2024届广东省茂名市高三下学期高考模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3广东省茂名市2024届高三下学期高考模拟数学试题一、选择题1.若集合，其中且，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，解得.故选：A.2.若，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：D.3.已知直角斜边的中点为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为点是直角斜边的中点，且，所以，则为等边三角形，，又因为是直角三角形，所以，所以，向量在向量上的投影向量为：.故选：B.4.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为直线，的倾斜角分别为，，所以，若，则，若，则都不存在，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.四点共面 B.C.三线共点 D.〖答案〗D〖解析〗对于AB，如图，连接，，因为是的中位线，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，故AB正确；对于C，如图，延长，相交于点，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以三线共点，故C正确；对于D，因为，当时，，又，则，故D错误.故选：D.6.已知抛物线C：（）的焦点为F，C的准线与x轴的交点为M，点P是C上一点，且点P在第一象限，设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗过作垂直准线于，如图，在中，由正弦定理可得，即，在中，因为，所以，即，故选：A7.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（）A.3 B.9C.10 D.13〖答案〗C〖解析〗设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.故选：C8.已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗直线即直线，过定点，直线即直线，过定点，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，即轨迹方程为，圆心，因为Q圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.设设圆的半径为，因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，，又因为，即，即，所以，即，故选：C.二、选择题9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若，则C.若，则D.复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，满足，但，故B错误；对于C，设且不同时为，则，故C正确；对于D，设复数，则点，由，得，则点到点与点的距离和为，故点的轨迹是线段，故D错误.故选：AC10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）A.事件、、两两互斥B.事件与事件对立C.D.事件、、两两独立〖答案〗ABC〖解析〗依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC.11.已知函数的定义域为,且为偶函数，则（）A. B.为奇函数C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，则有，故，即，令，则，即恒成立，故，又函数的定义域为，故为奇函数，故B正确；则，又为偶函数，故，则，故A错误；，故C正确；，则，故函数的周期为，，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.的展开式中常数项为__________．〖答案〗16〖解析〗依题意，展开式的常数项为，含的项为，所以的展开式中常数项为.故〖答案〗为：1613.在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________.〖答案〗165〖解析〗设等差数列的公比为，由题意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故〖答案〗：165.14.已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，的斜率分别为，且过点M的切线方程为，联立，解得，所以，即，所以，设切点，由导数几何意义知，所以，，所以直线，即：且，所以：，直线恒过定点，其到的距离为1，联立得，∴，，即，∴，故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围.解：（1）因为，所以，定义域为，可得，令，显然在上单调递增且，因此当时，则有，当时，则，于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以.（2）化简得，即，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，，单调逆减，当时，，单调逆增，所以，要想在上恒成立，只需，经检验，当符合题意，因此a的取值范围为.16.如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以．设平面的法向量为，则，取．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.（1）解：由，，得，解得，由，，所以，所以或，当时，此时；当时，此时；综上可得数列的通项公式为或；（2）证明：因为，所以，则，则，所以.18.2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）走迷宫“路过路口”记为事件，从“号走出”记为事件，求和的值；（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？解：（1）根据列联表中的数据可得，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.（2）依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为，由到路口需向北走个，向东走个路口，则不同路线有条，所以，事件表示从出发经过路口最后从号路口走出，则，所以，表示从出发最后从号路口走出的条件下经过路口的概率，又，，所以.（3）依题意从号出口走出，返现金元，所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：，每天走迷宫的游客为人，则迷宫项目每天收入约为元.19.曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．（1）求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；（2）若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；（3）在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．解：（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.在处，，所以曲线在点处曲率为.考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.将其联立，得到，即，即.若，则原方程组还有另一个解，矛盾.而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.所以所求的半径最大的圆的方程为.（3）首先有.设，则我们又有，，故.当，时，.所以的最大值是.广东省茂名市2024届高三下学期高考模拟数学试题一、选择题1.若集合，其中且，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，解得.故选：A.2.若，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：D.3.已知直角斜边的中点为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为点是直角斜边的中点，且，所以，则为等边三角形，，又因为是直角三角形，所以，所以，向量在向量上的投影向量为：.故选：B.4.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为直线，的倾斜角分别为，，所以，若，则，若，则都不存在，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.四点共面 B.C.三线共点 D.〖答案〗D〖解析〗对于AB，如图，连接，，因为是的中位线，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，故AB正确；对于C，如图，延长，相交于点，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以三线共点，故C正确；对于D，因为，当时，，又，则，故D错误.故选：D.6.已知抛物线C：（）的焦点为F，C的准线与x轴的交点为M，点P是C上一点，且点P在第一象限，设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗过作垂直准线于，如图，在中，由正弦定理可得，即，在中，因为，所以，即，故选：A7.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（）A.3 B.9C.10 D.13〖答案〗C〖解析〗设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.故选：C8.已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗直线即直线，过定点，直线即直线，过定点，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，即轨迹方程为，圆心，因为Q圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.设设圆的半径为，因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，，又因为，即，即，所以，即，故选：C.二、选择题9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若，则C.若，则D.复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，满足，但，故B错误；对于C，设且不同时为，则，故C正确；对于D，设复数，则点，由，得，则点到点与点的距离和为，故点的轨迹是线段，故D错误.故选：AC10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）A.事件、、两两互斥B.事件与事件对立C.D.事件、、两两独立〖答案〗ABC〖解析〗依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC.11.已知函数的定义域为,且为偶函数，则（）A. B.为奇函数C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，则有，故，即，令，则，即恒成立，故，又函数的定义域为，故为奇函数，故B正确；则，又为偶函数，故，则，故A错误；，故C正确；，则，故函数的周期为，，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.的展开式中常数项为__________．〖答案〗16〖解析〗依题意，展开式的常数项为，含的项为，所以的展开式中常数项为.故〖答案〗为：1613.在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________.〖答案〗165〖解析〗设等差数列的公比为，由题意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故〖答案〗：165.14.已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，的斜率分别为，且过点M的切线方程为，联立，解得，所以，即，所以，设切点，由导数几何意义知，所以，，所以直线，即：且，所以：，直线恒过定点，其到的距离为1，联立得，∴，，即，∴，故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围.解：（1）因为，所以，定义域为，可得，令，显然在上单调递增且，因此当时，则有，当时，则，于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以.（2）化简得，即，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，，单调逆减，当时，，单调逆增，所以，要想在上恒成立，只需，经检验，当符合题意，因此a的取值范围为.16.如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以．设平面的法向量为，则，取．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.（1）解：由，，得，解得，由，，所以，所以或，当时，此时；当时，此时；综上可得数列的通项公式为或；（2）证明：因为，所以，则，则，所以.18.2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）走迷宫“路过路口”记为事件，从“号走出”记为事件，求和的值；（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目