人教版八年级下数学一次函数答案

人教版八年级下数学

参考答案与试题解析

一次函数综合试卷（一）

一.解答题（共20小题）

1.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终

点会合.己知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在

小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分.设小亮出发x分

后行走的路程为y米.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.

（1）小亮行走的总路程是3600米,他途中休息了20分.

（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度.

（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

（1）小亮到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；

（2）休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走（3600-1950）米.

（3）求小颖到达缆车终点的时间，计算小亮行走路程，求离缆车终点的路程.

【解答】解：（1）根据图象知：小亮行走的总路程是3600米，他途中休息了20

分钟.

故答案为3600,20；...（2分）

（2）小亮休息前的速度为：剪_=65（米/分）…（4分）

30

小亮休息后的速度为：3600-1950=55（米/分）…（6分）

80-50

3600

（3）小颖所用时间：―乙—=io（分）…（8分）

180

小亮比小颖迟到80-50-10=20（分）...（9分）

...小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20X55=1100（米）...（10分）

【点评】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键.此

题第3问难度较大.

2.有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注

入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函

数图象如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）求注水多长时间，乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍；

（2）求注水2小时时，乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多多少.

【分析】（1）先根据待定系数法，求得甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与

注水时间x（小时）之间的函数关系式，再根据乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水

的深度的2倍，列出关于x的方程进行求解即可；

（2）设甲蓄水池的底面积为m,乙蓄水池的底面积为n,根据甲水池3个小时

深度下降2米，而乙水池深度升高3米，分别求得m和n的值，再求得2小时

后甲蓄水池的水量和乙蓄水池的水量，最后计算乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多

的量.

【解答】解:（1）设yxkx+b,把（0,2）,（3,0）代入得

（2=b

l0=3k+b

解得k=2,b=2,

3

••y甲=_^^~x+2,

3

设yzI=mx+n,把（0,1）,（3,4）代入得

（l=n

14=3m+n

解得m=l,n=l

••y乙=x+l,

当乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍时，有

x+l=2（2+2）

3

解得x=2

7

注水旦小时，乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍；

7

（2）设甲蓄水池的底面积为m,乙蓄水池的底面积为n,

根据图象可知，甲水池3个小时深度下降2米，而乙水池深度升高3米，

•.•甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，

，2m=3X6,3n=3X6,

m=9,n=6,

，2小时后甲蓄水池的水量=01X丫甲=9（-1X2+2）=6（立方米），

3

2小时后乙蓄水池的水量力乂丫乙=6（2+1）=18（立方米），

二注水2小时时，乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多：18-6=12（立方米）.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及利用待定系数法求一次函数解析式

的方法，根据图象中提供的信息，求得甲、乙蓄水池的底面积是解决问题的关键.

3.甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙

库可调出80吨水泥，A地需要70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A、B两

地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨•千米"表示每吨水泥运送1km所需人

民币）

路程（km）运费（元/吨•千米）

甲库乙库甲库乙库

A地20151212

B地2520108

（1）设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式.

（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运

费是多少？

【分析】（1）由甲库运往A地水泥x吨,根据题意首先求得甲库运往B地水泥（100

-x）吨，乙库运往A地水泥（70-x）吨，乙库运往B地水泥（10+x）吨，然后

根据表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式；

（2）根据（1）中的一次函数解析式的增减性，即可知当x=70时，总运费y最

省，然后代入求解即可求得最省的总运费.

【解答】解：（1）设甲库运往A地水泥x吨，则甲库运往B地水泥（100-X）吨,

乙库运往A地水泥（70-x）吨，乙库运往B地水泥[80-（70-x）]=（10+x）

吨，

根据题意得：y=12X20x+10X25（100-x）+12X15X（70-x）+8X20（10+x）

=-30x+39200（04W70）,

，总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式为：y=-30x+39200；

（2）•.•一次函数y=-30x+39200中，k=-30<0,

的值随x的增大而减小，

...当x=70时，总运费y最省，最省的总运费为37100元.

【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题.此题难度较大，解题的关键是理

解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解.

4.为了抓住世博会的商机，某商店决定购进甲、乙两种玩具.其中甲种玩具是

每件5元，乙种玩具是每件10元.

（1）若该商店决定拿出1000元钱全部用来购进这两种玩具，考虑市场需要，要

求购进甲种玩具的数量不少于乙种玩具数量的6倍，且不超过乙种玩具数量的8

倍，那么该商店有几种不同购进方案？

（2）若销售每件甲种玩具可获利3元，销售每件乙种玩具可获利4元，在第（1）

问的各种进货方案中，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少？

【分析】（1）设甲种玩具买x件，乙种玩具买y件，则根据题意得出方程

5x+10y=1000和不等式组6yWxW8y,把方程代入不等式组即可得出20WyW25,

求出y的值即可；

（2）设利润为W元，得出W=3x+4y,求出W=600-2y,根据一次函数的性质得

出y取最小值时W最大，求出y=20,即可求出x和W值.

【解答】（1）解：设甲种玩具买x件，乙种玩具买y件，由题意可知：

（5x+10y=1000①

j6y<x<8y（2）

解得：20WyW25,

lx,y为整数,

，y=20,21,22,23,24,25共六种方案，

V5x=1000-10y>0,

.*.0<y<100,

•••上述六种方案都满足题意，

（2）解：设利润为W元，则

W=3x+4y,

V5x+10y=1000,

x=200-2y,

，代入上式得：W=600-2y,

；-2<0,

AW随着y的增大而减小，

当y=20时，W最大，

即此向'x=160时，W最大,

（元），

•*.Witt=600-2X20=560

答:当购进甲种玩具160个，购进乙两种玩具20个时获利最大，最大利润为560

元.

【点评】本题考查了一次函数的应用和一下函数的性质，不等式组，二元一次方

程等知识点，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度.

5.某市准备购买一种新树苗进行绿化，甲、乙两个育苗基地对一次性购买树苗

不低于1000株的用户均实行优惠.甲乙育苗基地优惠方式如下表

育苗基原售优惠政策

地价

甲4元/每株树苗按原售价的七五折出售

株

乙4元/免收所购树苗中200株的费用，其余树苗按原售价的九折出

株售

（1）规定只能在甲或乙中的一处购买树苗，设一次性购买x（x>lOOO,且x为

整数）株，在甲处购买，所花的费用为yi元；在乙处购买，所花的费用为丫2元.

①分别写出yI、丫2与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

②若一次性购买1400株，在哪出购买所花的费用较少？为什么？

（2）若在甲、乙两处共购买2500株，并分别享受相应的优惠方式，则应在甲、

乙两处分别购买多少株，才能使所花的费用最少？并求这个最少费用.

【分析】（1）①根据题意可得出两个关系式；

②把x=1400代入两个函数式计算，可得出花费少的地方；

（2）可设在乙处购买a株该种树苗，所花钱数为W元，可列出W与a的函数

关系式，再根据题意列出关于a的不等式组，求a的范围，然后利用一次函数的

性质进行解答.

【解答】解：（1）由题意得，

yi=0.75X4x=3x,

（）

y2=0.9X4x-200=3.6x-720；

（2）应在甲处育苗基地购买所花的费用少.

当x=1400时,yi=3X1400=4200；

y2=3.6X1400-720=4320.

Vyi<y2>

...在甲处购买费用少；

（3）设在乙处购买a株该种树苗，则甲处购买（2500-a）株，所花钱数为W

元，

AW=3（2500-a）+3.6a-720=0,6a+6780,

v<fl000<a<2500

,11000<2500-a<250C

1000WaW1500,且a为整数，

V0.6>0,

.'.W随a的增大而增大，

时，

，a=1000WjH，h=7380,

/.2500-1000=1500（株）.

答：至少需要花费7380元，应在甲处购买1500株，在乙处购买1000株.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用和不等式组的应用，解答一次函数的应

用问题中，要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义.

6.为了迎接2008年北京奥运会，大渡口区某中学组织了一次大型长跑比赛.甲、

乙两人在比赛时，路程S（米）与时间t（分钟）的关系如图所示，根据图象解

答下列问题：

（1）这次长跑比赛的全程是一米；先到达终点的人比另一人领先一分钟；

（2）乙是学校田径队运动员，十分注意比赛技巧，比赛过程分起跑、途中跑、

冲刺跑三阶段进行，经历了两次加速过程.问第4分钟时乙还落后甲多少米？

（3）假设乙在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两人谁

先到达终点？请说明理由；

(4)事实上乙追上甲的时间是多少分钟？

【分析】(1)根据图象即可得出所求的值；

(2)由图可知第四分钟时，乙走了1300米，只要求出甲的路程即可，根据甲到

终点时的数据可得出甲的速度，有了时间4分钟就能求出甲的路程了；

(3)由题意可知在2到4t时，乙走了(1300-600)米，因此可计算出此时的

速度，有知道了剩下的路程为(2000-1300)米，那么剩下的时间就可以求出了.然

后和甲的剩下的时间进行比较，看能否同时到达；

(4)甲追上乙时两者的路程是相同的，冲刺时乙的路程为(2000-1300)米，

时间为(5.4-4)t,那么可求出乙冲刺的速度，然后根据(2)中求出的乙落后

的距离，那么可求出追及用的时间再加上前面走的时间就能求出乙在第几分钟追

上甲了.

【解答】解：(1)2000米；0.6分钟；

(2)甲的速度为200°」00°,

63

第4分钟时甲行了I。。。X4=1333L

33

乙落后甲13331-1300=33^(米)；

33

(3)途中跑时乙速为(1300-600)4-(4-2)=350,

剩下的路程还需时(2000-1300)+350=2分钟，

所以乙第一次加速后，若始终保持这个速度前进，那么甲、乙将同时到达；

(4)冲刺时乙速为(2000-1300)4-(5.4-4)=500,

由(2)知此冲刺前还落后甲332米，

3

则要追上甲还需时33工+(500-1000)=0.2分钟，

33

即第4.2分钟时乙追上甲.

【点评】一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，借

助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键.注意图中的分段函数的意义.

7.上海和南京分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给苏州10台和长沙

8台、已知从上海调运一台机器到苏州和长沙的运费分别为400元和800元；从

南京调运一台机器到苏州和长沙的运费分别为300元和500元；

(1)设上海运往苏州机器x台，求总运费y(元)关于x的函数关系式，并写出

自变量x的取值范围；

(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

【分析】(1)设上海运往苏州机器x台，则上海运长沙(12-x)台，南京运苏

州(10-x)台，南京运长沙6-(10-x)=(x-4)台；再根据运费单价列出函

数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求x的范围.

(2)因为所求一次函数解析式中，一次项系数-200V0,x越大，y越小，为使

总运费最低，x应取最大值.

【解答】解：

(1)y=400«x+800»(12-x)+300*(10-x)+500*(x-4)

=-200x+10600,

'12-x〉0

由10-x>0,解得4WxW10,且x为整数；

.x-4>0

(2)因为y=-200x+10600中，-200<0,

所以，当x=10时，总运费最低，

此时y=-200X10+10600=8600；

即：上呼往苏州10台，上海运往长沙2台，南京运往长沙6台时，运费最低

为8600元.

【点评】本题是一次函数的应用问题，要根据题目所设自变量及机器台数的数量

关系，表示其它三种调出台数，同时要注意自变量的取值范围必须使实际问题有

意义.

8.某种植物在气温0C以下持续时间超过3时.即遭受霜冻灾害，需采取预防

措施.下图是气象台发布的该地区气象信息，预报次日0时〜4时，4时〜6时

的气温随时间变化情况，其中0时〜4时，4时〜6时的图象分别满足一次函数

关系请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说

明理由？

【分析】根据题意需判断气温0℃以下持续时间是否超过3时.由图知需求两函

数图象与x轴交点之间的距离再作判断.所以先运用待定系数法求解析式，再求

函数图象与x轴的交点坐标.

【解答】解：设0时〜4时的函数表达式为y=k1x+bi(1分)

bi二3

因为点（0,3）,（4,-3）在其图象上，所以1.（2分）

4k[+b]=-3

解得「2,则其表达式为尸得乂+3-（3分）

、二3

令y=0.得0=-1x+3，则xi=2.（4分）

设4时~6时的函数表达式为y=kzx+b2（5分）

因为点（4,-3）,（6,5）在其图象上，所以J22.（6分）

6k2+b2=5

解得[功-4,则其表达式为y=4x-19.（1分）

旧=-19

令y=0,得乂1S.（8分）

4

乂2-*1=号-2#<3・

所以不需要采取防冰措施.（9分）

【点评】此题考查一次函数的应用，正确理解题意是难点.

9.如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-x+b交y轴于点A（0,4）,交x轴

于点B.

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；

（2）直线I垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线I上一动点，

且在点D的上方，设点P的纵坐标为n.

①用含n的代数式表示4ABP的面积；

②当SAABP=8时，求点P的坐标；

③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC,求点C的坐标.

【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b=4,则直线的解析式为y=

-x+4,令y=0可求得x=4,故此可求得点B的坐标；

（2）①由题I垂直平分OB可知OE=BE=2,将x=2代入直线AB的解析式可求得

点D的坐标,设点P的坐标为（2,n）,然后依据SAAPB=SAAPD+SABPD可得到^APB

的面积与n的函数关系式为SAApB=2n-4；

②由SAABP=8得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；

③如图1所示，过点C作CMLI,垂足为M,再过点B作BN_LCM于点N.设点

C的坐标为（p,q）,先证明△PCMgACBN,得到CM=BN,PM=CN,然后由CM=BN,

PM=CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值；如图2所示，同理可求得点

C的坐标.

【解答】解：（1）二•把A（0,4）代入y=-x+b得b=4

二直线AB的函数表达式为：y=-x+4.

令y=0得：-x+4=0,解得：x=4

二点B的坐标为（4,0）.

（2）①垂直平分OB,

，OE=BE=2.

。将x=2代入y=-x+4得:y=-2+4=2.

.•.点D的坐标为（2,2）.

•点P的坐标为（2,n）,

/.PD=n-2.

•SAAPB=SAAPD+SABPD，

，SAABP=LPD・OE+LPD・BE=L(n-2)X2+1(n-2)X2=2n-4.

2222

②SAABP=8,

/.2n-4=8»解得：n=6.

.•.点P的坐标为(2,6).

③如图1所示：过点C作CM_U,垂足为M,再过点B作BN_LCM于点N.

图1

设点C（p,q）.

•••△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边,

；.PC=CB,NPCM+NMCB=90°.

VCM1I,BN1CM,

.,.ZPMC=ZBNC=90°,ZMPC+ZPCM=90°.

/.ZMPC=ZNCB.

在△PCM和ACBN中，

'/PMC=/BNC=90°

<ZMPC=ZNCB，

PC=BC

.,.△PCM^ACBN.

，CM=BN,PM=CN.

....p-4=6-q,解得（P=6.

q=p-2Iq=4

.•.点C的坐标为（6,4）.

如图2所示：过点C作CM_U,垂足为M,再过点B作BN_LCM于点N.

图2

设点C（p,q）.

•••△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边,

，PC=CB,ZPCM+ZMCB=90°.

VCM±I,BN±CM,

/.ZPMC=ZBNC=90°,ZMPC+ZPCM=90°.

AZMPC=ZNCB.

在△PCM和ACBN中，

，ZPMC=ZBNC=90°

<ZMPC=ZNCB，

PC=BC

/.△PCM^ACBN.

，CM=BN,PM=CN.

*P=6-q,解得（P=O.

Iq=2-pIq=2

.•.点C的坐标为（0,2）舍去.

综上所述点C的坐标为（6,4）.

【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数

法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的性质

可判断，由CM=BN,PM=CN歹U出关于p、q的方程组是解题的关键.

10.如图，一次函数尸的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以

线段AB为直角边在第一或限内作RSABC,且使NABC=30。；

（1）如果点P（m,返）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB

2

的面积，并求当4APB与^ABC面积相等时m的值；

（2）如果aQAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐

标；

（3）是否存在实数a,b使一次函数7=二/3*+/§和y=ax+b的图象关于直线y=x

对称？若存在，求出金的值；若不存在，请说明理由.

a+b

【分析】（1）过点P作PDJ_X轴于D,根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,

从而求出OA、0B,利用勾股定理列式求出AB,然后求出NABO=30。，再根据S

四边形AOPB=S林形PDOB+SZ\AOB-S/XPDO列式整理即可得解；根据SAAPB=S四边形AOPB-SAAOP

表示出aAPB的面积，再解直角三角形求出AC,然后求出4ABC的面积，列出

方程求解即可；

（2）分①点A是顶角顶点，AB是腰时，求出0Q的长度，②点B是顶角顶点，

AB是腰时，求出0Q的长度，然后写出点Q的坐标，③AB是底边时，分点Q在

y轴上和点Q在x轴上两种情况，利用等边三角形的性质求解；

（3）求出A、B两点关于直线y=x的对称点的坐标，再利用待定系数法求一次函

数解析式求出a、b,然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：（1）如图，过点P作PD_Lx轴于D,

•.•点P（m,返）在第二象限内，

_2

/.PD=K,0D=-m,

2__

令y=0,则-

解得x=l,_

令x=0,贝ij丫=愿，

.,.点A（1,0）,B（0,V3）,

OA=1,0B=A/5，

由勾股定理得，AB=VOA2+OB2=7I2+（V3）2=2,

Z.ZABO=30°,

S四边形AOPB二S梯形PDOB+S^AOB-SAPDO，

=lx（2/I+J3）（-m）+±X1XV3-1X（-m）X®

22222

=-®

22_

/.四边形AOPB的面积=-1m+返；

22

SAAPB=S四边形AOPB-SAAOP»

=-返m+返-Lx1X返，

2222

=-返m+2ZZ,

24

,/ZABC=30°,

，AC=AB*tan30°=2X,

_33

/.SAABC=—2

X2XV3_2V3>

233

,.•△APB与△ABC面积相等，

....叵"亘逅

243

解得m=-且

6

故，当4APB与aABC面积相等时，m=-i-；

6

（2）①点A是顶角顶点，AB是腰时，AQ=AB=2,

若点Q在x正半轴，则OQ=AO+AQ=l+2=3,

若点Q在x轴负半轴，则OQ=AQ-A0=2-1=1,

若点Q在y轴负半轴，则OQ=BO=«,_

.•.点Q的坐标为（3,0）或（-1,0）或（0,-V3）,

②点B是顶角顶点，AB是腰时，BQ=AB=2,

若点Q在y轴正半轴，则OQ=BO+BQ=F+2,

若点Q在y轴负半轴，则。Q=BQ-BO=2-百，

若点Q在x轴负半轴，则。Q=AO=1,_

二点Q的坐标为（0,折2）或（0,V3-2）或（-1，0）；

③AB是底边时，若点Q在y轴上，则OQ=OA・tan30FX®Yl,

33

若点Q在x轴上，则OQ=AO=1,

，点Q的坐标为（0,叵）或（-1,0）,

3

综上所述，^QAB是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为（3,0）(-1,

0）或（0,-A/3）或（0，扬2）或（0,V3-2）或（0,返）；

3

（3）VA（1,0）关于y=x的对称点为（0,1）,

B（0,愿）关于y=x的对称点为（料，0）,

.：b=l,

［如a+b=0'

fV3

解得a二万，

.b=l

,等''I

•ab-J

二+1

=-V3（3+V3）

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点坐标的

求解，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解

析式，二次根式的化简，难点在于（2）根据三角形的腰长的不同分情况讨论,

（3）点A、B关于直线y=x的对称点的求解.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3,AD=2,

经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F.

（1）求：①点D的坐标；

②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；

（2）直线y=x-2上是否存在点P,使得aPDC为等腰直角三角形？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是

平行四边形，请直接写出点M的坐标.

【分析】（1）①设点C的坐标为（m,2）,根据一次函数图象上点的坐标特征，

代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出0A,然后写出点D

的坐标即可；

②根据互相平行的直线的解析式的k值相等设出直线解析式为y=x+b,然后把点

D的坐标代入函数解析式求解即可；

（2）根据直线解析式求出4EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性

质可得NCEB=NECB=45。，再根据平行线的性质可得NDCE=NCEB=45。，然后判断

出aPDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①ND=90。时，根据

点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②NDPC=90。时，

作DC的垂直平分线与直线y=x-2的交点即为点P2,求出点P的横坐标，再代

入直线解析式计算即可得解；

（3）根据平行四边形平行且对边相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上,

求出0M的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中

心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M.

【解答】解：（1）①设点C的坐标为（m,2）,

•.•点C在直线y=x-2上，

2=m-2,

m=4,

即点C的坐标为（4,2）,

•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD=3,AD=BC=2,

.•.点D的坐标为（1,2）；

②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b,

将D（1,2）代入y=x+b,得b=l,

,经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+l；

（2）存在.

•••△EBC为等腰直角三角形，

，NCEB=NECB=45",

又YDC:〃AB,

，NDCE=NCEB=45°,

...△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，

如图，①当ND=90。时，延长DA与直线y=x-2交于点Pi，

•点D的坐标为（1,2）,

...点Pi的横坐标为1,

把x=l代入y=x-2得，y=-1,

...点Pi（l,-1）；

②当NDPC=90。时，作DC的垂直平分线与直线y=x-2的交点即为点P2,

所以，点P2的横坐标为上曳旦，

22

把x=$代入y=x-2得，y=—,

22

所以，点P2（1,1）,

22

综上所述，符合条件的点P的坐标为（1,-1）或（§,1）；

22

(3)当y=0时,x-2=0,

解得x=2,

.\OE=2,

•.•以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，

...若DE是对角线，贝UEM=CD=3,

.,.OM=EM-0E=3-2=1,

此时，点M的坐标为（-1,0）,

若CE是对角线，则EM=CD=3,

0M=OE+EM=2+3=5,

此时，点M的坐标为（5,0）,

若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（§,2）,

2

设点M的坐标为（x,y）,

则必5,%=2,

222

解得x=3,y=4,

此时，点M的坐标为（3,4）,

综上所述，点M的坐标为（-1,0）,（5,0）（3,4）.

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，

矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟记各性质是解题的

关键，难点在于（2）（3）分情况讨论.

12.如图，直线y=-2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B,与直线丫=当相交于

2

点A.

（1）求A点坐标；

（2）如果在y轴上存在一点P,使aOAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点

坐标是（0,—）；

_6_

（3）在直线y=-2x+7上是否存在点Q,使AOAQ的面积等于6?若存在，请求

出Q点的坐标，若不存在，请说明理由.

【分析】（1）联立方程，解方程即可求得;

（2）设P点坐标是（0,y）,根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；

（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD_Ly轴于点D,则QD=x,根据

SAOBQ=S,\OAB-SAOAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线

上时，作QD_Lx轴于点D,则QD=-y,根据SA℃Q=SAOAQ-SAOAC列出关于y的方

程解方程求得即可.

y=-2x+7

x=2

【解答】解：（1）解方程组：3得:

y=7xy=3

，A点坐标是（2,3）；

（2）设P点坐标是（0,y）,

•.•△。AP是以OA为底边的等腰三角形,

AOP=PA,

A224-(3-y)

解得y=验，

6

，P点坐标是

故答案为（0,11）；

6

（3）存在；

由直线y=-2x+7可知B（0,7）,C（工，0）,

2

SAAQC=—X—X3=21<6,SAAOB=—X7X2=7>6，

2242

，Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x,y）,

当Q点在线段AB上：作QD，y轴于点D,如图①，则QD=x,

••SAOBQ=SAOAB-SAOAQ=7-6=1,

.•.1JOB・QD=1,即LX7X=1,

22

•“•A—2—,

7

把x=2代入y=-2x+7,y=—,

77

，Q的坐标是(2,啦)，

77

当Q点在AC的延长线上时，作QDLx轴于点D,如图②则QD=-y,

••SAOCQ=SAOAQ-SAOAC=6_4二二,

44

，1JOC・QD=W,即L义工X(-y)=W,

24224

•••vy———3,

7

把y=-3代入y=-2x+7,解得x=空，

77

，Q的坐标是（型，-3）,

77

综上所述：点Q是坐标是（2,更）或（竺，-1）.

7777

【点评】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，三角

形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键.

13.已知直线y=-&<+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B

3

和点D（11,6）.

（1）求AB、BD的长度，并证明4ABD是直角三角形；

（2）在x轴上找点C,使4ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；

（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A--B--D运动到D点停止，另有一

动点Q从D点出发，以相同的速度沿D--B--A运动到A点停止，两点同时

出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式.

【分析】（1）令x=0,y=0分别求解即可得到点A、B的坐标，然后利用勾股定理

列式计算即可得到AB、BD,过点D作DH_Ly轴于H,然后求出DH、AH,再利

用勾股定理列式计算求出AD,然后根据勾股定理逆定理证明即可；

（2）设OC=x,根据等腰三角形两腰相等利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）求出点P、Q相遇时的t值，然后分点P在AB上，点P、Q都在BD上重合

前和重合后两种情况，点Q在AB上四种情况讨论求解.

【解答】解:(1)令x=0,y=4,

令y=0,则-AX+4=0,

3

解得x=3,

所以，A(0,4),B(3,0),

由勾股定理得，

AB=Ay0A2+0B2=5,

BD=V(ll-3)2+62=1°，

过点D作DH_Ly轴于H,DH=11,AH=2,

由勾股定理得，^0=^22+112=V125>

VAB2=25,BD2=100,

.*.AB2+BD2=AD2,

.•.△ABD是直角三角形；

(2)设OC长为x,由等腰三角形以及勾股定理得到X?+42=(11-x)2+62,

解得x=应，

22

所以，C(四，0)；

22

(3)设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10,

解得t=7.5,

点P在AB上时，0WtW5,PB=5-t,BQ=10-t,

PQ=M2+BQ2=y(5-t)2+(IOT产42t2-30t+125'

所以，y=V2t2-30t+125,

点P、Q都在BD上重合前，5VtW7.5,PQ=5+10-t-t=15-2t,

重合后，7.5<t^l0,PQ=t+t-5-10=2t-15,

所以，y=2t-15,

点Q在AB上时，10<t^l5,PB=t-5,BQ=t-10,

P^PB^BQWCt-B)2+(t-10)2=V2t2-30t+125,

所以，y=V2t2-30t+125-

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解

方法，勾股定理的应用，等腰三角形两腰相等的性质，难点在于（3）要分情况

讨论.

14.如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、

B两点.

（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线0Q,

过A、B两点分别作AMLOQ于M,BNLOQ于N,若AM=8,BN=6,求MN的

长；

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点

B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角^OBF和等腰直角AABE,连EF交y

轴于P点，如图③.

问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出

其值；若不是，说明理由.

【分析】（1）令y=0可求得x=-10,从而可求得点A的坐标，令x=0得y=10m,

由OA=OB可知点B的纵坐标为10,从而可求得m的值；

（2）依据AAS证明△AM。/AONB,由全等三角形的性质可知ON=AM,OM=BN,

最后由MN=AM+BN可求得MN的长；

（3）过点E作EG，y轴于G点，先证明^ABO丝ZSEGB,从而得到BG=10,然后

证明4BFP丝ZXGEP,从而得到BP=GP=LBG.

2

【解答】解：(1)由题意知：A(-10,0),B(0,10m)

VOA=OB,

/.10m=10,即m=l.

AL的解析式y=x+10.

(2)VAM±OQ,BN_LOQ

ZAMO=ZBNO=90°

，NAOM+NMAO=90。

*/ZAOM+BON=90°

/.ZMAO=ZNOB

在△AMO和△ONB中，

"ZAM0=ZBN0

-ZMA0=ZN0B»

OA=OB

.,.△AM。丝△ONB.

，ON=AM,OM=BN.

VAM=8,BN=6,

，MN=AM+BN=14.

（3）PB的长为定值.

理由：如图所示：过点E作EG，y轴于G点.

•••△AEB为等腰直角三角形，

，AB=EB,ZABO+ZEBG=90°.

VEG±BG,

/.ZGEB+ZEBG=90°.

/.ZABO=ZGEB.

在“BO和AEGB中,

'NEGB=/B0A

<NAB0=NGEB，

AB=EB

.,.△ABO^AEGB.

BG=AO=10,OB=EG

VAOBF为等腰直角三角形，

/.OB=BF

，BF=EG.

在4BFP和4GEP中，

'NEGP二NFBP

<NEPG=NFPB，

EG=BF

.,.△BFP^AGEP.

；.BP=GP」BG=5.

2

【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数

图象上点的坐标与解析式的关系、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的

性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

15.如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，四:L,点C（x,y）

OA2

是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点.

（1）求直线y=kx+3的解析式;

（2）当点C运动到什么位置时aAOC的面积是6；

（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使4BCD与AAOB

全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）令x=0求出点B的坐标，从而得到0B的长度，再求出0A的长，

然后得到点A的坐标，再代入直线解析式计算即可得解；

（2）设点C到x轴的距离为h,根据三角形的面积求出h,然后分两种情况表示

出点C的纵坐标,再代入直线解析式计算求出横坐标，然后写出点C的坐标即可;

（3）利用勾股定理列式求出AB,然后分①BC和B0是对应边时，根据全等三角

形对应边相等求出BC,过点C作CELy轴于E,利用/BCE的正弦求出BE的长,

再求出点C的纵坐标，然后代入直线解析式求解得到点C的横坐标，从而得解;

②BD和B0是对应边时，根据全等三角形对应边相等求出BD,再求出0D,即为

点C的纵坐标，然后代入直线解析式求解得到点C的横坐标，从而得解.

【解答】解：（1）令x=0,则y=3,

.,.点B（0,3）,OB=3,

0B_l

OA2

，OA=2OB=2X3=6,

.".点A（6,0）,

把点A代入直线y=kx+3得,6k+3=0,

解得k=--,

2

二直线解析式为y=-£x+3

（2）设点C到x轴的距离为h,

由题意得，Lx6h=6,

2

解得h=2,

.•.点C的纵坐标为2或-2,

--^x+3=2或-AJ（+3=-2,

22

解得x=2或x=10,

二点C的坐标为（2,2）或（10,-2）；

（3）如图

由勾股定理得，Uh2+UB'Y62+3^

①BC和BO是对应边时，:△BCD与aAOB全等，

:.BC=BO=3,

过点C作CE，y轴于E,则CE〃OA,

/.ZBCE=ZBAO,

BE=BC«sinZBCE=3X二浦,

3755

.•.点C的纵坐标为3-逃，

5_

代入直线y=-4+3得，-4+3=3-曳£

225

解得x=0度，

5_

此时，点C的坐标为Ci（岖，3-逃）；

55

②BD和B0是对应边时，:△BCD与^AOB全等，

ABD=BO=3,

OD=3+3=6,

.•.点C的纵坐标为6,

代入直线y=-L+3得，-4+3=6,

22

解得x=-6,

此时，点C的坐标C2（-6,6）,

③易知J关于的中心对称点，（-自叵，豆豆）也符合要求；

BC33+

__55_

综上所述，点C（汉&,3-造）、（-6,6）或（-兔£,3+边）时，ABCD

5555

与△AOB全等.

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴交点的求解，

待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，

全等三角形对应边相等的性质，（2）难点在于点C的纵坐标有正数和负数两种情

况，（3）难点在于0B的对应边有BC和BD两种情况.

16.如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、0C为

边在第一象限内作长方形OABC.

（1）求点A、C的坐标；

（2）将^ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D,求直线CD的

解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与^ABC全等？若

存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

即可求得A和

C的坐标；

（2）根据题意可知4ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后

即可求出CD的解析式；

（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三

角形，找出符合题意的点P的坐标.

【解答】解：（1）A（2,0）；C（0,4）（2分）

（2）由折叠知：CD=AD.设AD=x,贝UCD=x,BD=4-x,

根据题意得：（4-x）2+2?=x2解得：x上

2

此时，AD=2D（2,y）（2分）

设直线CD为y=kx+4,把D（2,代入得Nk+4（1分）

解得：k=上

4

二直线CD解析式为广［^+4（1分）

（3）①当点P与点。重合时，△APC^^CBA,此时P（0,0）

②当点P在第一象限时，如图，

SAAPC^ACBA得NACP=NCAB,

则点P在直线CD上.过P作PCUAD于点Q,

在RtAADP中，

AD/，PD=BD=4——»AP=BC=2

222

由ADXPQ=DPXAP得：|-pQ-3

.6

..PQ而

,,xp=2+:=1?，把■代入y=-^x+4得y=-1-

「55545

此时p增,1）

55

（也可通过Rt^APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）

③当点P在第二象限时，如图

同理可求得：CQ普

5

.•迎袭一

55

止匕时p（4,警）

55

综合得，满足条件的点P有三个，

分别为：P1（0,0）；PP（-1-,青）•

（写对第一个（2分），二个（3分），3个且不多写（4分），写对4个且多写得

（3分）.）

【点评】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及等腰三角形和全等三角形的

判定的掌握.

17.如图①，以四边形AOCD的顶点0为原点建立直角坐标系，点A、C、D的

坐标分别为(0，2)、(2,0)、(2,2),点P(m,0)是x轴上一动点，m是大

于0的常数，以AP为一边作正方形APQR(QR落在第一象限)，连接CQ.

(1)请判断四边形AOCD的形状，