2024届广东省深圳市高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广东省深圳市2024届高三二模数学试题一、选择题1.已知n为正整数，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，显然，当时，，即，因此当时，，所以n为正整数，且，有.故选：C.2.已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形〖答案〗A〖解析〗连接，因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证明，因为，平面，故平面，故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.3.对于任意集合，下列关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于：如图所知，为区域①，所以，故错误；对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确；对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误；对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误；故选：.4.已知，且，则函数图象一定经过（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限〖答案〗D〖解析〗当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限；则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D5.已知，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以，所以.故选：B6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（）A.72种 B.96种 C.144种 D.288种〖答案〗C〖解析〗由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种，若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种，所以所有符合条件的可能是种.故选：C.7.P是椭圆C：（）上一点,、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，设，，延长交于A，由题意知，O为的中点，故为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，即，代入得，即，由所以，所以，.故选：C.8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B二、选择题9.已知m，n是异面直线，，，那么（）A.当，或时，B.当，且时，C.当时，，或D当，不平行时，m与不平行，且n与不平行〖答案〗AB〖解析〗A：当，时，；当，时，，故A正确；B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确；C：当时，由，得或与相交；当时，由，得或与相交，故C错误；D：当不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误.故选：AB10.已知函数（，）的最大值为，其部分图象如图所示，则（）A.B.函数为偶函数C.满足条件的正实数，存在且唯一D.是周期函数，且最小正周期为〖答案〗ACD〖解析〗因为（其中、），又，解得，又，所以，故A正确；则，又，即，结合图象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正确；所以，则为奇函数，故B错误；是周期函数，且最小正周期，故D正确.故选：ACD.11.设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗ABD〖解析〗由，得该圆心为，半径为，易知该圆过原点，由，当时，得，作出函数的图象，如图，由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有1个交点，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有4个交点，根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.故选：ABD.三、填空题12.已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________．〖答案〗5〖解析〗由题意知，，所以，由，得，所以.故〖答案〗为：513.已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为_____________．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．〖答案〗〖解析〗由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：设圆锥高为，母线长为，则在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圆锥的表面积为.故〖答案〗为：.14.已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为_____________；的取值范围为_____________．〖答案〗〖解析〗如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.根据三角形内心的性质可知，，又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，所以，即，因为，所以，所以，所以点在双曲线的左支上，所以.而，所以，所以为双曲线的左顶点.所以，所以，即，所以，渐近线的倾斜角为，所以两条渐近线的夹角为.又因为，所以，而，所以.故〖答案〗为：；四、解答题15.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．（1）证明：平面ABC；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取BC的中点M，连结MA、．因为，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因为平面，所以，又因为，所以，因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.（2）解：法一：因为，且，所以．以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.法二：将直三棱柱补成长方体．连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，因为平面，且平面，所以，又因为，由于BD，平面，且，所以平面，则为直角三角形，由于平面，所以，因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因为平面CPQ，所以，则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，在中，由等面积法可得,因为，所以，因此平面与平面夹角的余弦值为.16.已知函数，是的导函数，且．（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：．（1）解：因为，所以，因为，所以．则曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即得，．（2）证明：设函数，，则，设，则，所以，当时，，单调递增．又因，所以，时，，单调递增；时，，单调递减．又当时，，综上在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，．17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明：．（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，则，，，计算得．所以．X的可能取值为0，1，2，3，，，，，，．所以，X的分布列为：X0123P（2）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以．即．因为，，所以．因为，，所以．即得，所以．即．又因为，，所以．因为，，所以．即得证．18.设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．（1）求C的方程；（2）若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．（1）解：设点，，由题可知，当时，显然有；当时，直线OM的方程为，点．联立直线AB与C的方程得，，所以，，因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以．即，，化简得．将代入上式得，则，所以曲线C的方程为．（2）证明：（法一）设直线：，联立C的方程，得．由，得，点，设AB的中点为E，因为，，则点．因为，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的．记△AMN的面积为S，点到直线AB：的距离，所以，当时，等号成立．所以命题得证．（法二）设直线：，联立C的方程，得．由，得，点．所以直线MN与x轴垂直．记△AMN的面积为S，所以．当时，等号成立．所以命题得证．19.无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果且，求m，n值；（3）记，，求一个正整数n，满足．解：（1）根据题意，，，，，，，．（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．当时，因为，所以，故；当时，因为，而n为奇数，，所以．又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．所以．而，所以，即，，无解．所以．（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．所以，n为正奇数．又，所以．设或，．当时，，不满足；当时，，即．所以，取，时，即．广东省深圳市2024届高三二模数学试题一、选择题1.已知n为正整数，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，显然，当时，，即，因此当时，，所以n为正整数，且，有.故选：C.2.已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形〖答案〗A〖解析〗连接，因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证明，因为，平面，故平面，故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.3.对于任意集合，下列关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于：如图所知，为区域①，所以，故错误；对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确；对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误；对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误；故选：.4.已知，且，则函数图象一定经过（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限〖答案〗D〖解析〗当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限；则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D5.已知，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以，所以.故选：B6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（）A.72种 B.96种 C.144种 D.288种〖答案〗C〖解析〗由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种，若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种，所以所有符合条件的可能是种.故选：C.7.P是椭圆C：（）上一点,、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，设，，延长交于A，由题意知，O为的中点，故为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，即，代入得，即，由所以，所以，.故选：C.8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B二、选择题9.已知m，n是异面直线，，，那么（）A.当，或时，B.当，且时，C.当时，，或D当，不平行时，m与不平行，且n与不平行〖答案〗AB〖解析〗A：当，时，；当，时，，故A正确；B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确；C：当时，由，得或与相交；当时，由，得或与相交，故C错误；D：当不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误.故选：AB10.已知函数（，）的最大值为，其部分图象如图所示，则（）A.B.函数为偶函数C.满足条件的正实数，存在且唯一D.是周期函数，且最小正周期为〖答案〗ACD〖解析〗因为（其中、），又，解得，又，所以，故A正确；则，又，即，结合图象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正确；所以，则为奇函数，故B错误；是周期函数，且最小正周期，故D正确.故选：ACD.11.设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗ABD〖解析〗由，得该圆心为，半径为，易知该圆过原点，由，当时，得，作出函数的图象，如图，由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有1个交点，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有4个交点，根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.故选：ABD.三、填空题12.已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________．〖答案〗5〖解析〗由题意知，，所以，由，得，所以.故〖答案〗为：513.已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为_____________．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．〖答案〗〖解析〗由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：设圆锥高为，母线长为，则在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圆锥的表面积为.故〖答案〗为：.14.已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为_____________；的取值范围为_____________．〖答案〗〖解析〗如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.根据三角形内心的性质可知，，又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，所以，即，因为，所以，所以，所以点在双曲线的左支上，所以.而，所以，所以为双曲线的左顶点.所以，所以，即，所以，渐近线的倾斜角为，所以两条渐近线的夹角为.又因为，所以，而，所以.故〖答案〗为：；四、解答题15.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．（1）证明：平面ABC；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取BC的中点M，连结MA、．因为，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因为平面，所以，又因为，所以，因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.（2）解：法一：因为，且，所以．以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.法二：将直三棱柱补成长方体．连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，因为平面，且平面，所以，又因为，由于BD，平面，且，所以平面，则为直角三角形，由于平面，所以，因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因为平面CPQ，所以，则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，在中，由等面积法可得,因为，所以，因此平面与平面夹角的余弦值为.16.已知函数，是的导函数，且．（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：．（1）解：因为，所以，因为，所以．则曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即得，．（2）证明：设函数，，则，设，则，所以，当时，，单调递增．又因，所以，时，，单调递增；时，，单调递减．又当时，，综上在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，．17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明：．（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，则，，，计算得．所以．X的可能取值为0，1，2，