微积分 习题答案 第2版（范周田）第1-9章

微积分习题答案第2版

第1章要点提示

1.函数定义：设。为实数集R的非空子集，如果对任意的都存在唯一的yeR与

之对应，则称y是X的一元函数，通常可以用y=/(x)表示，并把X称为自变量，把y称

为因变量，自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域，分别

记为dom{f}和ran(/),或者简记为Df和R,。

2.函数的性质

(1)函数的单调性

设/是函数y=/(x)的定义域中的一个区间。如果对任意的%,都有

/(^)>/(x2),就称/(x)在区间/上单调递增，简称单增。如果对任意的%>七6/，都有

/a,)</U2),就称/(x)在区间/上单调递减，简称单减。函数单调递增或单调递减的性质

称为函数的单调性。

(2)函数奇偶性

设y=/(x)的定义域。关于原点对称，如果对任意xe£),都有/(x)=f(-x),则称/(x)

为偶函数；如果对任意都有/(x)=-/(-x),则称/(x)为奇函数。

(3)函数周期性

设y=〃x)为函数。如果存在正数T,使得/(x)=/(x+T)对定义域中的任意X成立，则

称y=/(x)为周期函数，7"是一个周期。

(4)函数有界性

设/(x)在。上有定义。若存在常数M>0使得一切xw£),有则称/(x)在。

上有界，也称/(x)是。上的有界函数.

3.基本初等函数

除了较特殊的常数函数y=C外，把微积分中最常见的函数分为五类，称为基本初等函

数，包括基函数y=炉，(〃工0),指数函数尸",(〃>0,"1),对数函数

y=log“x,(。,三角函数sinjr,cosx,tanx,cotx,以及反三角函数

arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。

4.复合函数

设有函数/3),g(x),则y=/[g(x)]称为/与g的复合函数，称“为中间变量.

5.经济学中常用的函数

需求量。“是价格P的函数，即Qd=Q,（P）,称为需求函数“供给量Q,是价格P的函数,

即Q=2（P），称为供给函数。

第一章综合复习题

1.求下列函数的定义域：

（1）/（%）=—|3—尤|+2

解：函数的定义域为（-00,+oo）

4-x2x<0

33

（2）f（x）=+]0<x<1

x+3工>1

解：函数的定义域为（-00,400）

⑶/（冷=占+7^

解：由，一，解得函数的定义域为:

x+2>0

[-2,-115-1，D5L+8)

Y—1

(4)/(x)=arcsin

X—1

解：由解得函数的定义域为:

2

5r—x25x—x2

解：由母丁2即丁"解得函数的定义域为:

11,4」

2.x—1

arccos----

(6)f(x)=/27

\Jx-x-6

解:解得函数的定义域为:

[-3,-2]u(3,4]

f2x4-1x>0

2⑴设"Mx』x<°，求/Cl)和g+D。

2(x—1)+1x-l>0

解:/U-l)=

(X-1)2+4x-l<0

2x+lx>\

x2-2x4-5x<i

2(x+l)+lx+l>0

f(x+l)=

(X+1)2+4x+l<()

2x+3x>-l

+2x+5x<—1

1?1

(2)已知/(%+—)=r+—7,求/(大)。

XX

解：令/=x+Lf(t)=f(x+-)=x2+-^-

XXX

=(x+-)2-2=r-2

X

所以，

/(x)=X2-2

(3)已知/d)=x+GTi(x<0),求/(x)。

X

解：令,=/,/<0,-=x,

xt

/«)=/(g)=x+&+1=：+口+1

1Jl+/1一,1+产

所以，

1—y/l+X2

fM=-------------

X

x

(4)已知/(sin^Xl+cosx,求/(cosx)。

解：由/(sin克=1+cosx=1+1-2sin2^-=2(1-sin2

所以,

f(x)=2(l-x2)

/(cosx)=2(1-cos2x)=2sin2x

3.求下列函数的反函数：

(1)y=lg(x+2)+l

解：由y—l=lg(x+2),有.X+2=10、T,%=10'-'-2

将上述x和y交换，得y=lg(x+2)=l的反函数为

y=W-'-2

(2)y=2sin3x

yy1y

解：由彳=sin3x,有3x=arcsiri5，x=-arcsin—,

将上述x和y交换得y=2sin3x的反函数为

1.x

y=-arcsm—

32

Y

解：由y=有y(2'+D=2',2'(y-l)+y=0,x=log2

2+1

将上述x和y交换得y=—的反函数为

2V+1

(4)y=arctan(2+3x)

解：由y=arctan(2+3'),有tany=2+3‘，3"=tany-2,x=log3(tany-2),

将上述x和y交换得y=arctan(2+3x)的反函数为

y=log3(tanx-2)

(5)y

2

解：由V,有2y=ex一一e2x-2yex-\=0,解得x=ln(y++V),

2e

y=\n(x+y/\+x2)

2x+l,x>0

(6)y=

x3,x<0

|2x+l,x>0

解：由y=

Ix3,x<0

当xNO,y=2x+l,W-^y-=x,当％vO,y=x3,有x=g,

2：+l,x2O的反函数为

将上述X和y交换得y=

yfx,X<0

4.回答下列问题，并对你的回答说明理由：

(1)两个偶函数之积一定是偶函数吗？

(2)两个奇函数之积会有几种结果？

(3)有没有一个既是奇函数又是偶函数的函数？

解：(1)是(2)积为偶函数(3)考查

5.将下列初等函数分解成基本初等函数的复合或者四则运算

(1)y-，4x-3

解：y=A/M,M=4X-3

(2)y=(l+sinx)5

解：y=/，w=1+sinx

解：y-2",u=arcsinv,v=1+x2

(4)y=y]\n>Jx+2,

解：y=4u,M=InVv,v=2+x

6.若“(x)=4x-5,v(x)=x2,/(%)=-,求下列复合函数的解析表达式:

(1)«(v(/(x)))(2)v(w(/(x)))(3)/(M(V(X)))

解：⑴V(/(X))=d)2

X

«(V(/(X)))=4(-)2-5=4-5

XX

14-5%

(2)w(/(x))=4---5=-5-^

xx

V(〃(/(X)))=4^)2

X

(3)w(v(x))=4x2-5

7.设f(x)是奇函数，g(x)=f(x)±2与h(x)=/(x+2)是否还是奇函数？

答：都不是。

8.判断下列函数的奇偶性，哪个是奇函数？偶函数、或是非奇非偶函数？

(1)f(x)=3x-x\

(2)/(幻=(1—历)+(1+在)，

1—X

(3)/(x)=lg--,

1+x

(4)/(x)=lg(x+Jl+d).

答：(1)奇(2)偶(3)奇(4)奇.

9.对于任一定义在对称区间a)上的函数/(尤)，证明：

(I)g(x)=g"(x)+/(-x)】是偶函数；

(2)/z(x)=1[/(x)-/(-x)]是奇函数；

(3)/(x)总可以表示为一个偶函数与和一个奇函数之和。

证明：(1)因为g(-x)=；"(-x)+/(x)]=g(x),所以g(x)=g"(x)+/(-x)]是偶函数。

(2)因为A(-x)=g"(-x)-/*)]=f(x),所以/I(x)=；"*)-/(-x)]是奇函数。

(3)因为f(x)=—[f(x)+f(—x)]+—[f(x)—f(-x)]=g(x)+h(x)o

T

10.设函数y=f(x)是以T>0为周期的周期函数，证明/(办)是以人为周期的周期函数。

a

证明：f[a(x+1)]=于(ax+T]=f(cvc)

a

11.设存在二个实数a/(av勿使得对任意x,/(x)满足

f(a-x)=f(a+x)&f(b-x)=f(b+x),试证明：f(x)是以T=2(〃一〃)为周期的周期函数。

证明：因为

f[x+2(b—a)]=f[b+(x+b-2a)]=f[b-(x+b-2a)]=f(2a—x)

=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=/(x)

12.已知/(x)在有定义.如果存在正数T使得/(x+T)=./'(x)对所有xe(-oo,+oo)

都成立，则称/(X)是周期函数.试写出了(X)不是周期函数的数学定义.

解：若">05xwR,有/(x+T)w/(x),则y=/(尤)不是周期函数。

13.证明：/(x)=xcosx不是周期函数。

证明：反证法。

设/(x)=xcosx是以7>0为周期的周期函数，则对于任意的实数x都有

(X+7)cos(x+T)=xcosX

令x=0,得TcosT=0,因止匕有cosT=0»

再令x=得7cos弓+7)=0,因此有sinT=0,矛盾，故/(x)=xcosx不是周期函数。

14.证明/(x)=,在(0,1)无界.

x

证明：

VM>0,取尤=」_,显然元£(0,1)(即存在)有

M+I

|/(x)|=+=M+l>M

A7+I

所以/•(%)=，在(0,1)上无界.

X

15.将下列极坐标方程化为直角坐标方程：

(1)rcos0+rsin0=1,

(2)r=(csc^)erc^d.

解：(1)x+y=l

⑵-y

16.将下列直角坐标方程化为极坐标方程：

22

(1)x=7(2)—+—=1

94

(3)x2+(y-2)2=4(4)y2=3x

6

解：⑴r=----⑵'=[、,

cos。J4cos26+9sin~0

sin。

(3)〃=4sin，(4)r=-———

3cos“3

第二章要点提示

1.三个基本无穷小：(1)lim-=0o

rt-»00〃

(2)lim-=0

(3)lim(x-x0)=0

2.无穷小比较定理：

若且g(x)是无穷小，则/(x)也是无穷小。

3.极限的定义

如果lim"(x)-A]=0,则称当xfr时/(x)的极限是A,也称当xfT时/(x)收

x—>r

敛于A,记为lim/(x)=A。

x->r

4.极限四则运算法则设lim/(x)=A,limg(x)=B,则有

(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B

(2)limf{x}g{x)=A.B

x->7)

(3)=—(B^O)

-%g(x)B

5.两个重要极限

「sinx,

(1)lim----=1.

XTOx

(2)lim[1+-

X—>ooX

6.利率、贴现

利息

利率=本,x100%

贴现：指为了要在〃年后收取资金A,实际年利率为r,需要现在投资的数量为

A

(i+/-r

7.函数的连续性

如果lim/(%)=/(x0),则称/(x)在/点连续。

初等函数的定义区间内连续。

如果/(X)在/点不连续，则称/(X)在/点间断，X。点称为间断点。如果函数在间

断点X。的左、右极限都存在但不相等，则X。为第一类间断点，否则为第二类间断点。

8.闭区间上连续函数的性质

如果/(x)在切上连续，则/(x)在[a,切上有最大值最小值，而且/(x)可以取

到其最大值与最小值之间的一切值。

第二章习题

习题2.1

1.证明以下数列是无穷小

证明：因为

2

<2--

〃+1n

而是无穷小，由无穷小比较定理，得%=2

L——是无穷小。

n〃+1

(2)Xn=­r^

证明：因为

1

而J=是无穷小，由无穷小比较定理,得七,=71=是无穷小。

J〃+2

(3)xn=+1—y[n

证明：因为

6卜编+后《嘉

而十是无穷小，由无穷小比较定理，得%-6是无穷小。

1二

⑷4=e4"

证明：因为

1三

-i=e4n

\[n

112

而一是无穷小，由无穷小比较定理，得乙=丁屋〃是无穷小。

yjny/n

」sin?

⑸X,

n3

证明：因为

sin

闻=-n73--n

而L是无穷小，由无穷小比较定理，得X,=±sin=是无穷小。

nn3

证明：因为

1+(-1)"^2

2n+1n

而L是无穷小，由无穷小比较定理,4著是无穷小。

得当

n

2.证明以下数列极限

/八〃一11

(1)lim------=—

〃->°02〃+32

证明：因为

n-\1

2/1+3-22(2〃+3)4〃

而L是无穷小,由无穷小比较定理，得」n」—I-士1是无穷小,

n2〃+32

所以

〃一11

lim

n-»oc2〃+32

n2

(2)lim4^=l

“fgn~+1

证明：因为

11

---<f

号T汇+1n-

1n

而力是无穷小，由无穷小比较定理，得—-—1是无穷小,

nn+1

所以

n2

lim———=1

—n+1

2〃+1

(3)lim----=2

几+2

证明：因为

〃+2〃+2n

而L是无穷小,由无穷小比较定理，得殳堂-2是无穷小,

n〃+2

所以

lim^^=2

“T8n+2

“、3A/H-23

(4)lim-广——=—

"T841n+14

证明：因为

3G-231111

4品+144(4\fn+1)166

而3是无穷小，由无穷小比较定理，得纯二2—3是无穷小,

4j〃+l4

所以

…4yjn+14

习题2.2

1.证明以下函数是无穷小

尤2_]

(1)f(x)—+2,x―1

X+1

证明：因为

|/(刈=合+2;工2—1+2(%+1)

X+1X+1

+2x+1।

=--------------=\x

x+l1

而X——1时X+1是无穷小，所以

X2-1

/(光)=+2,x——1是无穷小。

X+1

2

(2)f(x)=,-1,x—>1+

Jx+3

证明：因为xf「，不妨设九〉0,又

|八刈=A

g

1-Xx-1

77+3(2+77+3)-V3(2+V3)

而X―「时，X—1是无穷小，由无穷小比较定理，有

2

f(x)=,—1,x—是无穷小。

Jx+3

(3)/(x)=cos2%-l,x-0

证明：因为

|/(x)|=|cos2x-l|=|2sin2x|<2x2

而尤―0时/是无穷小，由无穷小比较定理，有

/(%)=cos2x-l,x—>0是无穷小。

2.证明以下函数是无穷小

/、/•/\2x一2

（1）/（X）=——Z~，X-8

X

证明：因为

2x-2<1

x1X

而X—>00时，一是无穷小,由无穷小比较定理，有

X

/(x)=2x-2x38是无穷小。

X

(2)/(x)=sin--sinx,xfg

x

证明：因为

|/(x)|=sin—•sinx<—

XX

而Xf8时，L是无穷小，由无穷小比较定理，有

X

/(x)=sin-sinx,x->8是无穷小。

x

(3)f(x)=-j=cosx,x—>+oo

ylx

证明：因为

11

|/(x)|=-r=-COSX<

y/Xyfx

1

而是无穷小,由无穷小比较定理，有

yfx

=《

/(x)cosx,无一>+»是无穷小。

♦X

3.证明下列极限：

(1)lim(4x+l)=9

x-►2

证明：因为

|(4x+l)-9|=|4(x-2)|

而Xf2时x-2是无穷小，由无穷小比较定理，有当x-2时，(4x+l)—9是无穷小,

所以

Iim(4x+1)=9

Xf2

..l-4x2

⑵hm---------=2

XT」2x4-1

2

证明：因为

1-4%221--2(2x+1)4x2+4x+1

2%+121+12x+l

=|2x+l|=2x—(―g)

而X->一‘时X-]1-4r2

是无穷小，由无穷小比较定理，有当龙-»-一时，一2

222x+l

是无穷小，所以,

i-4x2

lim---------=2

XT,2x+l

2

...1+2x3

(3)hm------「=1

*f82x'

证明：因为

l_1

1+2/

而Xf8时二■是无穷小，由无穷小比较定理,有当Xf8时，二^-1是无穷小,

X2/

所以

1+2*3,

lim

Xf8三L

小「sinx八

(4)hm-尸=0

isy/x

证明：因为

Isinxl1

而时^=是无穷小,

X—>+8由无穷小比较定理，有

winx

当X.”时，竽是无穷小，即

sinx八

lim-

isy/x

3x,x>0

4.设f(x)=\,证明lim/(x)=0o

5sinx,x<03

证明：因为

limf(x)=lim3x=0

xWx->0+

lim/(x)=lim5sinx=0

I。-X-»0-

所以

lim/(x)=lim/(x)

x^rx^o+

即

lim/(x)=0

.sO

2x-l,x>2

5.设/(%)"?，证明lim/。)不存在。

厂+3,x<212

证明：因为

lim/(x)=lim2x-1=3

12+12+

lim/(x)=limx2+3=7

.rf2-xf2一

所以limf(x)wlimf\x)

x->2+x->2~

即

lim/(x)不存在

6.证明：

(1)lim(3x+1)=oo

Xf00

证明:只要证明lim---------=0o

0尤+1)

因为I」一而lim—=0,所以，lim―i—=0,

3x+l3xf°(3x+l)

即

lim(3x+l)=oo

(2)lim^y^'oo

13x2-9

x2-9

证明：只要证明lim±—=0。

♦3r+9

由Xr3,无妨设|x-3|<1,于是

x2—9x+3

x2-9

所以，lim上一二0,即

13必+9

lim^^=oo

7x2-9

习题2.3

1.指出下列运算是否正确：

limx

(1)lim——=-^——=oo

—1-xlim(l-jr)

x->\

(2)limxsin—=limxlimsin—=0

A->0xv->0x->0x

(3)lim(—+—H---h—)=lim—d------Flim—=0

"廿nnn«^0°nn-^n

答：(1)一⑶都是错误的。因为：

(1)分式极限只有当分母极限不为零时可以应用极限运算法则。而该分式分母极限为零。

(2)两个函数乘积的极限当两个函数极限都存在时等于它们极限的乘积。而极限limsin，不

Xf°X

存在。

(3)有限个函数和的极限等于它们各自极限的和。

2,求下列极限:

(1)

呵4X*,^+1

2

lim(x-3)0

lim^^XT上

解:_______y==Q

X—6X+1lim(x2+l)~4~

(2)lim(2--+-^)

XT8XX~

解：lim(2--+-!7)=lim2-lim-+lim-^=2-0+0=2

Xf8Xx—»coX—>00XA->0O

(3)limx2sin-

Dx

解：因为limx2=0,sin—<1,所以

x

limx2sin-=0

XT°X

(4)

12x-2

(融)

解:lim^—

32X-2

lim(A2)(x+2)

=4

x->2X-2

x~—3x+2

(5)lim

A->1x-1

[.x~-2>x+2

解:lim-----------,海

fx-1

(x—l)(x—2)

=lim-1

x->lx-1

13

lim()

3

Ill-X1-x

3

解:)(00—00型)

1—X1-x3

..1+x+—3

lim-------------

31-x

x~+九一2

lim

x-»l1-x3

=lim上空a

x-1(1—X)(l+X+X~)

x-sinx

⑺lim---------

f°x+sin九

x-sinx00

解:lim(—型)

18%+sinx00

sinx

=lim----=lim-------=1

XT8SinXX-KO1+0

x

X，n-1

(8)lim-----（加为正整数）

ix-l

解:空）

Ix-1

=lim(xT)(/+1+7+1)

-1x-1

=lim(x'"W+...x+i)

XTl

(9)limQ+4一、

/i->oh.

lim(x+/?)~~r(9型)

解:

2°h0

3x2h+3xh.2+h3

=lim--------------

A->0

=lim(3x2+3xh+h2)

/：->o

=3x2

(10)lim«(Jx+2-Jx+1)

XT+oo

解：limy/x(y/x+2-y[x+l)(0-8型)

XT+00

NX/8开心

=lrim/——/(一型)

Xfwjx+Z+G+I8

[.+1-3

(11)hm/~<=

x*\Jx-2一>/2

「v2x+l-3（9型）

解:hm,~,=

14\JX-2-y/2o

(2x+l)—9Vx-2+V2

lim

.v—>4(x-2)-272x+l+3

.Jx-2+5/22^/2

=2hm-,----=-----

£-4V2%+1+33

1+2+•••+

(12)lim,■

"->8n-

tzi..1+H---Hz?..21

解：hm---2--；----=lim——W——=—

I，n"->8n2

3.根据所给x的各种变化情况，讨论函数的极限：

(1)f(x)=----p,xfO,,xf(T,xf0

1+2；

11

解：X-0+,2'f+oo,/(%)=——rf0,

1+27

-!■1

x-0,2*—>0,f[x)----j——>1,

1+21

因为

limf(x)/limf(x)

XTO'X-»0

所以limf(x)不存在。

x->0

aex~1一2]

(2)f(x)=-------,工―「，刀―「，x-^\

ex~[+1

1

x}

解：x—>r,e~+00,

1

2Cl---2~

/(x)=y=T-

ex~l+11+-i-

2

4、aex~l-1[

fM=-2------1

ex-]+1

若a=-1,有

limf(x)=limf(x)

xfx-»r

所以

lim/(x)=-lo

x->l

若。工一1,有

lim/(x)Hlimf(x)

x-»i+.v->r

所以

lim/'(x)不存在

X->1

4.证明当xfl时，函数

/(x)=10,00(x-l)2+^Tsin—1—

2(x-l)

是无穷小.

证明：当Xfl时，(X—1)2和正万都是无穷小，且sin—1—<1,所以,

2(1)

五二Tsin—1一是无穷小，再由无穷小的运算性质，有当xf1时，函数

2(x-l)

/(x)=101(X)(x-I)2+Nx-lsin1

2(x-l)

也是无穷小。

5.确定4,〃的值，使下列极限等式成立:

/、x2+OX+2

(1)hm---------=h7

rx-\

尢2+]

(2)lim(------以+加=0

38X+1

Y~zr>-_1_9Y~-4-nx-I-12

解：(1)由lim-——--二b,(存在)，且分式上，^的分母为无穷小，所以其分

3X-lX-1

子必是无穷小，即

lim，+办+2)=1+。+2=0

x->l

所以6Z=—3O

2

/RX-3X+2..(x-l)(x-2)1

b=lim-----------=lim--------------=-1

Ix-1—x-1

,X~+1+1—(X+1)(6LX—h)

(2)由hm(-------ax+/?)=hm[---------——--------J

X+lI00X+l

(1一。)厂+(。一。)％+1+/?

=lim[--------------------------]=0

XT8X+l

且分式（l_"）x+S_"）x+l+b的分子分母都是多项式,分母是一次式，所以分子的

X+1

二次和一次项系数都为零，即有1一。=0,b-a=O,从而得

a=l,b=l

6.证明lim不存在。

x->0+4

证明：取怎=(」一)tyn=(——-——尸，则%—0,y〃->0,〃一>8,但

2〃九),冗

2n7V-\——

2

limcos—；==limcos2府=1,limcos—；==limcos(2H7rd■—)=0

/I—>00Jx〃->•不〃廿2

习题2.4

1.求下列极限:

小sin5x

(1)hm-----

io3X

sin5x「sin5x5_5

解:limlim------

XTO3-3

3xXT。5X

(2)limxcotx

xf0

布孔1-cosx..X

用牛：hmxcotx=limx-----=hmcosx-----

x-»ozosinx10sinx

x

=limcosxlim-----=1

Dz°sinx

sin(x2-l)

(3)hrm----------

XTIx-1

蝴..sin(x2-1)..sin(x2-1)/八

解：hm------=lim—彳------(x+1)=2

Ix-1Hx-1

(4)

ioxsinx

的jl-cos2x2sin2x

用牛：hm-------=lim------=2

J。xsinxa。xsinx

一3x-sinx

(5)hm--------

i。3x+sinx

3sinx

m[.3x-sinx「一尤1

解：lim----