2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗从到共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，故最短路程的不同走法数为，故选C．2.展开式中含项的系数为（）A.30 B.24 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗，令，解得，所以含项的系数为.故选：D3.若函数在时取得极值，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗对函数求导可得，，∵在时取得极值，所以此时，时，，时，，是极值点．故选：D.4.已知是等差数列的前项和，且满足，则（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗设数列的公差为，则，．故选：D5.在展开式中，含的项的系数是（）A.220 B.-220 C.100 D.–100〖答案〗D〖解析〗展开式的通项为，于是得，，则展开式中含的项是，所以含的项的系数是.故选：D6.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，，令，则，故为上的奇函数，因为当时，，即时，，所以在区间上单调递减，所以奇函数在区间上也单调递减，又，所以，所以，所以当时，.故选：B.7.已知，若且，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，作出函数和的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数和的图象有三个交点，且，由已知可得，所以，，，，所以，，令，其中，则，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则，因为，，故，所以，函数在上的值域为，因此，取值范围是.故选：D.8.已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设公切点为，由题意得，解得，设，则，当时，；当时，，故，即的最大值为，故选A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.给出下面几个问题，其中是组合问题的有（）A.由1，2，3，4构成含有2个元素的集合个数B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数C.由1，2，3组成两位数的不同方法数D.由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数〖答案〗AB〖解析〗A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题；B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.故选：AB.10.已知X的分布列为X012Pa则下列说法正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确；，故B正确；，故C不正确；，故D正确.故选：ABD11.已知数列满足，则下列说法正确的是（）A. B.为递增数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，即，所以数列为递增数列，可得，选项A正确；因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误；因为，可得，两边平方整理得，选项C正确．因为，整理得，两边平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，，∴函数在处的切线方程为.故〖答案〗为:.13.曲线在点处的切线方程为__________．〖答案〗〖解析〗，，则曲线在点处的切线方程为，即，故〖答案〗为：.14.已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗因为关于的方程有且只有2个不同的解，所以的图像与直线有两个不同的交点，又及的图像如图所示：当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与相切，与有一个交点，设切点为，从而，解得，．当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与有两个公共点，所以方程有两个不同的解，即有两个不同的解，即，所以，故，综上，．故填．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的公差，且，，的前n项和为．（1）求的通项公式；（2）若，，成等比数列，求m的值．解：（1）等差数列中，由，得，又，而，即，解得，则，于是所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，则，，，由，，成等比数列，得，即，整理得，而，解得，所以.16.已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．解：（1）函数的定义域为，又，又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，所以关于的方程异号的两个实数根，解得或（舍），所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）依题意可得当时，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，则.令，，由，知上单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以的取值范围是.17.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.①直接写出，，的值；②求与的关系式（），并求（）.解：（1）的可能取值为2和3，则，所以随机变量的分布列为：23（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，.②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，所以即，，所以，且.所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以即次传球后球在甲手中的概率是.18.将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．（1）求样本（，2…，15）的相关系数；（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．（ⅰ）求（）的表达式；（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．附：相关系数．解：（1）由，，，得相关系数.（2）（ⅰ）依题意，，又，则，当时，把换成，则，两式相减，得，即，又，于是对任意都成立，从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以；

（ⅱ）由定义知，，而，显然，于是，两式相减得，因此，当足够大时，，，则，可认为．所以该植物寿命期望的值是10.19.组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.（1）计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；（2）证明：（3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.解：（1），，规律：，证明如下：的展开式中，的系数为，同时，的展开式中的系数为，所以.（2）的展开式中的系数为，又，的展开式中的系数为，所以.（3）由（1）可知，由（2）可知，两式相减可得，即.重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗从到共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，故最短路程的不同走法数为，故选C．2.展开式中含项的系数为（）A.30 B.24 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗，令，解得，所以含项的系数为.故选：D3.若函数在时取得极值，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗对函数求导可得，，∵在时取得极值，所以此时，时，，时，，是极值点．故选：D.4.已知是等差数列的前项和，且满足，则（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗设数列的公差为，则，．故选：D5.在展开式中，含的项的系数是（）A.220 B.-220 C.100 D.–100〖答案〗D〖解析〗展开式的通项为，于是得，，则展开式中含的项是，所以含的项的系数是.故选：D6.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，，令，则，故为上的奇函数，因为当时，，即时，，所以在区间上单调递减，所以奇函数在区间上也单调递减，又，所以，所以，所以当时，.故选：B.7.已知，若且，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，作出函数和的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数和的图象有三个交点，且，由已知可得，所以，，，，所以，，令，其中，则，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则，因为，，故，所以，函数在上的值域为，因此，取值范围是.故选：D.8.已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设公切点为，由题意得，解得，设，则，当时，；当时，，故，即的最大值为，故选A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.给出下面几个问题，其中是组合问题的有（）A.由1，2，3，4构成含有2个元素的集合个数B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数C.由1，2，3组成两位数的不同方法数D.由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数〖答案〗AB〖解析〗A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题；B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.故选：AB.10.已知X的分布列为X012Pa则下列说法正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确；，故B正确；，故C不正确；，故D正确.故选：ABD11.已知数列满足，则下列说法正确的是（）A. B.为递增数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，即，所以数列为递增数列，可得，选项A正确；因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误；因为，可得，两边平方整理得，选项C正确．因为，整理得，两边平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，，∴函数在处的切线方程为.故〖答案〗为:.13.曲线在点处的切线方程为__________．〖答案〗〖解析〗，，则曲线在点处的切线方程为，即，故〖答案〗为：.14.已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗因为关于的方程有且只有2个不同的解，所以的图像与直线有两个不同的交点，又及的图像如图所示：当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与相切，与有一个交点，设切点为，从而，解得，．当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与有两个公共点，所以方程有两个不同的解，即有两个不同的解，即，所以，故，综上，．故填．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的公差，且，，的前n项和为．（1）求的通项公式；（2）若，，成等比数列，求m的值．解：（1）等差数列中，由，得，又，而，即，解得，则，于是所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，则，，，由，，成等比数列，得，即，整理得，而，解得，所以.16.已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．解：（1）函数的定义域为，又，又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，所以关于的方程异号的两个实数根，解得或（舍），所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）依题意可得当时，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，则.令，，由，知上单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以的取值范围是.17.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.①直接写出，，的值；②求与的关系式（），并求（）.解：（1）的可能取值为2和3，则，所以随机变量的分布列为：23（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，.②记表示事件