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高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果两条直线与没有公共点,那么与()A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行,也可能是异面直线〖答案〗D〖解析〗根据空间中两条直线的位置关系,可得如果两条直线与没有公共点,那么与可能平行,也可能是异面直线.故选:D.2.若,是两个单位向量,则下列结论中正确的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,是两个单位向量,则,但,方向不能确定,故选项AB错误;,只有,同向共线时,才有,故选项C错误;,,,选项D正确.故选:D.3.已知空间3条不同的直线m,n,l和平面,则下列说法正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则〖答案〗C〖解析〗A选项,若,,则或相交或异面,A错误;B选项,若,,则或,B错误;C选项,若,不妨设,则,又,,则,所以,C正确;D选项,若,,则,或相交,D错误.故选:C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上,30分钟后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上,则灯塔S与B之间的距离为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知,,,由正弦定理得,,解得.故选:B.5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图,得到边长为2的等边三角形,则原的面积为()A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直观图是边长为2的等边三角形,且的面积为,所以原的面积为.故选:B.6.在矩形ABCD中,已知,,点P在CD边上,满足,则()A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如图建立平面直角坐标系,,设,则,所以,得,所以,所以.故选:C.7.已知,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意,,则,所以.故选:A.8.在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,,则异面直线OM与AP所成角的余弦值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图,过点A作,交圆O于点N,连接ON,PN,则即异面直线OM与AP所成角或其补角,设,可知,则,因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以,在中,由余弦定理得,,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.故选:A.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知向量,,则下列说法中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则,的夹角为钝角D.若,则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗向量,,对于A,由,得,解得,A正确;对于B,由,得,则,B正确;对于C,当时,,反向共线,夹角为,此时,的夹角不为钝角,C错误;对于D,当时,,因此在上的投影向量为,在上的投影向量的坐标为,D正确.故选:ABD.10.下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A,因为,即,又,故角为锐角,但无法确定另两个角的范围,故不一定是锐角三角形,故A错误;对于B:因为,若,则或,又,则除了角为钝角外,还有一角为钝角,矛盾;同理都不可能,故,,,即三个角均为锐角,故B正确:对于C,因为,由正弦定理得,令,则,显然最大角为,且,所以最大角为锐角,所以一定是锐角三角形,故C正确;对于D,因为,又且不能同时为钝角,所以,,即均为锐角,又,所以也为锐角,所以一定为锐角三角形,故D正确.故选:BCD.11.在棱长为2的正方体中,分别是,,的中点,则下列正确的是()A.平面B.平面C.多面体是棱台D.平面截正方体所得截面的面积为〖答案〗AC〖解析〗对于A,取中点,连接,由正方体得四边形为平行四边形,所以,因为点为的中点,所以,又,所以四边形为平行四边形,所以,所以,因为平面,平面,所以平面,故A正确;对于B,取中点,连接,则,所以,所以,所以,由正方体得,平面,又平面,所以,因为,,平面,,所以平面,又,所以与平面不垂直,故B错误;对于C,由正方体得,平面平面,即平面平面,由棱台的定义可知,多面体是棱台,故C正确;对于D,设直线与直线交于点,连接与交于点,与直线交于点,连接交于点,连接,则五边形即为平面截正方体所得截面,因为,所以,,因为,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,,所以,所以,所以,因为,,所以,故D错误.故选:AC.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.一个圆台的母线长为5,上、下底面圆直径长分别为2,8,则圆台的高为________.〖答案〗4〖解析〗由题意得,圆台的轴截面为等腰梯形,其中上底长为2,下底长为8,腰长为5,如图所示:作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,∴高h=.故〖答案〗:4.13.若,则________.〖答案〗1〖解析〗由题意可知,.故〖答案〗为:1.14.在△ABC中,,P是MC的中点,延长AP交BC于点D.若,则________;若,,则△ABC面积的最大值为________.〖答案〗〖解析〗第一空:因为P是MC的中点,所以,又因为,所以,所以,即,所以;第二空:设,则,因为点D在BC上,所以,即,所以,所以,因为,即,设分别为所对边,所以,即,因为,当且仅当时取等号,所以,即,所以,因此△ABC面积的最大值为为.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量,满足,,求:(1);(2)向量与的夹角的余弦值.解:(1)由已知有,故,所以.(2)由已知有,及,故.16.已知四棱锥中,底面ABCD是梯形,,,,,,M,N分别是PD,BC的中点.求证:(1)平面PBC;(2).解:(1)如图,取的中点,连接,因为M是PD的中点,所以,,又,,所以,,所以四边形是平行四边形,所以,因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.(2)连接,因为,N是BC的中点,所以,在中,,,,所以,由条件,所以,又N是BC的中点,所以,因为DN,平面PDN,,所以平面PDN,因为平面PDN,所以.17.已知,,且,,求:(1)的值;(2)的值.解:(1)由,解得,所以.(2),由,,得,所以,因为,,所以,所以,又,,所以,所以,所以,所以.18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并完成解答.记的内角,,的对边分别为,,,面积为,外接圆的半径为,且满足________,点在边上.(1)求的值;(2)若,,求当取最小值时的值;(3)若,,求.解:(1)若选①:在中,由正弦定理,得,,,因为,所以,即(*),因为,所以,所以(*)式可化为.因为,所以,所以,若选②:由,可得,所以,又,所以,则,所以,所以,所以,若选③:在中,由余弦定理,面积,又,所以,所以,又,,则,所以(正值已舍去).(2)由,得,由条件,,所以面积,所以,又由余弦定理,得,当且仅当时取等号,所以或(舍去),所以当且仅当时取最小值,此时取得最小值且,由,即,所以.(3)由条件,所以,,又,分别在和中,有,所以,即,化简得,又,所以,,所以.19.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状,如果三角形的三个内角均小于,费马点是三角形内部对三边张角均为的点;如果三角形有一个内角大于或等于,费马点就是该内角所在的顶点.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为费马点.(1)若,,,求的值;(2)若,,求的最大值.解:(1)在△ABC中,,,,所以C是最大角.由.因为,所以,所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点.设△ABC的面积为S,则,又由,得,所以.所以,即,所以.(2)在△ABC中,因为,,所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点,设,则,,所以,设,,,在△AOB与△AOC中,由正弦定理可得,,所以,在△BOC中,由余弦定理可得,,所以,即.当且仅当时,mn取得最大值,所以取得最大值.江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果两条直线与没有公共点,那么与()A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行,也可能是异面直线〖答案〗D〖解析〗根据空间中两条直线的位置关系,可得如果两条直线与没有公共点,那么与可能平行,也可能是异面直线.故选:D.2.若,是两个单位向量,则下列结论中正确的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,是两个单位向量,则,但,方向不能确定,故选项AB错误;,只有,同向共线时,才有,故选项C错误;,,,选项D正确.故选:D.3.已知空间3条不同的直线m,n,l和平面,则下列说法正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则〖答案〗C〖解析〗A选项,若,,则或相交或异面,A错误;B选项,若,,则或,B错误;C选项,若,不妨设,则,又,,则,所以,C正确;D选项,若,,则,或相交,D错误.故选:C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上,30分钟后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上,则灯塔S与B之间的距离为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知,,,由正弦定理得,,解得.故选:B.5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图,得到边长为2的等边三角形,则原的面积为()A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直观图是边长为2的等边三角形,且的面积为,所以原的面积为.故选:B.6.在矩形ABCD中,已知,,点P在CD边上,满足,则()A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如图建立平面直角坐标系,,设,则,所以,得,所以,所以.故选:C.7.已知,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意,,则,所以.故选:A.8.在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,,则异面直线OM与AP所成角的余弦值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图,过点A作,交圆O于点N,连接ON,PN,则即异面直线OM与AP所成角或其补角,设,可知,则,因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以,在中,由余弦定理得,,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.故选:A.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知向量,,则下列说法中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则,的夹角为钝角D.若,则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗向量,,对于A,由,得,解得,A正确;对于B,由,得,则,B正确;对于C,当时,,反向共线,夹角为,此时,的夹角不为钝角,C错误;对于D,当时,,因此在上的投影向量为,在上的投影向量的坐标为,D正确.故选:ABD.10.下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A,因为,即,又,故角为锐角,但无法确定另两个角的范围,故不一定是锐角三角形,故A错误;对于B:因为,若,则或,又,则除了角为钝角外,还有一角为钝角,矛盾;同理都不可能,故,,,即三个角均为锐角,故B正确:对于C,因为,由正弦定理得,令,则,显然最大角为,且,所以最大角为锐角,所以一定是锐角三角形,故C正确;对于D,因为,又且不能同时为钝角,所以,,即均为锐角,又,所以也为锐角,所以一定为锐角三角形,故D正确.故选:BCD.11.在棱长为2的正方体中,分别是,,的中点,则下列正确的是()A.平面B.平面C.多面体是棱台D.平面截正方体所得截面的面积为〖答案〗AC〖解析〗对于A,取中点,连接,由正方体得四边形为平行四边形,所以,因为点为的中点,所以,又,所以四边形为平行四边形,所以,所以,因为平面,平面,所以平面,故A正确;对于B,取中点,连接,则,所以,所以,所以,由正方体得,平面,又平面,所以,因为,,平面,,所以平面,又,所以与平面不垂直,故B错误;对于C,由正方体得,平面平面,即平面平面,由棱台的定义可知,多面体是棱台,故C正确;对于D,设直线与直线交于点,连接与交于点,与直线交于点,连接交于点,连接,则五边形即为平面截正方体所得截面,因为,所以,,因为,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,,所以,所以,所以,因为,,所以,故D错误.故选:AC.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.一个圆台的母线长为5,上、下底面圆直径长分别为2,8,则圆台的高为________.〖答案〗4〖解析〗由题意得,圆台的轴截面为等腰梯形,其中上底长为2,下底长为8,腰长为5,如图所示:作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,∴高h=.故〖答案〗:4.13.若,则________.〖答案〗1〖解析〗由题意可知,.故〖答案〗为:1.14.在△ABC中,,P是MC的中点,延长AP交BC于点D.若,则________;若,,则△ABC面积的最大值为________.〖答案〗〖解析〗第一空:因为P是MC的中点,所以,又因为,所以,所以,即,所以;第二空:设,则,因为点D在BC上,所以,即,所以,所以,因为,即,设分别为所对边,所以,即,因为,当且仅当时取等号,所以,即,所以,因此△ABC面积的最大值为为.故〖答案〗为:.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量,满足,,求:(1);(2)向量与的夹角的余弦值.解:(1)由已知有,故,所以.(2)由已知有,及,故.16.已知四棱锥中,底面ABCD是梯形,,,,,,M,N分别是PD,BC的中点.求证:(1)平面PBC;(2).解:(1)如图,取的中点,连接,因为M是PD的中点,所以,,又,,所以,,所以四边形是平行四边形,所以,因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.(2)连接,因为,N是BC的中点,所以,在中,,,,所以,由条件,所以,又N是BC的中点,所以,因为DN,平面PDN,,所以平面PDN,因为平面PDN,所以.17.已知,,且,,求:(1)的值;(2)的值.解:(1)由,解得,所以.(2),由,,得,所以,因为,,所以,所以,又,,所以,所以,所以,所以.18.在①,②,③这三个条
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