2022-2023学年陕西省榆林市高二下学期质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3陕西省榆林市2022-2023学年高二下学期质量检测数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以.故选：D2.已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗复数，所以复数的实部为2.故选：A3.已知向量，若与共线，则实数的值为（）A. B. C.3 D.1〖答案〗C〖解析〗因为与共线，所以，所以，故选：C.4.已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.故选：B.5.把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图象.故选：A.6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，因为点在上，且到直线的距离为，可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以.故选：B7.设等比数列的前项和为，已知，则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗设等比数列公比为，则有，解得，，则有，得.故选：D8.圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.9.如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知长方体的体对角线长为,故该长方体的外接球的半径为，该长方体的外接球表面积为，故选：D10.设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（）A. B.C.是两条异面直线 D.〖答案〗B〖解析〗ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误.B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确；故选：B11.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则，，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.故选：D12.已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗已知，函数定义域为，可得，当时，，单调递增，此时函数的图象与轴至多有一个交点，不符合题意；当时，所以时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；要使函数的图象与轴有且仅有两个交点，需满足或，因为，所以，所以.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在等差数列中，，则______.〖答案〗30〖解析〗因为等差数列，所以，故〖答案〗为：30.14.若函数为奇函数，则实数__________.〖答案〗〖解析〗因为函数为奇函数，所以，恒成立，即，解得，故〖答案〗为：15.若实数，满足约束条件，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗作出可行域，如图，作直线，由得，当直线向上平移时，纵截距增大，值减小，所以当过点时，取得最小值，由，得，即，所以．故〖答案〗为：.16.已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________.〖答案〗〖解析〗设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵是与的交点，∴是的中点，又是棱的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由正方体的性质可得平面，所以.18.某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.（1）试完成下面列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（2）判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？参考公式：，其中.0.1500.1000.05000250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联表：

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生152540女生105060合计2575100（2）∵，∴有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.19.在中，角的对边分别是，满足.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1），，又，，.（2）由（1）可知，根据余弦定理，即，即，即，又，则，即，的面积.20已知函数.（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.解：（1）由，得，曲线在点处的切线与轴平行，，解得.（2）在区间上是减函数，，则在区间上恒成立，当时，，实数的取值范围是.21.已知椭圆：（）的焦距为2，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，且，求实数的值.解：（1）依题意，解得，，所以椭圆的方程为；（2）联立，消去得，由，解得，设，，则，，所以，因为，，，所以，即，解得（经检验符合题意），所以.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.解：（1）由曲线C的参数方程（为参数），消去参数可得，即，根据可得曲线的极坐标方程为.（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，将代入曲线极坐标方程可得，又，解得.将代入直线的极坐标方程可得，解得，.【选修4-5：不等式选讲】23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，求证：.解：（1）又，当时，，解得；当时，，解得；当时，，无解.不等式的解集为.（2）若，则；若，则.，又由（1）易知，成立.陕西省榆林市2022-2023学年高二下学期质量检测数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以.故选：D2.已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗复数，所以复数的实部为2.故选：A3.已知向量，若与共线，则实数的值为（）A. B. C.3 D.1〖答案〗C〖解析〗因为与共线，所以，所以，故选：C.4.已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.故选：B.5.把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图象.故选：A.6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，因为点在上，且到直线的距离为，可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以.故选：B7.设等比数列的前项和为，已知，则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗设等比数列公比为，则有，解得，，则有，得.故选：D8.圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.9.如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知长方体的体对角线长为,故该长方体的外接球的半径为，该长方体的外接球表面积为，故选：D10.设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（）A. B.C.是两条异面直线 D.〖答案〗B〖解析〗ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误.B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确；故选：B11.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则，，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.故选：D12.已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗已知，函数定义域为，可得，当时，，单调递增，此时函数的图象与轴至多有一个交点，不符合题意；当时，所以时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；要使函数的图象与轴有且仅有两个交点，需满足或，因为，所以，所以.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在等差数列中，，则______.〖答案〗30〖解析〗因为等差数列，所以，故〖答案〗为：30.14.若函数为奇函数，则实数__________.〖答案〗〖解析〗因为函数为奇函数，所以，恒成立，即，解得，故〖答案〗为：15.若实数，满足约束条件，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗作出可行域，如图，作直线，由得，当直线向上平移时，纵截距增大，值减小，所以当过点时，取得最小值，由，得，即，所以．故〖答案〗为：.16.已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________.〖答案〗〖解析〗设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵是与的交点，∴是的中点，又是棱的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由正方体的性质可得平面，所以.18.某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.（1）试完成下面列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（2）判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？参考公式：，其中.0.1500.1000.05000250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联表：

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生152540女生105060合计2575100（2）∵，∴有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.19.在