2024届甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题一､单选题1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以.故选:B.2.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式得，因为，所以，所以，因为，所以.故选：D.3.已知为坐标原点，平面向量，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得向量，由得，则，因此.故选：C.4.冬天，广西南宁三位老师带着11个岁的幼儿园小朋友到哈尔滨研学，一身橘红色的羽线服，以她们独特的服装和欢快的姿态，在全国掀起了一股“小砂糖橘”热潮.已知这11个小朋友中有5个男孩，6个女孩，随机请出3个“小砂糖橘”与小企鹅一起拍照留念，则请出的“小砂糖橘”中至少有2个女孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从11个小朋友中任请3人，基本事件共有种，恰好是3个女孩的方法数是种，恰好是2个女孩的方法数是种，故所求的概率是.故选：C.5.已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗因为抛物线，所以抛物线准线方程为，故点的横坐标为.因为，所以点的横坐标，所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，所以直线的斜率为.故选：A.6.已知等差数列的前项和为，首项，若，则（）A.-1 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗由前项和定义可得，因为是等差数列，所以，即，因为，所以.设等差数列的公差为，由，所以，所以，所以.故选：D.7.若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得圆的圆心坐标为，半径为，设，则，，因为，可得，化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上，又因为存在唯一点也在圆上，所以两圆是外切或内切，所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，即或，解得或，因为是正数，所以.故选：B.8.函数的所有零点之和为（）A.0 B.-1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，则，显然，所以，构造函数与函数，则方程的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，设为，所以，，即，另外发现，将代入，可得，所以也是函数的零点，说明，即.故选:A.二､多选题9.已知直线是函数图象的对称轴，则函数的〖解析〗式可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；D：，显然，故此函数不是关于直线对称的，故D错误.故选：ABC.10.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.D.若点是双曲线上异于的任意一点，则〖答案〗AD〖解析〗如图，连接，由双曲线定义可知，，由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，因为，又所以，，由，所以，由，得，即有，所以，所以离心率，故A正确；又，所以，所以渐近线方程为，，故B、C错误，设点，因为是直线与双曲线的交点，根据对称性可得，所以.又点在双曲线上，代入可得，两式相减可得，所以，故D正确.故选：AD.11.已知正方体的棱长为为底面对角线的交点，是侧面内的动点（包括边界），如图所示，若始终成立，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹长度为B.动点到点距离的最小值为C.向量与夹角的正弦值为D.三棱锥体积的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，取的中点，连结，如图，则在平面中，，为的中点，为的中点，则，，又可得与相似，可得，再由，可得，即.因为正方体，所以是等边三角形，显然可得，因为，平面，所以平面，故动点轨迹是线段，在中，，所以A选项错误；对于B，利用中的等面积法可得，易得动点到点距离的最小值为，故B选项正确.对于C，在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以，而，故选项错误；对于D，因为垂直平面，所以三棱锥体积等于，当点到直线的距离最大时，取最大值，所以由的轨迹可知，当点位于的中点时，此时到直线的距离最大，此时取最大值，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选：BD.二､填空题12.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面积为.故〖答案〗为：.13.已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为__________.〖答案〗〖解析〗由正四棱柱可知底面为正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，所以，所以.如图，取长方形的中心，连结，则，而平面，平面，故平面，所以球心到平面的距离等于点到平面的距离.过点作交于点，则球心到平面的距离等于的长.在长方形中，连结，则，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面为圆面，所以此圆的半径为，故截面面积为.故〖答案〗为：14.已知函数，若，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由得，所以是上增函数.又，故由得，即.则，当且仅当时取等号，此时.故最小值为.故〖答案〗为：三､解答题15.近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

男生女生合计被录取20

未被录取

合计

（1）求；（2）估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由概率和为1得：，解得；（2）由题意知，候选者面试成绩的平均数，所以候选者面试成绩的平均数约为68.5.（3）由频率分布直方图知不低于80分的人数为，即被录取的共有30人，所以被录取的女生为，又男生与女生各100人，完善列联表如下：

男生女生合计被录取201030未被录取8090170合计100100200，所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.16.已知正项数列满足.（1）求数列的通项公式及其前项和；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，因为是正项数列，所以由，当时，，两式相减得因为是正项数列，所以，当时，成立，所以，显然，数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以（2），所以数列的前项和所以17.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.（1）证明：在中，由，得，即，所以由平面，平面平面，且平面平面得平面（2）解：由（1）得平面，所以，在等边三角形中，为中点，所以，即两两互相垂直，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，又，所以，则，所以，设，则，得到，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，又，由，令，得，所以，又一面角的大小为，所以，得到，又，解得，所以存在点使二面角的大小为，且18.已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值.解：（1）因为短轴长为，所以，又椭圆的离心率为，则有，解得，所以的方程为.（2）因为外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心在轴上，设圆心，则圆的半径为，所以，所以，又点在椭圆上，所以，两方程消去得：再由直线的斜率为，可设直线的方程为，令，所以点的横坐标为又，所以，解得19.泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数.（1）根据公式估算的值，精确到小数点后两位；（2）当时，比较与的大小，并证明；（3）设，证明：.（1）解：由公式可得，所以.（2）解：由（1）得，得到结论：当时，下面给出证明：令，则，令，则，所以函数在上单调递增，即当时，，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，即当时，，故当时，.（3）证明：因为，所以，则，由（2）可得：且，故，即，，，，所以甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题一､单选题1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以.故选:B.2.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式得，因为，所以，所以，因为，所以.故选：D.3.已知为坐标原点，平面向量，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得向量，由得，则，因此.故选：C.4.冬天，广西南宁三位老师带着11个岁的幼儿园小朋友到哈尔滨研学，一身橘红色的羽线服，以她们独特的服装和欢快的姿态，在全国掀起了一股“小砂糖橘”热潮.已知这11个小朋友中有5个男孩，6个女孩，随机请出3个“小砂糖橘”与小企鹅一起拍照留念，则请出的“小砂糖橘”中至少有2个女孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从11个小朋友中任请3人，基本事件共有种，恰好是3个女孩的方法数是种，恰好是2个女孩的方法数是种，故所求的概率是.故选：C.5.已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗因为抛物线，所以抛物线准线方程为，故点的横坐标为.因为，所以点的横坐标，所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，所以直线的斜率为.故选：A.6.已知等差数列的前项和为，首项，若，则（）A.-1 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗由前项和定义可得，因为是等差数列，所以，即，因为，所以.设等差数列的公差为，由，所以，所以，所以.故选：D.7.若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得圆的圆心坐标为，半径为，设，则，，因为，可得，化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上，又因为存在唯一点也在圆上，所以两圆是外切或内切，所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，即或，解得或，因为是正数，所以.故选：B.8.函数的所有零点之和为（）A.0 B.-1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，则，显然，所以，构造函数与函数，则方程的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，设为，所以，，即，另外发现，将代入，可得，所以也是函数的零点，说明，即.故选:A.二､多选题9.已知直线是函数图象的对称轴，则函数的〖解析〗式可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；D：，显然，故此函数不是关于直线对称的，故D错误.故选：ABC.10.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.D.若点是双曲线上异于的任意一点，则〖答案〗AD〖解析〗如图，连接，由双曲线定义可知，，由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，因为，又所以，，由，所以，由，得，即有，所以，所以离心率，故A正确；又，所以，所以渐近线方程为，，故B、C错误，设点，因为是直线与双曲线的交点，根据对称性可得，所以.又点在双曲线上，代入可得，两式相减可得，所以，故D正确.故选：AD.11.已知正方体的棱长为为底面对角线的交点，是侧面内的动点（包括边界），如图所示，若始终成立，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹长度为B.动点到点距离的最小值为C.向量与夹角的正弦值为D.三棱锥体积的最大值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，取的中点，连结，如图，则在平面中，，为的中点，为的中点，则，，又可得与相似，可得，再由，可得，即.因为正方体，所以是等边三角形，显然可得，因为，平面，所以平面，故动点轨迹是线段，在中，，所以A选项错误；对于B，利用中的等面积法可得，易得动点到点距离的最小值为，故B选项正确.对于C，在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以，而，故选项错误；对于D，因为垂直平面，所以三棱锥体积等于，当点到直线的距离最大时，取最大值，所以由的轨迹可知，当点位于的中点时，此时到直线的距离最大，此时取最大值，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选：BD.二､填空题12.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面积为.故〖答案〗为：.13.已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为__________.〖答案〗〖解析〗由正四棱柱可知底面为正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，所以，所以.如图，取长方形的中心，连结，则，而平面，平面，故平面，所以球心到平面的距离等于点到平面的距离.过点作交于点，则球心到平面的距离等于的长.在长方形中，连结，则，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面为圆面，所以此圆的半径为，故截面面积为.故〖答案〗为：14.已知函数，若，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由得，所以是上增函数.又，故由得，即.则，当且仅当时取等号，此时.故最小值为.故〖答案〗为：三､解答题15.近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

男生女生合计被录取20

未被录取

合计

（1）求；（2）估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由概率和为1得：，解得；（2）由题意知，候选者面试成绩的平均数，所以候选者面试成绩的平均数约为68.5.（3）由频率分布直方图知不低于80分的人数为，即被录取的共有30人，所以被录取的女生为，又男生与女生各100人，完善列联表如下：

男生女生合计被录取201030未被录取8090170合计100100200，所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.16.已知正项数列满足.（1）求数列的通项公式及其前项和；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，因为是正项数列，所以由，当时，，两式相减得因为是正项数列，所以，当时，成立，所以，显然，数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以（2），所以数列的前项和所以17.