2024届河北省承德市部分示范性高中高三下学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省承德市部分示范性高中2024届高三下学期二模数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合中，所以或，集合中，所以，故选：A.2.已知，则复数对应的复平面上的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以的对应点为，在第四象限.故选：D.3.设为实数，若函数在处取得极小值，则（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由题可得，令，解得；或，因为函数在处取得极小值，所以，即，当时，，或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意.故选：B.4.在中，为中点，连接，设为中点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，故选：D.5.函数的图象的对称轴方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，，解得，故选：C.6.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（）A.97个 B.91个C.84个 D.75个〖答案〗C〖解析〗在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个.故选：C.7.已知函数，若满足，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，函数，定义域为，又因为，所以函数为偶函数，所以，故满足，当时，，因为在单调递增，且，所以，因此在上单调递增，在上单调递减，注意到，因此，即，解出的取值范围是.故选：D.8.已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得直线，与圆方程联立，得，可求出点，同理得点，由于在直线上，因此，化简后得，显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则，再联立直线与直线，则点，因此，则，即，A选项正确，BD选项错误，，即，C选项错误.故选：A.二､多选题9.对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（）A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”C.若且，则D.若且，则是等比数列前项和〖答案〗AB〖解析〗数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故A正确；数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故B正确；设，则，解出，则，因此，故错误；若且，则，数列的前项和为0，显然D错误.故选：.10.已知直线与抛物线相交于两点，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，线段的中点到准线的距离为，焦点为为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若直线过抛物线的焦点，则D.若，直线的斜率之积为4，则直线的斜率为〖答案〗ACD〖解析〗对A，因为，所以，即，故A正确；对B，设直线，由可得点，由于，则直线，同理求出点，因此，故B错误；对C，设直线的方程为，由可得，则，因此，故C正确；对D，设直线的方程为，由可得，则，且，由于，因此，因为直线，的斜率之积为4，则，因此，满足，故直线的斜率为，故D正确，故选：ACD.11.如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（）A.是平面的一个法向量BC.点到平面的距离为D.二面角的正弦值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因为，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，在中，因为，则，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故错误；对于C，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由B选择可知，，，所以，故，设为平面的法向量，则，令，则，设点到平面的距离为，所以由点到平面的距离公式得：，故C正确；对于D，由C选项中坐标可知，为平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，则令，所以，因此二面角的正弦值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.函数在处的切线的斜率为__________.〖答案〗〖解析〗函数，有，则.所以函数在处的切线的斜率为.故〖答案〗为：.13.已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗由于直线的斜率为2，因此，又，故，由双曲线定义得，因此，又，所以，故双曲线的离心率为，故〖答案〗为：.14.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗，，所以，而，因此原式.故〖答案〗为：.四､解答题15.已知正项数列的前项和为，满足，数列满足，.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项和.解：（1）由可得，又，，所以，当为偶数时，令，则，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以；当为奇数时，令，则，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以；综上所述，；（2）由（1）得，则，由，可得，因为是一个递增数列，所以，故，，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.16.第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：成绩区间频数201802002802208020（1）求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；（2）根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.解：（1）.（2）随机抽取一位同学成绩不低于60分的频率为，由题意可知，，则，所以的分布列为0123.17.如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.（1）证明：由题意知为等腰直角三角形，又为的中点，所以，，，由，解得，当时，有，即，而平面，故平面；（2）解：以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，又，所以所以，，所以，于是，设平面的法向量为，则，不妨取，解得，设，则，，因为为中点，为中点，所以，又平面，平面，所以平面，平面和平面的交线为，平面，所以，又为上异于的一点，所以，即与共线，设为，则，故，因此.设直线与平面所成角为，则，化简得，解得或，当时，则，当时，则，因此或.18.已知椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是，过左焦点的直线与椭圆交于两点，过左焦点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的取值范围.解：（1）由题意得解得，则，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，左焦点，当直线斜率不存在或者斜率为0时，，当直线斜率存在且不为0时，设直线，直线，，联立方程组整理得，则，因此，同理可得，所以，由于，当且仅当时等号成立，则，综上所述，的取值范围为.19.给定一个元函数组：，若对任意正整数，均有，则把称作该函数组的“初始函数”.已知是函数组，的“初始函数”，且.（1）求函数的单调区间；（2）设，记，数列的前项和为.是三个互不相等的正整数，若，求除以4的余数.解：（1）根据题意可知，，函数的定义域为，令，即，解得：，即函数的单调递增区间为：，令，即，解得：，所以函数的单调递减区间为：，故函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：，（2）因为，所以，当时当时，，易得：又因为，即，可得，，，12，356，7910，1113①若均能被4整除，，满足题意，余数为0；②若只有1个被4整除，不妨设，则有，符合题意的其中一个除以4余1，另一个除以4余2或3，此时除以4的余数为0或3；下面说明当都不能被4整除时，不符合题意.将问题加强为：在数列中任取三项，不妨设，（其中等号不能同时成立），均无法满足，当或者时，显然不成立；②当时，同除以，即，左边为奇数，右边为偶数，也无法成立.综上所述，当满足时，除以4的余数为0或3.河北省承德市部分示范性高中2024届高三下学期二模数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合中，所以或，集合中，所以，故选：A.2.已知，则复数对应的复平面上的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以的对应点为，在第四象限.故选：D.3.设为实数，若函数在处取得极小值，则（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由题可得，令，解得；或，因为函数在处取得极小值，所以，即，当时，，或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意.故选：B.4.在中，为中点，连接，设为中点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，故选：D.5.函数的图象的对称轴方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，，解得，故选：C.6.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（）A.97个 B.91个C.84个 D.75个〖答案〗C〖解析〗在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个.故选：C.7.已知函数，若满足，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，函数，定义域为，又因为，所以函数为偶函数，所以，故满足，当时，，因为在单调递增，且，所以，因此在上单调递增，在上单调递减，注意到，因此，即，解出的取值范围是.故选：D.8.已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得直线，与圆方程联立，得，可求出点，同理得点，由于在直线上，因此，化简后得，显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则，再联立直线与直线，则点，因此，则，即，A选项正确，BD选项错误，，即，C选项错误.故选：A.二､多选题9.对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（）A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”C.若且，则D.若且，则是等比数列前项和〖答案〗AB〖解析〗数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故A正确；数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故B正确；设，则，解出，则，因此，故错误；若且，则，数列的前项和为0，显然D错误.故选：.10.已知直线与抛物线相交于两点，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，线段的中点到准线的距离为，焦点为为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若直线过抛物线的焦点，则D.若，直线的斜率之积为4，则直线的斜率为〖答案〗ACD〖解析〗对A，因为，所以，即，故A正确；对B，设直线，由可得点，由于，则直线，同理求出点，因此，故B错误；对C，设直线的方程为，由可得，则，因此，故C正确；对D，设直线的方程为，由可得，则，且，由于，因此，因为直线，的斜率之积为4，则，因此，满足，故直线的斜率为，故D正确，故选：ACD.11.如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（）A.是平面的一个法向量BC.点到平面的距离为D.二面角的正弦值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因为，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，在中，因为，则，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故错误；对于C，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由B选择可知，，，所以，故，设为平面的法向量，则，令，则，设点到平面的距离为，所以由点到平面的距离公式得：，故C正确；对于D，由C选项中坐标可知，为平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，则令，所以，因此二面角的正弦值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.函数在处的切线的斜率为__________.〖答案〗〖解析〗函数，有，则.所以函数在处的切线的斜率为.故〖答案〗为：.13.已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗由于直线的斜率为2，因此，又，故，由双曲线定义得，因此，又，所以，故双曲线的离心率为，故〖答案〗为：.14.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗，，所以，而，因此原式.故〖答案〗为：.四､解答题15.已知正项数列的前项和为，满足，数列满足，.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项和.解：（1）由可得，又，，所以，当为偶数时，令，则，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以；当为奇数时，令，则，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以；综上所述，；（2）由（1）得，则，由，可得，因为是一个递增数列，所以，故，，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.16.第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：成绩区间频数201802002802208020（1）求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；（2）根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.解：（1）.（2）随机抽取一位同学成绩不低于60分的频率为，由题意可知，，则，所以的分布列为0123.17.如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.（1）证明：由题意知为等腰直角三角形，又为的中点，所以，，，由，解得，当时，有，即，而平面，故平面；（2）解：以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，又，所以所以，，所以，于是，设平面的法向量为，则，不妨取，解得，设，则，，因为为中点，为中点，所以，又平面，平面，所以平面，平面和平面的交线为，平面，所以，又为上异于的一点，所以，即与共线，