2022-2023学年天津市南开区高一下学期6月阶段性质量检测期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2天津市南开区2022-2023学年高一下学期6月阶段性质量检测期末数学试题一、单项选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球〖答案〗B〖解析〗将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑，事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．故选：B．2.设复数，则复数的模为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.3.已知，，且与的夹角，则等于（）A. B.6 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，且与的夹角，所以.故选：A.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知：每组频率依次为，则，解得.故选：C.5.如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：正三棱柱的体积，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.故选：A.6.某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么这组数据的第80百分位数是（）．A.170 B.175 C.176 D.〖答案〗D〖解析〗将身高按升序排列得：，因为，所以这组数据的第80百分位数是.故选：D7.从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，故所求概率为.故选：C.8.已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，棱锥的高为，设外接球半径为，则，解得，所以外接球的表面积为.故选：B.9.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A错；若，可以有或异面，故B错；若，可以有、与斜交、，故C错；过作平面，则，又，得，，所以，故D正确.故选：D.10.已知为的一个内角，向量.若，则角（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，即.选：C.二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11.某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为________．〖答案〗32〖解析〗由题意可得：样本中女生人数为.故〖答案〗为：32.12.已知为虚数单位，复数的共轭复数为________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，所以复数的共轭复数为.故〖答案〗为：.13.已知向量，，则在方向上的投影向量为________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，所以在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知正三棱柱，O为的外心，则异面直线与OB所成角的大小为________．〖答案〗〖解析〗延长交于点，因为为正三角形，则点为的中点，可得，又因为平面，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以异面直线与OB所成角的大小为.故〖答案〗为：.15.在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________．〖答案〗〖解析〗以基底向量，则，因为，，且，则，所以.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.复数（）.（1）若为纯虚数求实数值，及在复平面内对应的点的坐标；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：因为，所以，（1）若为纯虚数，则，解得：，此时，在复平面内对应的点的坐标为：，所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：.（2）若在复平面内对应的点位于三象限，则，解得，所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.17.甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，（1）求乙、丙两人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，则，解得，，解得，所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、.（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若，求的坐标；（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．解：（1），因为三点共线，所以存在实数，使得，即，得，因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（2）.（3）因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，设，则，因为，所以，解得，即点的坐标为．19.已知的内角的对边分别是，，，且，．（1）求角A；（2）求周长的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，则周长，因为，则，可得，所以周长，即周长的取值范围为.20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.解：证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.天津市南开区2022-2023学年高一下学期6月阶段性质量检测期末数学试题一、单项选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球〖答案〗B〖解析〗将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑，事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．故选：B．2.设复数，则复数的模为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.3.已知，，且与的夹角，则等于（）A. B.6 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，且与的夹角，所以.故选：A.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知：每组频率依次为，则，解得.故选：C.5.如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：正三棱柱的体积，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.故选：A.6.某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么这组数据的第80百分位数是（）．A.170 B.175 C.176 D.〖答案〗D〖解析〗将身高按升序排列得：，因为，所以这组数据的第80百分位数是.故选：D7.从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，故所求概率为.故选：C.8.已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，棱锥的高为，设外接球半径为，则，解得，所以外接球的表面积为.故选：B.9.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A错；若，可以有或异面，故B错；若，可以有、与斜交、，故C错；过作平面，则，又，得，，所以，故D正确.故选：D.10.已知为的一个内角，向量.若，则角（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，即.选：C.二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11.某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为________．〖答案〗32〖解析〗由题意可得：样本中女生人数为.故〖答案〗为：32.12.已知为虚数单位，复数的共轭复数为________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，所以复数的共轭复数为.故〖答案〗为：.13.已知向量，，则在方向上的投影向量为________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：，所以在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知正三棱柱，O为的外心，则异面直线与OB所成角的大小为________．〖答案〗〖解析〗延长交于点，因为为正三角形，则点为的中点，可得，又因为平面，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以异面直线与OB所成角的大小为.故〖答案〗为：.15.在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________．〖答案〗〖解析〗以基底向量，则，因为，，且，则，所以.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.复数（）.（1）若为纯虚数求实数值，及在复平面内对应的点的坐标；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：因为，所以，（1）若为纯虚数，则，解得：，此时，在复平面内对应的点的坐标为：，所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：.（2）若在复平面内对应的点位于三象限，则，解得，所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.17.甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，（1）求乙、丙两人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，则，解得，，解得，所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、.（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若，求的坐标；（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．解：（1），因为三点共线，所以存在实数，使得，即，得，因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（2）.（3）因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，设，则，因为，所以，解得，即点的坐标为．19.已知的内角的对边分别是，，，且，．（1）求角A；（2）求周长的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，则周长，因为，则，可得，所以周长，即周长的取值范围为.20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：E