2023-2024学年江苏省南通市高一下学期5月质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果两条直线与没有公共点，那么与（）A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线〖答案〗D〖解析〗根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线.故选：D.2.若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，故选项AB错误；，只有，同向共线时，才有，故选项C错误；，，，选项D正确.故选：D.3.已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗A选项，若，，则或相交或异面，A错误；B选项，若，，则或，B错误；C选项，若，不妨设，则，又，，则，所以，C正确；D选项，若，，则，或相交，D错误.故选：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，由正弦定理得，，解得.故选：B.5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直观图是边长为2的等边三角形，且的面积为，所以原的面积为.故选：B.6.在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如图建立平面直角坐标系，，设，则，所以，得，所以，所以.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，则，所以.故选：A.8.在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN，则即异面直线OM与AP所成角或其补角，设，可知，则，因为轴截面PAB为等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则，的夹角为钝角D.若，则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗向量，，对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，得，则，B正确；对于C，当时，，反向共线，夹角为，此时，的夹角不为钝角，C错误；对于D，当时，，因此在上的投影向量为，在上的投影向量的坐标为，D正确.故选：ABD.10.下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，即，又，故角为锐角，但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误；对于B：因为，若，则或，又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三个角均为锐角，故B正确：对于C，因为，由正弦定理得，令，则，显然最大角为，且，所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故C正确；对于D，因为，又且不能同时为钝角，所以，，即均为锐角，又，所以也为锐角，所以一定为锐角三角形，故D正确．故选：BCD．11.在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（）A.平面B.平面C.多面体是棱台D.平面截正方体所得截面的面积为〖答案〗AC〖解析〗对于A，取中点，连接，由正方体得四边形为平行四边形，所以，因为点为的中点，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，取中点，连接，则，所以，所以，所以，由正方体得，平面，又平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误；对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确；对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面，因为，所以，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，所以，所以，所以，因为，，所以，故D错误.故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．〖答案〗4〖解析〗由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：作CD⊥AB与E，则CE为圆台的高h，∴高h＝.故〖答案〗：4.13.若，则________．〖答案〗1〖解析〗由题意可知，.故〖答案〗为：1.14.在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．〖答案〗〖解析〗第一空：因为P是MC的中点，所以，又因为，所以，所以，即，所以；第二空：设，则，因为点D在BC上，所以，即，所以，所以，因为，即，设分别为所对边，所以，即，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，因此△ABC面积的最大值为为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如图，取的中点，连接，因为M是PD的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.（2）连接，因为，N是BC的中点，所以，在中，，，，所以，由条件，所以，又N是BC的中点，所以，因为DN，平面PDN，，所以平面PDN，因为平面PDN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因为，，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以．18.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，外接圆的半径为，且满足________，点在边上．（1）求的值；（2）若，，求当取最小值时的值；（3）若，，求．解：（1）若选①：在中，由正弦定理，得，，，因为，所以，即（*），因为，所以，所以（*）式可化为．因为，所以，所以，若选②：由，可得，所以，又，所以，则，所以，所以，所以，若选③：在中，由余弦定理，面积，又，所以，所以，又，，则，所以（正值已舍去）.（2）由，得，由条件，，所以面积，所以，又由余弦定理，得，当且仅当时取等号，所以或（舍去），所以当且仅当时取最小值，此时取得最小值且，由，即，所以.（3）由条件，所以，，又，分别在和中，有，所以，即，化简得，又，所以，，所以.19.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点．（1）若，，，求的值；（2）若，，求的最大值．解：（1）在△ABC中，，，，所以C是最大角．由．因为，所以，所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点．设△ABC的面积为S，则，又由，得，所以．所以，即，所以.（2）在△ABC中，因为，，所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点，设，则，，所以，设，，，在△AOB与△AOC中，由正弦定理可得，，所以，在△BOC中，由余弦定理可得，，所以，即．当且仅当时，mn取得最大值，所以取得最大值.江苏省南通市2023-2024学年高一下学期5月质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果两条直线与没有公共点，那么与（）A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线〖答案〗D〖解析〗根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线.故选：D.2.若，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，是两个单位向量，则，但，方向不能确定，故选项AB错误；，只有，同向共线时，才有，故选项C错误；，，，选项D正确.故选：D.3.已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗A选项，若，，则或相交或异面，A错误；B选项，若，，则或，B错误；C选项，若，不妨设，则，又，，则，所以，C正确；D选项，若，，则，或相交，D错误.故选：C.4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，由正弦定理得，，解得.故选：B.5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直观图是边长为2的等边三角形，且的面积为，所以原的面积为.故选：B.6.在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗如图建立平面直角坐标系，，设，则，所以，得，所以，所以.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，则，所以.故选：A.8.在圆锥PO中，轴截面PAB为等腰直角三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN，则即异面直线OM与AP所成角或其补角，设，可知，则，因为轴截面PAB为等腰直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则，的夹角为钝角D.若，则在上的投影向量的坐标为〖答案〗ABD〖解析〗向量，，对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，得，则，B正确；对于C，当时，，反向共线，夹角为，此时，的夹角不为钝角，C错误；对于D，当时，，因此在上的投影向量为，在上的投影向量的坐标为，D正确.故选：ABD.10.下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，即，又，故角为锐角，但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误；对于B：因为，若，则或，又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三个角均为锐角，故B正确：对于C，因为，由正弦定理得，令，则，显然最大角为，且，所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故C正确；对于D，因为，又且不能同时为钝角，所以，，即均为锐角，又，所以也为锐角，所以一定为锐角三角形，故D正确．故选：BCD．11.在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（）A.平面B.平面C.多面体是棱台D.平面截正方体所得截面的面积为〖答案〗AC〖解析〗对于A，取中点，连接，由正方体得四边形为平行四边形，所以，因为点为的中点，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，取中点，连接，则，所以，所以，所以，由正方体得，平面，又平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误；对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确；对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面，因为，所以，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，所以，所以，所以，因为，，所以，故D错误.故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．〖答案〗4〖解析〗由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：作CD⊥AB与E，则CE为圆台的高h，∴高h＝.故〖答案〗：4.13.若，则________．〖答案〗1〖解析〗由题意可知，.故〖答案〗为：1.14.在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．〖答案〗〖解析〗第一空：因为P是MC的中点，所以，又因为，所以，所以，即，所以；第二空：设，则，因为点D在BC上，所以，即，所以，所以，因为，即，设分别为所对边，所以，即，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，因此△ABC面积的最大值为为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值．解：（1）由已知有，故，所以.（2）由已知有，及，故.16.已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：（1）平面PBC；（2）．解：（1）如图，取的中点，连接，因为M是PD的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.（2）连接，因为，N是BC的中点，所以，在中，，，，所以，由条件，所以，又N是BC的中点，所以，因为DN，平面PDN，，所以平面PDN，因为平面PDN，所以．17.已知，，且，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，解得，所以.（2），由，，得，所以，因为，，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以．18.在①，②，③这三个条