要证明，即，整理得.设（），则.从而在时单调递增，所以，从而成立、故成立，证毕.19.五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机