2022-2023学年江苏省连云港市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算的结果是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则甲排在乙前面值班的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情况有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6种，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，故甲排在乙前面值班的概率为.故选：C.3.设，是单位向量，若，则的值为（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，是单位向量，且，所以，，所以.故选：A.4.为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A.直方图中的值为0.035B.估计全校学生的平均成绩不低于80分C.估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D.在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为10〖答案〗B〖解析〗由频率分布直方图可得，故，故A错误；由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：，故B正确；前4组的频率为，故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于，故C错误；区间对应的频率为，故对应的人数为，故D错误.故选：B.5.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，整理可得，所以有，所以，所以，.故选：D.6.在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，在长方体中，且，所以四边形为平行四边形，，所以和所成角等于与所成的角，在中，，，则，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值为.故选：B.7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为1.2 D.平均数为2，方差为1.6〖答案〗D〖解析〗对于A项，若试验结果为1，2，2，5，5，则满足题意，故A项可以出现点数5；对于B项，若试验结果为2，2，3，4，5，则满足题意，故B项可以出现点数5；对于C项，若试验结果为2，2，3，3，5，则平均数为，方差为满足题意，故C项可以出现点数5；对于D项，若试验结果中有5，则方差大于等于，故D项不可以出现点数5.故选：D.8.已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接，则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为，则易知，，设球的半径分别为，因为，根据重心定理可知，，，，，，，由可得，，即，解得，，所以，由可得，，即，解得，所以，球的体积为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗抛掷两枚硬币，可能出现的等可能得结果为4个，其中包括“两个正面”的结果为1个，所以；包括“两个反面”的结果为1个，所以；包括“一正一反”的结果为2个，所以，所以，A项错误；B、C、D正确.故选：BCD.10.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD.11.在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（）A. B.三棱锥体积为C.线段最小值为 D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗取、中点分别为、，连接、、、，，如下图：为正方体，，，，，平面，平面，且，，平面平面，为四边形内一点（含边界），且平面，点在线段上（含端点），对于选项A：当为时，，则与的夹角为，此时，则，则与不垂直，故A错误；对于选项B：为四边形内一点（含边界），到平面的距离为2，三棱锥的体积为，故B正确；对于选项C：点在线段上（含端点），当时，线段最小，，，在边上的高为，则，则当时，即，故C正确；对于选项D：为正方体，平面，平面，，为直角三角形，且直角为，，点在线段上（含端点），则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，当最小时，即，此时，此时最大，为，则的取值范围为，故D正确.故选：BCD12.设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若是正三角形，则D.若，，，则四边形的面积是17〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A正确；对选项B：因为，则，，三点共线，易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；对选项C：因为是正三角形，则也是的重心，故，则，故C对；对选项D：因为，故在外，又，所以，又，，则，故D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，若为实数，则m的值为______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，因为为实数，所以，解得.故〖答案〗为：.14.在中，，，则的值为______.〖答案〗1〖解析〗.故〖答案〗为：1.15.如图，用，，三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S正常工作的概率为______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，都不能正常工作的概率为，所以，元件，中至少有一个正常工作的概率为，所以，元件正常工作且，中至少有一个正常工作的概率为，即系统S正常工作的概率为.故〖答案〗为：.16.已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为______.〖答案〗〖解析〗过分别作则二面角的大小为，，，则，即两点间的距离为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知.（1）求A；（2）若，求周长的最大值.解：（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得，整理可得，所以，又，所以.（2）方法一：由（1）知，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，整理可得，所以，故的周长的最大值为12.方法二：由（1）知，所以，，记的周长为，则，由，，得，所以，又，所以当时，.18.甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求：（1）其中恰有一人破译出密码的概率；（2）密码被破译的概率.解：（1）记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A、、，则，，，，，，记“恰有一人破译出密码”为事件，由已知可得，.（2）记“密码被破译出”为事件，因为，所以.19.如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）解：（1）在中，，，则，又，由正弦定理，得，中，，，则，在中，由余弦定理，得，所以，答：，两点之间的距离为.20.如图，在几何体中，四边形是边长为6的正方形，平面与平面的交线为.（1）证明：；（2）若平面平面，中边上的高，，求该几何体的体积.解：（1）因为是正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）连接，，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，同理可得平面，又，所以平面，因此，，分别为四棱锥和三棱锥的高，从而.21.已知函数的最大值为1.（1）求常数m的值；（2）若，，求的值.解：（1），当，即时，，所以.（2）由（1）知，，由得，，所以，又，所以，所以，所以，，所以.22.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面，是的中点.（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求侧面与侧面所成二面角的大小.解：（1）因为平面，平面，所以，又因为是正三角形，是的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）取的中点，连接，，因为是中点，，所以，又，，平面，平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角，则.因为是边长为2的等边三角形，所以，所以，所以，又，所以，设平面与侧面交线为，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，所以，取的中点，连接，，则，，又因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，又因为，平面，平面，平面平面，所以是侧面与侧面所成二面角的平面角，在中，，，所以，所以侧面与侧面所成二面角的大小为.江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算的结果是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则甲排在乙前面值班的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情况有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6种，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，故甲排在乙前面值班的概率为.故选：C.3.设，是单位向量，若，则的值为（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，是单位向量，且，所以，，所以.故选：A.4.为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A.直方图中的值为0.035B.估计全校学生的平均成绩不低于80分C.估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D.在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为10〖答案〗B〖解析〗由频率分布直方图可得，故，故A错误；由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：，故B正确；前4组的频率为，故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于，故C错误；区间对应的频率为，故对应的人数为，故D错误.故选：B.5.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，整理可得，所以有，所以，所以，.故选：D.6.在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，在长方体中，且，所以四边形为平行四边形，，所以和所成角等于与所成的角，在中，，，则，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值为.故选：B.7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为1.2 D.平均数为2，方差为1.6〖答案〗D〖解析〗对于A项，若试验结果为1，2，2，5，5，则满足题意，故A项可以出现点数5；对于B项，若试验结果为2，2，3，4，5，则满足题意，故B项可以出现点数5；对于C项，若试验结果为2，2，3，3，5，则平均数为，方差为满足题意，故C项可以出现点数5；对于D项，若试验结果中有5，则方差大于等于，故D项不可以出现点数5.故选：D.8.已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接，则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为，则易知，，设球的半径分别为，因为，根据重心定理可知，，，，，，，由可得，，即，解得，，所以，由可得，，即，解得，所以，球的体积为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗抛掷两枚硬币，可能出现的等可能得结果为4个，其中包括“两个正面”的结果为1个，所以；包括“两个反面”的结果为1个，所以；包括“一正一反”的结果为2个，所以，所以，A项错误；B、C、D正确.故选：BCD.10.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD.11.在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（）A. B.三棱锥体积为C.线段最小值为 D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗取、中点分别为、，连接、、、，，如下图：为正方体，，，，，平面，平面，且，，平面平面，为四边形内一点（含边界），且平面，点在线段上（含端点），对于选项A：当为时，，则与的夹角为，此时，则，则与不垂直，故A错误；对于选项B：为四边形内一点（含边界），到平面的距离为2，三棱锥的体积为，故B正确；对于选项C：点在线段上（含端点），当时，线段最小，，，在边上的高为，则，则当时，即，故C正确；对于选项D：为正方体，平面，平面，，为直角三角形，且直角为，，点在线段上（含端点），则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，当最小时，即，此时，此时最大，为，则的取值范围为，故D正确.故选：BCD12.设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若是正三角形，则D.若，，，则四边形的面积是17〖答案〗ACD〖解析〗对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A正确；对选项B：因为，则，，三点共线，易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；对选项C：因为是正三角形，则也是的重心，故，则，故C对；对选项D：因为，故在外，又，所以，又，，则，故D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，若为实数，则m的值为______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，因为为实数，所以，解得.故〖答案〗为：.14.在中，，，则的值为______.〖答案〗1〖解析〗.故〖答案〗为：1.15.如图，用，，三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S正常工作的概率为______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，都不能正常工作的概率为，所以，元件，中至少有一个正常工作的概率为，所以，元件正常工作且，中至少有一个正常工作的概率为，即系统S正常工作的概率为.故〖答案〗为：.16.已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为______.〖答案〗〖解析〗过分别作则二面角的大小为，，，则，即两点间的距离为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知.（1）求A；（2）若，求周长的最大值.解：（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得，整理可得，所以，又，所以.（2）方法一：由（1）知，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，整理可得，所以，故的周长的最大值为12.方法二：由（1）知，所以，，记的周长为，则，由，，得，所以，又，所以当时，.18.甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求：（1）其中恰有一人破译出密码的概率；（2）密码被破译的概率.解：