挑战2023年中考数学压轴题16 二次函数与动点综合问题（含答案解析）

专题16二次函数与动点综合问题

方法揭秘.

I1

二次函数与动点问题的背景是特殊图形，考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学

思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图

形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)

动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.

解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的

关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题.根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性

质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与

线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题.

典例剖析.]

X_____________Z

4

【例J1】(2022•本溪二模)如图，抛物线产-司7+6肝°经过/(3,0),C(-1,0)两点，与y轴交于点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点〃是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形/即〃>,连接OM,若将平行四

边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；

(3)如图2,点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B-A匀速运动,同时点Q从点A出发,以每秒1

个单位长度的速度沿AfOT匀速运动，当点P到达点A时,P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒,

点G在坐标平面内，使以8、P、。、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的/值.

图1图2备用图

【例2】（2022•沈北新区二模）如图,在平面直角坐标系xQy中,抛物线夕=以2+加：+6（〃W0）交x轴于力、B

两点，交y轴于点C,且O/=OC=3OB,连接/C.

（1）求抛物线的解析式：

（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点/,点。从点O以每

秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C,连接PQ,当点P到达点A时，点Q停止运动，求SACPQ的最大值及此

时点P的坐标；

（3）点”是抛物线上一点，是否存在点M使得/ZCA/=15°?若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在,

请说明理由.

【例3】（2022•三亚模拟）如图1,抛物线y=-f+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于/（3,0）、B（0,3）两

点,点尸为抛物线的顶点，连接/8、BP.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求NPB4的度数；

（3）如图2,点M从点。出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向/匀速运动,同时点N从点“出发，沿

着的方向以/切个单位/秒的速度向B匀速运动,设运动时间为，秒,“ELr轴交于点轴交抛物

线于点正,连接MMEF.

①当EF//MN时，求点F的坐标；

②在M、N运动的过程中，存在t使得△8NP与相似，请直接写出t的值.

备用图

[例4]（2021•长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角

形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.

(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4,6川-1,求机的值.

(2)已知RtZ^48C是“调和三角形”，它的三边长分别为a,6,c,且a<6<c.

①求a：b：c的值；

②若△N8C周长的数值与面积的数值相等，求a,b,c的值.

(3)在(2)的条件下，动点P从点/出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线运动，动点。从点

C出发以每秒1个单位长度的速度向点/运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动,设运动时间为

，秒,设尸尸碎

①求y关于f的函数关系式；

②求y的最小值.

1.(2021•遵化市模拟)如图，关于x的二次函数y=7+bx+c的图象与x轴交于点/(1,0)和点8,与y轴交

于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点尸，使△尸8c为等腰三角形？若存在.请求出点尸的坐标；

(3)有一个点M从点/出发,以每秒1个单位的速度在48上向点8运动，另一个点N从点。与点M同时

出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M,N同时停止运动，问点

N运动到何处时，△脑V8面积最大，试求出最大面积.

2.（2020•市中区一模）如图,在平面直角坐标系中，抛物线夕=。/+云+4经过“（-3,0）、B（4,0）两点，且与

y轴交于点C,D（4-4/2|,0）.动点P从点/出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时

动点。从点C出发,沿线段C/1以某一速度向点/移动.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过r秒的移动，线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值；

（3）在第一象限的抛物线上取一点G,使得&GCB=SAGC,再在抛物线上找点E（不与点/、B、C重合），

使得/G8E=45°,求E点的坐标.

v=aYV+---（aH）

3.（2020•项城市三模）如图，抛物线'2'="经过-3,0）,C（5,0）两点，点8为抛物线

顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为f,过点P作

PMLBD,交BC于点、K以PM为正方形的一边,向上作正方形PMNQ边QN交BC于点R,延长NM交AC于

点E.

①当t为何值时，点N落在抛物线上；

②在点尸运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时刻的f值；若

不存在，请说明理由.

4.(2018•泉山区三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线了=亦2+版+4经过/(-3,0)、B(4,0)两点，且与

y轴交于点C,点。在x轴的负半轴上，且BD=BC；有一动点、P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的

速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点力移动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若经过f秒的移动，线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值；

(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点”,使板+儿"的值最小？若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说

明理由.

1II■1■1I■(

-5-43-2-1012345x

5.(2018•扬州)如图1,四边形O4BC是矩形，点工的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,6)，点P从点。出发,

沿0/以每秒1个单位长度的速度向点/运动,同时点。从点/出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点

B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.

(1)当f=2时，线段夕。的中点坐标为；

(2)当△CB0与△刈0相似时，求t的值；

(3)当f=1时,抛物线y=，+6x+c经过P,Q两点，与y轴交于点M抛物线的顶点为K,如图2所示，问该抛物

1

线上是否存在点。，使司/MK0?若存在，求出所有满足条件的。的坐标：若不存在，说明理由.

6.（2019•兰州）二次函数y=a/+6x+2的图象交x轴于点（-1,0）,8（4,0）两点，交y轴于点C.动点〃

从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN±x轴交直线BC于点N,交抛物线于

点O,连接4C,设运动的时间为t秒.

（3）在直线脑V上存在一点P,当△P8C是以/8PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点。的坐标；

耳

（4）当f=4I时,在直线AW上存在一点。，使得/N0C+/O4c=90°,求点。的坐标.

7.（2019•鄂州）如图，己知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于，、8两点,48=4,交y轴于点C,对称轴是直线x

=1.

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x=l的对称点尸正好落在8c上，求点尸的坐标；

（3）动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线

段8c于点。.设运动时间为/OO）秒.

①若△49C与△8MN相似,请直接写出/的值；

②△80。能否为等腰三角形？若能,求出/的值；若不能，请说明理由.

8.(2019•乐山)如图，已知抛物线y=a(x+2)(x-6)与x轴相交于/、8两点，与夕轴交于C点,且tan/C48

3

=五设抛物线的顶点为对称轴交x轴于点N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)户为抛物线的对称轴上一点,。(〃,0)为x轴上一点，且PQLPC.

①当点P在线段(含端点)上运动时，求〃的变化范围；

②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；

③在①的条件下，当n取最大值时,将线段CQ向上平移/个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求

f的取值范围.

9.(2019•西宁)如图①，直线y=-a1+2百1与x轴,y轴分别交于A,B两点，以A为顶点的抛物线经过点

8,点P是抛物线上一点，连接OPAP-

(1)求抛物线的解析式；

(2)若△/0P的面积是3百,求P点坐标；

(3)如图②，动点同时从点。出发，点又以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以

时|个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动,当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运

动，过点N作NEHx轴交直线AB于点E.若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？

若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

10.(2019•沈阳)如图,在平面直角坐标系中，抛物线夕=°，+笈+2(aWO)与x轴交于两点(点/在点8

的左侧)，与夕轴交于点C,抛物线经过点O(-2,-3)和点E(3,2),点尸是第一象限抛物线上的一个动点.

(1)求直线DE和抛物线的表达式；

(2)在y轴上取点F(0,1)，连接当四边形O3PF的面积是7时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线。E上存在两点MN(点M在点N的上方),

且MN=2打〔动点Q从点P出发，沿Pm的路线运动到终点当点Q的运动路程最短时，请直接写

出此时点N的坐标.

11.(2019•湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xQy中,四边形O/8C是矩形，点4c分别在x轴和y轴的正

V3|

半轴上，连接AC,OA=3,tanZOAC=^\,D是BC的中点.

(1)求0C的长和点D的坐标;

(2)如图2〃是线段OC上的点,OM=3IOC,点P是线段OM上的一个动点，经过P,D、B三点的抛物线交x

轴的正半轴于点瓦连接DE交AB于点F.

①将△08尸沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段。下为边，在DF所在直线的右上方作等边△QFG,当动点P从点。运动到点〃时，点G也随之运动,

请直接写出点G运动路径的长.

12.(2021•高明区校级模拟)在平面直角坐标系中,Rt4/BC,NZC8=90°轴，如图1,C(1,0),且OC：

OA^AC：BC=\-2.

(1)/点坐标为,8点坐标为；

(2)求过Z、B、C三点的抛物线表达式；

(3)如图2,抛物线对称轴与N8交于点O,现有一点尸从点工出发,以每秒1个单位的速度在上向点8运

动,另一点。从点。与点P同时出发,以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点P到达8点时，点P、Q

同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△尸面积最大，试求出最大面积.

13.(2020•香洲区校级一模)如图1,矩形088的边分别在x轴和y轴上，且8(0,8)Q(10,0).点

E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处.

(1)若抛物线外经过点4。求此抛物线的解析式；

(2)若点M是(1)中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在MN使以4M为顶

点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折

线。-C-4以同样的速度运动，两点同时出发,当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线I±x

轴，依次交射线OA,OE于点F,G,设运动时间为/(秒),△QFG的面积为S,求S与，的函数关系式，并直接写出

t的取值范围.C的取值应保证△QFG的存在)

14.(2020•南充一模)如图，抛物线y=-2(x+1)(x-n)与x轴交于两点(点力在点5左侧)，与y

轴交于点C4BC的面积为5.动点P从点/出发沿Z8方向以每秒1个单位的速度向点8运动，过P作PN

±x轴交BC于M交抛物线于N.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当M在线段8c上,MN最大时，求运动的时间;

(3)经过多长时间，点N到点8、点C的距离相等?

15.(2020•潮南区模拟)如图，关于x的二次函数y=，+fcv+c的图象与x轴交于点/(1,0)和点8,与y轴交

于点C(0,3)才旭物线的对称轴与x轴交于点。.

(1)求二次函数的解析式.

(2)有一个点M从点/出发,以每秒I个单位的速度在N8上向点8运动，另一个点N从点。与点“同时

出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点

N运动到何处时,△MN8面积最大，试求出最大面积.

(3)在y轴上是否存在一点P,使△P3C为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理

由.

16.（2020•潮州模拟）如图1,已知抛物线y=2』+bx+c与x轴交于4、B两点（点/在点8的左侧）,与一

轴交于点C,且08=204=4.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点,当直线OC平分N/CP时，求点尸的坐标；

（3）如图2,点G是线段4c的中点，动点E从点”出发,以每秒1个单位长度的速度向终点5运动，动点F从

点8出发，以每秒&I个单位长度的速度向终点C运动，若从尸两点同时出发，运动时间为t秒.则当r为何值

1

17.（2021•饶平县校级模拟）如图,抛物线尸=7+6"。过点4（3,0）,8（1,0），交y轴于点C,点P是该抛物

线上一动点，点尸从C点沿抛物线向A点运动（点P不与4重合），过点P作PD//y轴交直线AC于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点尸在运动的过程中线段PO长度的最大值；

（3）△ZPO能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点尸坐标；若不能，请说明理由.

18.(2020•山西模拟)综合与实践

32^9

如图，抛物线＞=4"4"可与X轴交于点48(点/在点8的左侧)，交y轴于点C点。从点Z出发以

每秒1个单位长度的速度向点8运动，点E同时从点8出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为/秒.

(1)求点48,C的坐标；

(2)求，为何值时,△8QE是等腰三角形；

(3)在点。和点E的运动过程中，是否存在直线。E将△80C的面积分成1：4两份，若存在,直接写出/的

值；若不存在,请说明理由.

19.(2020•雁塔区校级模拟)将抛物线Ci：y=-7+3沿x轴翻折，得抛物线C2.

(1)请求出抛物线C2的表达式；

(2)现将抛物线G向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M与x轴的交点从左到右依次

为/、B；将抛物线C2向右也平移，"个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依

次为。、E.在平移过程中，是否存在以点为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时用的

值；若不存在，请说明理由.

20.(2020•清江浦区模拟)如图1,矩形088的边。£),。8分别在x轴和y轴上，且8(0,8),D(10,0).点

E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点。的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处.

(1)若抛物线了=以2+区经过点4。,求此抛物线的解析式；

(2)若点M是(1)中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M使为等腰三角形？若存在，直接写出点

加的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点。出发沿折

线。-C-Z以同样的速度运动，两点同时出发,当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点尸作直线

轴，依次交射线OAQE于点、凡G,设运动时间为f（秒），△。尸G的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接写出

f的取值范围.（，的取值应保证△QFG的存在）

21.（2022•济宁三模）如图，直线y=-2x+4交x轴于点交y轴于点8,抛物线y=ax2+bx+c（a#0）经过点

A,瓦点E的坐标是（5,3），抛物线交x轴于另一点C（6,0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设抛物线的顶点为。，连接BD<D,CD,动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动,

同时动点。在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点/运动，当其中一个点到达终点停止运动时,

另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒,P。交线段AD于点H.

①当NDPH=NCAD时，求f的值；

②过点”作印0，8。垂足为点M过点P作PNL8C交线段或/。于点N.在点尸、0的运动过程中,

是否存在以点为顶点的四边形是矩形？若存在，求出£的值；若不存在,请说明理由.

9

22.（2022•望花区模拟）如图1,已知抛物线产af+Rx+c与x轴交于/、8两点，与y轴交于C点,且点力的

坐标为（-1,0）、点C的坐标为（0,3）.

备用图

（1）请写出该抛物线的函数表达式和点8的坐标；

（2）如图2,有两动点D、E在△CO8的边上运动，运动速度均为每秒5个单位长度,它们分别从点C和点8

同时出发，点D沿折线COB按C-»O-8方向向终点B运动，点E沿线段BC按8-C方向向终点C运动，当其

中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为f秒，请解答下列问题：

蚪

①当t为何值时,△8AE的面积等于5I；

②在点。、E运动过程中,该抛物线上存在点尺使得依次连接4。、DF、FE、£4得到的四边形尸E是平

行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.

典例剖析.

4

[例1]（2022•本溪二模）如图，抛物线尸-W^+fec+c经过/（3,0）,C（-1,0）两点，与y轴交于

点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点"是线段48上方抛物线上一动点，以48为边作平行四边形连接OM若0M

将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；

（3）如图2,点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BT匀速运动,同时点。从点A出发,

以每秒1个单位长度的速度沿力一。一8匀速运动,当点尸到达点/时,P、。同时停止运动，设点P运

动的时间为，秒，点G在坐标平面内，使以8、P、。、G为顶点的四边形是菱形,直接写出所有符合条

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可;

（2）连接力〃,设与。例的交点为N,作NHLOA于点，，则NH//OB液氨M（血'

点/以下"4乙证明求出1rpi，可得"I'求出直线的解析式，联立

y=4x

x+4

方程组2即可求m点的横坐标;

34

（3）分两种情况讨论:①当0<W3时,P（前4-tlf）,Q（3-/,0），再由菱形的边的性质分三种

251251

情况求解：当8尸=尸。时,尸元或f=5（舍）；当8P=80时舍）；当80=尸。时,/=0（舍）

5013|4

或f=ITl（舍）；②当3<rW5时/（51/,4-51z）,Q（0J-3），再由菱形的边的性质分三种情况求

35

解：当BP=BQ,t=35；当BP=PQ时J=7(舍)或t=13(舍)；当BQ=PQ时J=0(舍)或t

561

=l3l.

4

【解答】解：(1)将(3,0),(-1,0)代入y=-3x^+bx+c,

4

0=-JX9+3b+c

O

4

0=-^r-b+c

得o

(.8|

3

解得lc=4|,

428,

.y=-yx7x+4

(2)连接设AB与OM的交点为N,作NHVOA于点，，则NH//OB,

,：A(3,0),B(0,4),

设直线AB的解析式为y=h+4,

二3行4=0,

4

:.k=-3,

4

"-y=-3x+4,

、4.(m,-^m+4)

设点M33，点N3

■:S^BMN：SMBM=T：4,

'♦SABMN：S"BM=\：4,

•・BN：AN=\：3,

:NH//OB,

\AANHs/\AOB.

NH_AN~^-m+4_3

.,.OBK,即-4—7,

3

解得出

...吟3)

直线OM的解析式为夕=4x,

y=4x

联立方程组

_-1±丘

解得x=5—I,

•.•点用在第一象限，

v=----------

点例的横坐标为一厂

(3)'：A(3,0),8(0,4),

=3,08=4,

34

①当0＜隹3时,P(5(,4-5Z),Q(3-Z,0)

V四边形BPQG是菱形，

3|4

当BP=PQ时，=(-51/-3+r)2+(矶)2,

251

解得f=Hl或/=5(舍)；

当BP=BQ时;(3-r)2+42=?,

251

解得/=可(舍)；

34

当BQ=PQ吐(3-/)2+42=(5L3+f)2+(5/)2,

50|

解得f=0(舍)或1=111(舍)：

耳-

②当3V/W5时,P(5lr,4-St),Q(Oj-3),

•..四边形BPQG是菱形，

当BP=BQ，=(7-/)2,

Ar=3.5；

当8P=P0时/=(351/)2+(4--5-/+3)2,

351

解得f=7(舍)或/=词(舍)；

34

当80=P。时，（7-f）2=（同/）2+（4-同「什3）2,

56|

解得，=0（舍）或片石；

56|251

综上所述：f的值为1目或3.5或

【例2】（2022•沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系x°y中,抛物线卜=0?+/+6（aWO）交x轴

于/、8两点，交y轴于点C,且O/=OC=3O8,连接/C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点尸和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点4点Q从

点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C,连接P0,当点P到达点A时，点Q停止运动，求S

L.CPQ的最大值及此时点P的坐标；

（3）点历是抛物线上一点，是否存在点M使得N/CM=15°?若存在，请直接写出点M的坐标；若

【分析】（1）先求出点/，点8坐标，利用待定系数法可求解析式：

（2）先求出C。与尸，的长，山三角形的面积公式和二次函数的性质可求解;

（3）分两种情况讨论,先求出CM的解析式,联立方程组可求解.

【解答】解：（1）二•抛物线了=数2+笈+6QW0）交y轴于点C,

:.点C（0,6）,

：.OC=6,

•：OA=OC=3OB,

：・OA=OC=6、OB=2,

・•・点/(-6,0)点B(2,0),

0=4a+2b+6

将点4点B坐标代入解析式，可得：［0=36a-6b+6

fa=4

42

解得：1b=-2,

二抛物线的表达式为：y=-it2-2x+6；

(2)如图，过点P作尸于，，

'：OA=OC=6,

AZOCJ=45°

"：PH±OC,

.*.4C0=NCPH=45°,

：.PH=CH,

•:点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点4点Q从点O以每秒1个单位长度的速

度沿OC运动到点C,

:.CP=2tQQ=t,

:.PH=CH=0,CQ=6-t,

j.2/2I2/2I»/2

:,SAPCQ=2XCQXPH=~2\(-?+6z)=--2\(/-3)2+2,

蚯

.•.当f=3时,的最大值为2,

:.PH=CH=3迎,

：.OH=6-3^21,

:.点P的坐标为（-3正〔6-3&）；

（3）如图，当点M在4C的下方时，设CA/与x轴的交点为H,

\'ZACM=\5°,ZJCO=45",

.../OC，=30°,

OHl返

tanZOC/7=CO=3

：.OH=243[

.•.点H（-2731,0）,

宜线CM的解析式为：

y=V3x+6

y=-^-x2-2x+6

联立方程组可得：2,

，x=0fx=-4-2V3

解得：]y=0（舍去）或ly=-4V§,

故点M（-4-2我I,-4百I）；

当点AT在AC的上方时，设C"与x轴的交点为G,

VZJCA/=15°,ZACO=45°,

：.ZOCG=60°,

OG|

.,.tanZOCGOCl=Vsl,

，OG=6囱，

.,.点，(-6731,0),

V3|

直线CM的解析式为：y=?1x+6,

y=^x+6

y=~yx2-2x+6

联立方程组可得:

Xi唱

Xy=4应4

解得：ly=0(舍去)或I33,

昭如16

故点M(-4-33+TI)；

27347316|

综上所述：点M的坐标为(-4-2V3I,-4V3I)或(-4-3，-3+3I).

[例3](2022•三亚模拟)如图1,抛物线y=-x^+h^c与x轴正半轴、y轴分别交于“(3,0)、B(0,3)

两点，点P为抛物线的顶点，连接4B、BP.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求NPB4的度数；

(3)如图2,点M从点。出发，沿着O/的方向以1个单位/秒的速度向/匀速运动,同时点N从点力

出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动,设运动时间为t秒,ME_Lx轴交AB于点

EJVFLx轴交抛物线于点F,连接儿W、EF.

①当EF〃加M时，求点F的坐标；

②在"、N运动的过程中，存在f使得△8NP与481W相似，请直接写出f的值.

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案：

(2)如图1,过点尸作尸。_Ly轴于点。，可证：△P8O是等腰直角三角形，△力08是等腰直角三角形,

即可求得答案；

(3)①如图2,延长FN交x轴于点G,由是等腰直角三角形，可得EM=ZA/=3再由四边

形是平行四边形，可得EM=FN,建立方程求解即可得出答案：

②如图3,过点N作HGlx轴于点G、由于/MBNV90：故NMBN#/PBN,若NBMN=NPBN=

90°,推出，=0,不符合题意；若N8AW=NP8N=90°,可求得/=1,进而可得△8乂"62\"82故，=

1.

【解答】解:(1)•.•抛物线产=-f+6x+c经过Z(3,0)、B(0,3)两点，

f-9+3b+c=0

：.\c=3,

[b=2

解得：lc=3,

抛物线的解析式为尸-X2+2X+3；

(2)y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,

顶点P(1,4),

如图1,过点P作PDLy轴于点D,

则D(0,4),/PDB=90°,

：.PD=],BD=4-3=1,

:.PD=BD,

：./\PBD是等腰直角三角形，

；./P8O=45。，8P=迎，

"：OA=OB=3,ZAOB=90a,

是等腰直角三角形，

.♦.480=45°48=3方，

:.NPB4=180°-ZPBD-ZABO=\SO°-45°-45°=90°,

(3)①如图2,延长尸N交x轴于点G,

由题意得：

.,.AM=3-r,

VFNlx^,

:.NAGN=90：

由（2）知：△/。8是等腰直角三角形,

:.NB4O=45°,

...△/8G是等腰直角三角形，

V2I四

：.AG^NG=~^\AN^-：^\'X.迎1/=/,

：.G(3-r,0),

当x—3-f时,-X2+2X+3=-(3-Z)2+2(3-r)+3=-»+4r,

：.F(3-Z,-?+4/),

：.FG=-?+4/,

:.FN=FG-NG=-，+4f-f=-P+3f,

：A/E_Lx轴，

...△/EM是等腰直角三角形，

：.EM=AM=3-t,

'：ME±x^,

:EF〃MN,FNLx轴，

/.四边形EFNM是平行四边形，

：.EM=FN,

.*.3-1=-P+3r,

解得：f=l或r=3(不符合题意，舍去)，

：.F(2,3)；

②存在.如图3,过点N作“GJ_x轴于点G,

由①知：OM=t<N=E»G=NG=t,

：.MG=3-2t,

；.8N=3&1-料，8尸=&〔/尸8"=90。，

*：NMBN<90°,

J.ZMBN^ZPBN,

若NBMN=NPBN=90：

则NBAU/NA/G=90°,

■:NBOM=/MGN=90：

：.ZBMO+ZMBO=901,,

，NMBO=NNMG,

：.XBMOs丛MNG,

OBQM

，即-1

MG|=NG7=tl=l.

A3-2f=3,

解得：f=0（不符合题意，舍去），

故NBMN丰NPBN,

若NBNM=NPBN=90°，则NNNA/=90°,

.•.△/MN是等腰直角三角形，

：.AM^^AN^2t,

：.OA=OM+AM=3t=3,

t-1,

当Z=1时,W=NN=MI,

:.BN=AB-3=3我1-&l=2&I,

m\gjJI

•.而=。=司，市im=5

MN|BP

BN|=南，且/8小〃=/产8%=90°,

:./\BNMs/\NBP,

综上所述，当△BNP与丛BMN相似时J=1.

图2

[例4]（2021•长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则

称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.

（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4,6,加-1,求,”的值.

（2）已知是“调和三角形”，它的三边长分别为a,6,c,且a<b<c.

①求a：b：c的值；

②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a,b,c的值.

（3）在（2）的条件下，动点尸从点/出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线4-3-C运动，动点

。从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点/运动，当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运

动,设运动时间为t秒，设V=PQ2.

①求V关于，的函数关系式；

②求y的最小值.

【分析】（1）根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，分情况求m值即司.；

（2）①根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，及勾股定理列出三边关系，联立方程组求出比

值即可；

②根据三边比值和△48C周长的数值与面积的数值相等,求出三边长度即可；

（3）①分点尸在上和在BC上两种情况，根据勾股定理求出P02即可；

②利用①的函数关系式求最值即可.

【解答】解：（I）:•“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，

二①当4+6=2（/n-1）时，

解得w=6,

②当1+4=2X6时，

解得m=9,

③当6+m-1=2X4时，

解得m=3(不合题意舍去)，

综上内的值为6或9；

(2)①是"调和三角形"，且a<6<c,

.,.a2+b2=c2,(l)

a+c=26,②

a+c|

由②，得6=Z,代入①,

a+c|

得J+(Z2)I)2=。2,

整理得(5a-3c)(a+c)=0,

•••人仇c为三角形三边，

•\0<a<b<c7

A5a-3c=0,

故a：c=3：5,

同理可得,a：b=3：4,

•\a：b：c=3：4：5；

②若△/sc周长的数值与面积的数值相等，

0~ab

即a+b+c=2,

b：c=3：4：5,

4l5

.\b=3ayc=3a,

.\a+b+c=2",

即a+3a+3a=2aX3a,

解得a=6或a=0(舍去)，

ci—6,b—8,c—10；

(3)①(I)当尸点在48上时，即0WK5时,

过2作/5。，/。于。，

则有AP=2t,CQ=t,

；N4=NA,NPa4=NBC4=90°,

/\APD^/\ABC,

：.PD：AD：NP=3：4：5,

1旦

.'.PD=5\t^4D=5\t,

.♦.Q0=8，弓=8-

'：PQ1=PD2+DQ2,

g1341208

:.P©=(5/)2+(8-5/)2=5p~TL+64；

(II)当P在BC上时，即5<fW8时,

此时，尸C=6+10-2/=16-2/,

CQ=t,

：.PQ2=PD1+DQ2=(16-2/)2+p=5e-64什256,

丫亭t2^if+64(0<t<5)

>DD

综上)关于r的函数关系式：Iy=5t2-64t+256(5<t<8)

②由y关于t的函数关系式可知当。在上时有最小值,

力翔-2081042304

5什64(/-41)2+205,

1.(2021•遵化市模拟)如图，关于x的二次函数y=，+6x+c,的图象与x轴交于点/(1,0)和点民

与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使△尸BC为等腰三角形？若存在.请求出点尸的坐标；

(3)有一个点M从点N出发,以每秒1个单位的速度在上向点8运动，另一个点N从点。与点

M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停

止运动，问点M、N运动到何处时，△脑VS面积最大，试求出最大面积.

【分析】(1)代入4(1,0)和C(0,3)，解方程组即可；

(2)求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC,当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：

(1)CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

1

(3)设则DV=2f,由48=2,得BM=2-(2-t)X2f=-P+2f,运用二次函

数的顶点坐标解决问题；此时点”在。点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上

x轴下方2个单位处.

【解答】解：(1)把4(1,0)和C(0,3)代入y=/+fcc+c,

(l+b+c=0

Ic=3

解得：b=-4,c=3,

.•.二次函数的表达式为：y=x2-4"3；

(2)令尸0,则-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

：.B(3,0),

；.8C=3正〔

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时,尸。=3&卜.。尸=。。+/。=3+3&1或OP=PC-OC=3V^1-3

：.P\(0,3+3^21)，尸2(0,3-3^21)；

②当BP=BC时,OP=OC=3,

：.P3(0,-3)；

③当P8=PC时，

•：OC=OB=3

...此时产与。重合,

：.P4(0,0)：

综上所述，点尸的坐标为：(0,3+3&1)或(0,3-3&b或(0,-3)或(0,0)；

(3)如图2,设M运动时间为由45=2,得BM=2-f,则DN=2t,

2

：.S/\MNB=2[X(2-t)X2t=-A2Z=-(/-1)2+l,

即当M(2,0)、N(2,2)或(2,-2)时△MN8面积最大，最大面积是1.

2.(2020•市中区一模)如图，在平面直角坐标系中,抛物线yuqf+bx+d经过/(-3,0)、B(4,0)

两点，且与y轴交于点CQ(4-4^1,0).动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度

向点B移动，同时动点。从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若经过，秒的移动，线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值；

(3)在第一象限的抛物线上取一点G,使得SAGCB=SAGC,再在抛物线上找点E(不与点/、B、C

重合)，使得/G2E=45°,求E点的坐标.

备用四

【分析】(1)直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；

AD_DQ

(2)首先求出则AB-BC,得出O0=OP的长，进而得出答案；

(3)首先得出G点坐标，进而得出△8GMs△BEN,进而假设出《点坐标，利用相似三角形的性质得

出E点坐标.

【解答】解：(1)将/(-3,0)、B(4,0)代入^=/+6%+4得:

9a-3b+4=0

,16a+4b+4=0,

(2)如图，连接

由B(4,0)和。(4-472,0),

可得BD=4V2,

ACO=4,

，8C=48则BC=BD,

：.NBDC=NBCD=ZQDC,

：.DQ//BC,

：.AAQD^/\ACB,

AD_DQ

AAB"BC,

7-4&_叫

/.7-4V2I,

28五-32

DQ=7\=DP,

28企-32117

t=AP=AD+DP=7-W2+~~7|=~

(3)如图，过点G作GMVBC于点M过点E作ENJLAB于点N,

,SAGCB-SAGCA,

,・只有CG//AB时,G点才符合题意,

VC(0,4),

1\J.

.*.4=-3x2+3x+4,

解得：X|=1/2=0,

：.G(1,4),

•：ZGBE=ZOBC=45°,