2024届东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（二）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，.故选：B2.已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设，则，因为，所以，即，所以，所以在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A.3.已知角的终边与单位圆的交点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为角的终边与单位圆的交点，可知，所以.故选：B.4.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（）参考值：0.10.050.012.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05〖答案〗C〖解析〗零假设为：x与y独立，由，依据的独立性检验，可得成立，故可以认为x与y独立.故选：C.5.函数在处切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，当时，则，所以，所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D6.等差数列中，，前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则，所以，因为，即，解得，所以，所以.故选：B7.已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数图象过原点，所以，得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，所以，则，所以.故选：C8.已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设正方形中心为，取中点，连接、、，则，，平面，所以为二面角的平面角，即，设正方形的边长为，则，又，，所以，即，解得（负值已舍去），则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，则，解得，所以外接球的表面积.故选：A二、多选题9.四名同学各投掷骰子次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是（）A.平均数为，中位数为 B.众数为，中位数为C.平均数为，方差为 D.平均数为，方差为〖答案〗BD〖解析〗对于A，若平均数为，则点数和为，又中位数为，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为且中位数为的数据，故A错误；对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，所以C错误；对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数，方差为，所以可以出现点，所以D正确，故选：BD10.抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（）A.抛物线的准线方程是B.过抛物线的焦点的最短弦长为C.若弦的中点为，则直线的方程为D.四边形面积的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗抛物线焦点，准线方程为，依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误；过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确；设，，则，，所以，即，又弦的中点为，所以，所以，即，又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确；依题意直线的斜率存在且不为，设直线为，由，消去整理得，显然，所以，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BCD.11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E到平面ABC的距离为B.直线DE与平面ABC所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为D.该截角四面体存在内切球〖答案〗AC〖解析〗如图，将该截角四面体补成正四面体，取底面的中心，连接，可知平面，则，可得，对于选项A：由题意可知：平面∥平面，则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离，故A正确；对于选项B：由题意可知：∥，则直线DE与平面ABC所成角即为与平面所成角，可得，所以直线DE与平面ABC所成角的正切值为，故B错误；对于选项C：由题意可知：，则，所以该截角四面体的表面积为，故C正确；对于选项D：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体的中心O，可知，因为，即，解得，由选项A可知：点S到平面ABC的距离，则点O到平面ABC的距离为，所以该截角四面体不存在内切球，故D错误；故选：AC.三、填空题12.已知向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗，即，，，，，.故〖答案〗为：.13.以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的右焦点，且与轴交于，两点．若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．〖答案〗〖解析〗为双曲线上一点，不妨设在第一象限，，与轴相切于双曲线的焦点，的横坐标为，将代入得，，又，解得，，的半径为，点到轴的距离为,为等腰直角三角形，所以，所以，即，所以，解得，，，即双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.已知函数满足：，则______．〖答案〗〖解析〗，则，则.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．（1）证明：平面；（2）求点P到直线MN的距离．（1）证明：由题意知，平面，，而平面，所以，在平面内过点A作y轴，使得y轴，建立如图空间直角坐标系，则，得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，又不在平面内即平面；（2）解：如图，连接，由（1）得，则，，所以点到直线的距离为.16.近日，市流感频发，主要以型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按（且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性，其中每个人记作化验次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验次．（1）若，求和均值；（2）若按全市患病率估计，试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：，，）解：（1），如果混管血样呈阴性，则；如果混管血样呈阳性，则，的所有可能取值为，，，，的分布列为；（2）如果混管血样呈阴性，则；如果混管血样呈阳性，则，的所有可能取值为，，，，的分布列为，当时，，当时，，，当时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边落在扇形半径上，该扇形半径米，圆心角．矩形的一个顶点在扇形弧上运动，记.（1）当时，求的面积；（2）求当角取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．解：（1）在中，，，，，在中，，即，解得，，，；（2）在中，，，在中，，所以，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为.18.如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．（1）求点H的轨迹的方程；（2）设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）连接，由题意可得，又，故，即点到定点、的距离之和为，即点的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆，即有，，则，即；（2）由，消去y并整理，得，因为直线l：与椭圆有且只有一个公共点P，所以，即，所以，此时，，所以，由，得，假设存在定点，使得以PQ为直径圆恒过点，则，又，，所以，整理，得，所以，解得，故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点.19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详析九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，（3）若数列满足，对于，证明：．（1）解：根据题意，，则有，当时，，又也满足，所以.（2）证明：设，，则，所以在上单调递增，则，即，即当时，.（3）证明：由（2）可知当时，，令，则，所以，所以，令，则，所以，所以，所以.东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（二）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，.故选：B2.已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设，则，因为，所以，即，所以，所以在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A.3.已知角的终边与单位圆的交点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为角的终边与单位圆的交点，可知，所以.故选：B.4.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（）参考值：0.10.050.012.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05〖答案〗C〖解析〗零假设为：x与y独立，由，依据的独立性检验，可得成立，故可以认为x与y独立.故选：C.5.函数在处切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，当时，则，所以，所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D6.等差数列中，，前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则，所以，因为，即，解得，所以，所以.故选：B7.已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数图象过原点，所以，得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，所以，则，所以.故选：C8.已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设正方形中心为，取中点，连接、、，则，，平面，所以为二面角的平面角，即，设正方形的边长为，则，又，，所以，即，解得（负值已舍去），则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，则，解得，所以外接球的表面积.故选：A二、多选题9.四名同学各投掷骰子次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是（）A.平均数为，中位数为 B.众数为，中位数为C.平均数为，方差为 D.平均数为，方差为〖答案〗BD〖解析〗对于A，若平均数为，则点数和为，又中位数为，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为且中位数为的数据，故A错误；对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，所以C错误；对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数，方差为，所以可以出现点，所以D正确，故选：BD10.抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（）A.抛物线的准线方程是B.过抛物线的焦点的最短弦长为C.若弦的中点为，则直线的方程为D.四边形面积的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗抛物线焦点，准线方程为，依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误；过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确；设，，则，，所以，即，又弦的中点为，所以，所以，即，又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确；依题意直线的斜率存在且不为，设直线为，由，消去整理得，显然，所以，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BCD.11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E到平面ABC的距离为B.直线DE与平面ABC所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为D.该截角四面体存在内切球〖答案〗AC〖解析〗如图，将该截角四面体补成正四面体，取底面的中心，连接，可知平面，则，可得，对于选项A：由题意可知：平面∥平面，则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离，故A正确；对于选项B：由题意可知：∥，则直线DE与平面ABC所成角即为与平面所成角，可得，所以直线DE与平面ABC所成角的正切值为，故B错误；对于选项C：由题意可知：，则，所以该截角四面体的表面积为，故C正确；对于选项D：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体的中心O，可知，因为，即，解得，由选项A可知：点S到平面ABC的距离，则点O到平面ABC的距离为，所以该截角四面体不存在内切球，故D错误；故选：AC.三、填空题12.已知向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗，即，，，，，.故〖答案〗为：.13.以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的右焦点，且与轴交于，两点．若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．〖答案〗〖解析〗为双曲线上一点，不妨设在第一象限，，与轴相切于双曲线的焦点，的横坐标为，将代入得，，又，解得，，的半径为，点到轴的距离为,为等腰直角三角形，所以，所以，即，所以，解得，，，即双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.已知函数满足：，则______．〖答案〗〖解析〗，则，则.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．（1）证明：平面；（2）求点P到直线MN的距离．（1）证明：由题意知，平面，，而平面，所以，在平面内过点A作y轴，使得y轴，建立如图空间直角坐标系，则，得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，又不在平面内即平面；（2）解：如图，连接，由（1）得，则，，所以点到直线的距离为.16.近日，市流感频发，主要以型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按（且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性，其中每个人记作化验次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验次．（1）若，求和均值；（2）若按全市患病率估计，试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：，，）解：（1），如果混管血样呈阴性，则；如果混管血样呈阳性，则，的所有可能取值为，，，，的分布列为；（2）如果混管血样呈阴性，则；如果混管血样呈阳性，则，的所有可能取值为，，，，的分布列为，当时，，当时，，，当时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边落在扇形半径上，该扇形半径米，圆心角．矩形的一个顶点在扇形弧上运动，记.（1）当时，