2023-2024学年广东省河源市部分学校高一下学期5月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广东省河源市部分学校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则由题意可得.故选：B.2.已知，则（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为，则.故选：D.3.在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心，已知，可得，由底面，底面，可得，则由勾股定理可得高.故选：D.4.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又，所以，故.故选：D.5.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.6.已知，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗A〖解析〗由，则，因为，即，又，所以的最小值为8.故选：A.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，所以.故选：B.8.已知函数在上单调递减，且在中满足，则下列情况中，能唯一确定该三角形形状的是（）A.角取最大值 B.角取最大值C.取最小值 D.取最小值〖答案〗A〖解析〗由得，考虑在上单调递减，故当角取最大值时，取最小值，，当且仅当，即时取等，此时，即，故此时三角形为等边三角形，形状唯一确定；同理，，设，所以单调递减，故不存在最小值与最大值，故B不正确，D不正确；由于，故，所以角有最大值，故A正确；则取最小值时，取最大值，由，无法取得最大值，故不能取最小值，故C不正确.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为 B.若为纯虚数，则为实数C.若为实数，则 D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BD〖解析〗对于A中，由复数的虚部为1，所以A错误；对于B中，设，则，所以B正确；对于C中，当为负数时，，所以C错误；对于D中，因为，在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，所以D正确.故选：BD.10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为4〖答案〗AC〖解析〗依题意，，所以，对于选项，圆锥的体积为选项正确；对于选项，圆锥的侧面积为，选项错误；对于选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，选项正确；选项，，所以，选项错误.故选：AC.11.设平面内共起点的向量的终点分别为，且满足，记与的夹角为，则（）A.B.最大值为C.若，则三点共线D.若，当取得最大值时，〖答案〗BC〖解析〗设为三个向量的公共的起点，由题意知，可得在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，1为半径的圆上，所以点覆盖的范围为以为圆心，2为半径的整个圆面，对于A中，设在的投影为，则，所以A错误；对于B中，如图1所示，当位于时有与圆相切，此时夹角最大为，由题意，，所以，最大值为，所以B正确；对于C中，如图2所示，由向量的平行四边形法则可知，，则为中点，可得三点共线，所以C正确；对于D中，若，则，可得均在以为圆心，1为半径的圆上，且为等边三角形，如图2所示，当运动至于与圆相切时，取得最大值，记作切点为，不妨取进行计算，则，此时画出的两种位置，分别为和，不妨取进行计算，此时，设为在上的投影向量，所以，所以D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________.〖答案〗〖解析〗因为是两个不共线的向量，，若与是共线向量，设，则，则，解得.故〖答案〗为：.13.科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的______倍.〖答案〗100〖解析〗由题意得，所以，即里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的100倍.故〖答案〗为：100.14.已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则__________.〖答案〗〖解析〗设，因为，可得，又因为可知，所以或，结合函数的图象，可得，即，所以，因为，且在单调递增区间内，所以，即，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知在中，.（1）求；（2）设，求的长.解：（1）由题意得，，，，即.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得.16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.（1）证明：平面；（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.解：（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，由侧面底面，侧面底面平面，得平面，又平面，则，又侧面是正三角形，是的中点，则，又平面，所以平面.（2）如图，在平面内，过点作，垂足为，显然，由侧面底面，交线为，得底面，底面，则，过作，垂足为，连接，显然，平面，则平面，而平面，因此，则即为二面角的平面角，其大小为，在中，，则，由，得四边形为平行四边形，则，由，得（或其补角）为异面直线与所成角，由（1）知平面，则为直角三角形，，所以异面直线与所成角的正切值为.17.已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.（1）求的取值范围；（2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.解：（1）由复数实部分别为，虚部分别为，可得，可得，因此的取值范围是.（2）因为，所以，因此，且，化简得，即，可得，此时，故不能为纯虚数.18.阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式；请你结合阅读材料解答下面的问题：（1）证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；（2）已知的面积为24，其内切圆半径为，求.解：（1）三角形的三条边长分别为，，上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.（2）设内切圆半径为，由，，得，显然，由海伦公式，得，化简得，即，所以.19.已知函数.（1）求不等式解集；（2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，解得：，所以，所以不等式的解集为.（2）由题意可得，因为，所以，所以，又因为对任意的，都有成立，所以，，因为，所以，设，可设，则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，在上单调递增，所以，所以，解得，所以当时，在上单调递减，所以，所以，解得，故；当时，，故，解得，所以，综上所述：实数取值范围为.广东省河源市部分学校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则由题意可得.故选：B.2.已知，则（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为，则.故选：D.3.在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心，已知，可得，由底面，底面，可得，则由勾股定理可得高.故选：D.4.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又，所以，故.故选：D.5.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.6.已知，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗A〖解析〗由，则，因为，即，又，所以的最小值为8.故选：A.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，所以.故选：B.8.已知函数在上单调递减，且在中满足，则下列情况中，能唯一确定该三角形形状的是（）A.角取最大值 B.角取最大值C.取最小值 D.取最小值〖答案〗A〖解析〗由得，考虑在上单调递减，故当角取最大值时，取最小值，，当且仅当，即时取等，此时，即，故此时三角形为等边三角形，形状唯一确定；同理，，设，所以单调递减，故不存在最小值与最大值，故B不正确，D不正确；由于，故，所以角有最大值，故A正确；则取最小值时，取最大值，由，无法取得最大值，故不能取最小值，故C不正确.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为 B.若为纯虚数，则为实数C.若为实数，则 D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BD〖解析〗对于A中，由复数的虚部为1，所以A错误；对于B中，设，则，所以B正确；对于C中，当为负数时，，所以C错误；对于D中，因为，在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，所以D正确.故选：BD.10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（）A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为4〖答案〗AC〖解析〗依题意，，所以，对于选项，圆锥的体积为选项正确；对于选项，圆锥的侧面积为，选项错误；对于选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，选项正确；选项，，所以，选项错误.故选：AC.11.设平面内共起点的向量的终点分别为，且满足，记与的夹角为，则（）A.B.最大值为C.若，则三点共线D.若，当取得最大值时，〖答案〗BC〖解析〗设为三个向量的公共的起点，由题意知，可得在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，1为半径的圆上，所以点覆盖的范围为以为圆心，2为半径的整个圆面，对于A中，设在的投影为，则，所以A错误；对于B中，如图1所示，当位于时有与圆相切，此时夹角最大为，由题意，，所以，最大值为，所以B正确；对于C中，如图2所示，由向量的平行四边形法则可知，，则为中点，可得三点共线，所以C正确；对于D中，若，则，可得均在以为圆心，1为半径的圆上，且为等边三角形，如图2所示，当运动至于与圆相切时，取得最大值，记作切点为，不妨取进行计算，则，此时画出的两种位置，分别为和，不妨取进行计算，此时，设为在上的投影向量，所以，所以D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________.〖答案〗〖解析〗因为是两个不共线的向量，，若与是共线向量，设，则，则，解得.故〖答案〗为：.13.科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的______倍.〖答案〗100〖解析〗由题意得，所以，即里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的100倍.故〖答案〗为：100.14.已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则__________.〖答案〗〖解析〗设，因为，可得，又因为可知，所以或，结合函数的图象，可得，即，所以，因为，且在单调递增区间内，所以，即，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知在中，.（1）求；（2）设，求的长.解：（1）由题意得，，，，即.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得.16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.（1）证明：平面；（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.解：（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，由侧面底面，侧面底面平面，得平面，又平面，则，又侧面是正三角形，是的中点，则，又平面，所以平面.（2）如图，在平面内，过点作，垂足为，显然，由侧面底面，交线为，得底面，底面，则，过作，垂足为，连接，显然，平面，则平面，而平面，因此，则即为二面角的平面角，其大小为，在中，，则，由，得四边形为平行四边形，则，由，得（或其补角）为异面直线与所成角，由（1）知平面，则为直角三角形，，所以异面直线与所成角的正切值为.17.已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.（1）求的取值范围；（2）能否为纯虚数，