2024届安徽省阜阳市皖江名校联盟高三模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三模拟预测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，因此.故选：A.2.已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的焦距为4，所以，解得，所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为.故选：B3.记，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，故选：C.4.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B5.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于D，因为，所以，从而，故D正确，对于A，或，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误.故选：D.6.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项的系数和为64C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为〖答案〗A〖解析〗对于A，的展开式通项为，当时，常数项为，选项A正确；对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.故选：A.7.在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（）A.是一条垂直于轴的直线 B.是两条平行直线C.是一个半径为1的圆 D.是椭圆〖答案〗C〖解析〗不妨设点的坐标为，，，，由可得，即.故选：C.8.设正数数列的前项和为，且，则（）A.是等差数列 B.是等差数列 C.单调递增 D.单调递增〖答案〗D〖解析〗依题意可得：，.因为，所以当时，，即，解得，当时，，整理得：，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.从而，.因为当时，，当时，.也适合上式，所以，故选项A、B错误，选项D正确.因为，所以选项C错误.故选：D.二、选择题9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，A选项错误；由，故，因此选项B正确；又，所以，，，故C错D对.故选：BD10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线是曲线的一条对称轴D.函数在区间内单调递减〖答案〗ABC〖解析〗设函数的最小正周期为，由题意可知：，，则，即函数的最小正周期为，可得，故A正确；且，可得，又因为，所以，即，且，可得，所以.对于选项B：因为，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；对于选项C：因为为最大值，所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；对于选项D：因为，则，且在不单调，所以函数在区间内不单调，故D错误；故选：ABC.11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（）A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对于，依题意焦点的坐标为，准线为直线：，不妨设，，直线的方程为，联立与，得，从而，，，，由题意，所以，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故错误；对于，因为，，所以，所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；对于，可证，，因此，即以为直径的圆与直线相切，选项正确；对于选项，因，，从而，令，由函数在上单调递增，所以当，即时，函数取最小值，故正确.故选：.三、填空题12.已知，则的最小值为______.〖答案〗20〖解析〗依题意，，由可得，所以，等号成立当且仅当.故〖答案〗为：20.13.已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗如图，易知，，所以，作于点，易知，所以，，，故三棱锥的体积为.故〖答案〗为：.14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．〖答案〗42〖解析〗根据新定义可得，，因为正因数，所以故〖答案〗为：；四、解答题15.设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.（1）求〖解析〗式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；（2）在锐角中，分别是角对边，若，求的值域.解：（1）函数的最小正周期，，∵图象向左平移后得到的函数为，由已知，又，.，〖解析〗式为：，由五点法可得，列表如下：0010-10在上的图象如图所示：（2），由正弦定理可得，，所以，即，因为，所以所以，又，所以，又因为三角形为锐角三角形，，,所以，所以，又所以16.篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.（i）证明：数列是等比数列；（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误概率不超过0.001.（2）（i）由题意，，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（ii）由（i）得，，所以，.故甲第25次触球者的概率大.17.如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面；（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以．则．因为，所以．所以，所以．设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，所以．设二面角的大小为，则，所以．所以二面角的正弦值为.18.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数.解：（1）由题意，且的定义域为，且，依题意即，从而，故，，从而函数在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）依题意，，其中，记，则，因为，，即是的极小值也是最小值，故，而，所以，解得，此时，若，则趋近时，趋近，趋近负无穷，趋近，即趋近负无穷，与矛盾！若，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，符合题意.故.所以，其中.若即时，则函数在上最小值为，依题意，解得，符合题意；若即时，则函数在上最小值为，依题意，即，无解，不符合题意.所以，.19.如图,各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.（1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；（2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；（3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.（1）解：依题意，，，所以.（2）解：设，，由题意，矩形和矩形的面积相等，所以，即，而，（*）从而上式化为，整理可得，代入（*）式，，故，即为定值，且该定值为.（3）证明：如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，则.因而，中至少有一个小于81，同理，中至少有一个小于81，故，，，中至少有两个小于81.安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三模拟预测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，因此.故选：A.2.已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的焦距为4，所以，解得，所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为.故选：B3.记，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，故选：C.4.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B5.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于D，因为，所以，从而，故D正确，对于A，或，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误.故选：D.6.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项的系数和为64C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为〖答案〗A〖解析〗对于A，的展开式通项为，当时，常数项为，选项A正确；对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.故选：A.7.在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（）A.是一条垂直于轴的直线 B.是两条平行直线C.是一个半径为1的圆 D.是椭圆〖答案〗C〖解析〗不妨设点的坐标为，，，，由可得，即.故选：C.8.设正数数列的前项和为，且，则（）A.是等差数列 B.是等差数列 C.单调递增 D.单调递增〖答案〗D〖解析〗依题意可得：，.因为，所以当时，，即，解得，当时，，整理得：，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.从而，.因为当时，，当时，.也适合上式，所以，故选项A、B错误，选项D正确.因为，所以选项C错误.故选：D.二、选择题9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，A选项错误；由，故，因此选项B正确；又，所以，，，故C错D对.故选：BD10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线是曲线的一条对称轴D.函数在区间内单调递减〖答案〗ABC〖解析〗设函数的最小正周期为，由题意可知：，，则，即函数的最小正周期为，可得，故A正确；且，可得，又因为，所以，即，且，可得，所以.对于选项B：因为，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；对于选项C：因为为最大值，所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；对于选项D：因为，则，且在不单调，所以函数在区间内不单调，故D错误；故选：ABC.11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（）A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对于，依题意焦点的坐标为，准线为直线：，不妨设，，直线的方程为，联立与，得，从而，，，，由题意，所以，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故错误；对于，因为，，所以，所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；对于，可证，，因此，即以为直径的圆与直线相切，选项正确；对于选项，因，，从而，令，由函数在上单调递增，所以当，即时，函数取最小值，故正确.故选：.三、填空题12.已知，则的最小值为______.〖答案〗20〖解析〗依题意，，由可得，所以，等号成立当且仅当.故〖答案〗为：20.13.已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗如图，易知，，所以，作于点，易知，所以，，，故三棱锥的体积为.故〖答案〗为：.14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．〖答案〗42〖解析〗根据新定义可得，，因为正因数，所以故〖答案〗为：；四、解答题15.设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.（1）求〖解析〗式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；（2）在锐角中，分别是角对边，若，求的值域.解：（1）函数的最小正周期，，∵图象向左平移后得到的函数为，由已知，又，.，〖解析〗式为：，由五点法可得，列表如下：0010-10在上的图象如图所示：（2），由正弦定理可得，，所以，即，因为，所以所以，又，所以，又因为三角形为锐角三角形，，,所以，所以，又所以16.篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.（i）证明：数列是等比数列；（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误概率不超过0.001.（2）（i）由题意，，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（ii）由（i）得，，所以，.故甲第25次触球者的概率大.17.如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）证明：如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面；（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直