课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程试题理

PAGEPAGE11专题九平面解析几何【真题典例】9.1直线方程与圆的方程挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.直线方程①在平面直角坐标系中,结合详细图形,确定直线的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,驾驭过两点的直线斜率的计算公式;③驾驭确定直线位置的几何要素,驾驭直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系2024课标Ⅰ,20,12分直线方程抛物线的几何性质★★☆2.圆的方程①驾驭圆的几何要素;②驾驭圆的标准方程与一般方程2024课标Ⅱ,19,12分直线方程与圆的方程抛物线的几何性质★☆☆2024课标Ⅲ,20,12分直线方程与圆的方程两直线垂直与其斜率的关系2024课标Ⅱ,4,5分圆的方程点到直线距离公式2024课标Ⅰ,14,5分圆的方程椭圆的几何性质分析解读从近5年高考状况来看,对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等,解答时应充分利用分类探讨、数形结合的思想.在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几何性质简化运算.破考点【考点集训】考点一直线方程1.(2024吉林梅河口校级二模,4)已知角α是其次象限角,直线2x+ytanα+1=0的斜率为83A.35B.-35C.4答案D2.(2024江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的肯定值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D考点二圆的方程1.(2024广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案B2.(2024河南豫北名校4月联考,4)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=4答案D3.(2024甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是()A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5答案D炼技法【方法集训】方法1直线的倾斜角与斜率的求解方法1.(2024陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为()A.0,πC.π2,答案A2.(2024湖北黄冈模拟,4)直线x-ysinθ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.π4,3π4C.0,π4D.答案A3.(2024河南豫南九校联考,5)若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=55A.-12B.-12或-2C.答案D方法2解与圆有关的最值问题的方法1.(2024湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+2答案A2.(2024河南洛阳期末)已知正数x,y满意x2+y2=1,则3x+y的取值范围是()A.(1,3]B.(1,2]C.(3,2]D.(2,23)答案B3.(2024福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的探讨,主要探讨成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯圆是他的探讨成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A95,0、B(5,0)的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9.下面,我们来探讨与此相关的一个问题:已知圆O:x2+yA.6B.7C.10D.11答案C过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一直线方程(2024课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x2(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2ay=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)疑难突破要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.考点二圆的方程1.(2024课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.答案A2.(2024课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y2答案x-3223.(2024课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k由题设知4k因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注意利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.4.(2024课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x又x1=y122,x2=y222,故x因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m由于圆M过点P(4,-2),因此AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2024陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.

答案x2+(y-1)2=12.(2024江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满意:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d所以25=(m解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t解得2-221≤t≤2+221.因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221].【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2025届湖南衡阳八中10月月考,3)已知直线l的倾斜角为θ且过点(3,1),其中sinθ-π2A.3x-y-2=0B.3x+y-4=0C.x-3y=0D.3x-3y-6=0答案B2.(2025届重庆綦江中学模拟,9)已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB且A,B分别为切点,则直线AB经过定点()A.12,14B.1答案B3.(2025届辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0外切,则C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=0答案D4.(2024福建厦门4月联考,5)若a∈-2,0,34,A.0B.1C.2D.3答案B5.(2024湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若fπ4-xA.π4B.πC.2π3D.答案D6.(2024河南豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的全部圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案B7.(2024海南海口模拟,7)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案C8.(2024江西新余五校4月联考,8)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为()A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案D二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2025届四川眉山仁寿一中一调,15)已知实数m,n满意2m-n=1,则直线mx-3y+n=0必过点.

答案-10.(2024河南新乡二模,15)若圆C:x2+y+12m2=n的圆心为椭圆M:x2答案x2+(y+1)2=4三、解答题(共25分)11.(2025届江西抚州七校联考,21)已知圆M与直线3x-7y+4=0相切于点(1,7),圆心M在x轴上.(1)求圆M的方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分