第七章随机变量及其分布（培优课离散型随机变量的概率分布及应用）课件高二下学期数学人教A版选择性

培优课——离散型随机变量的概率分布及应用第七章随机变量及其分布人教A版

数学

选择性必修第三册重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

学习目标1.加强对离散型随机变量的概率分布的理解.(逻辑推理)2.进一步熟练求离散型随机变量的分布列、均值及方差.(数学运算)重难探究·能力素养速提升问题1离散型随机变量的概率分布有哪几种?如何识别不同的概率分布?问题2不同的概率分布,其数字特征如何计算?探究点一离散型随机变量的概率模型角度1.二项分布的概率模型问题3如何识别二项分布的概率模型?【例1】

在某地举办的射击比赛中,规定每位射手射击10次,每次一发,记分的规则为:击中目标一次得3分,未击中目标得0分,凡参赛者一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.9,求小李在比赛中得分的均值与方差.解

设击中次数为X,比赛得分为Y,则Y=3X+2.由题意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比赛中得分的均值为29,方差为8.1.规律方法

通过审题,明确判断出随机变量X(击中次数)服从二项分布是解这个题的关键,然后利用二项分布的均值和方差的计算公式即可求出E(X),D(X).角度2.超几何分布的概率模型问题4如何识别超几何分布的概率模型?超几何分布与二项分布如何区分?【例2】

第七次全国人口普查入户工作于2020年10月11日至12月10日期间进行.从11月1日开始进入普查的正式登记阶段.普查员进入每个住户家中逐人逐项登记普查信息,这期间还将随机抽取10%的住户填报普查长表,调查更为详细的人口结构信息.某社区对随机抽取的10%的住户填报的普查长表信息情况进行汇总,并按照住户人均年收入情况绘制出如图所示的频率分布直方图(假设该社区内住户人均年收入均在0到12万之间).(1)若在抽取的10%的住户中,人均年收入在区间[6,8)内的恰好有32户,则该社区共有住户约多少户?(2)若从抽取的10%的住户中,人均年收入不高于8万元的,按照分层随机抽样的方法抽取10户,再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保障情况进行调查,用X表示抽取的4户中人均年收入不少于6万元的住户数,求随机变量X的分布列与数学期望.解

(1)依题意,由频率分布直方图可知,2(a+2a+3a+4a+0.175+3a)=1,所以a=0.025.所以抽取的10%的住户中,人均年收入在区间[6,8)内的住户所占的比重恰好为8a=0.2.所以10%的住户共计约为160户,进而可得该社区共有住户约1

600户.(2)依题意,在抽取的10%的住户中,人均年收入不高于8万元的,按照分层随机抽样抽取10户,可知在这10户中,收入在区间[0,2)内的是1户,在区间[2,4)内的是2户,在区间[4,6)内的是3户,在区间[6,8)内的是4户,再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保障情况进行调查,所以X的可能取值为0,1,2,3,4.规律方法

通过审题,明确判断出随机变量X服从超几何分布是解这个题的关键,然后利用均值和方差的计算公式即可求出E(X),D(X).探究点二均值与方差在决策中的应用问题5如何利用离散型随机变量的数字特征来帮助解决实际问题?【例3】

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5

000,E(Y)=5

000×1=5

000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-800=4

200,因此P(Y=4

200)=P(40<X<80)=P1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2=10

000,因此P(Y=10

000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8.由此得Y的分布列如下.Y4

20010

000P0.20.8所以,E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5

000-1

600=3

400,因此P(Y=3

400)=P(40<X<80)=P1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5

000×2-800=9

200,因此P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5

000×3=15

000,因此P(Y=15

000)=P(X>120)=P3=0.1.由此得Y的分布列如下.Y3

4009

20015

000P0.20.70.1所以,E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.规律方法

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.本节要点归纳1.知识清单:(1)二项分布的均值、方差;(2)超几何分布的均值、方差.2.方法归纳:公式法.3.常见误区:(1)对随机变量的分布类型判断出错;(2)混淆公式.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.下列说法正确的是(

)A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值C解析

由离散型随机变量的均值与方差的定义可知,C正确.1234567891011122.(多选题)已知随机变量X的分布列如下.X-101Pabc其中a,b,c成等差数列.若E(X)=,则D(X)的值是(

)AB123456789101112B1234567891011124.小芳用肢体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的均值为(

)A.0.9 B.0.8C.1.2 D.1.1A解析

由题意得X=0,1,2,则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.1234567891011125.已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则(

)A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)A1234567891011126.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一个3点或6点出现时,就说这次试验成功,则在9次试验中,成功次数X的均值是

.

51234567891011127.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=

.

1234567891011128.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为ξ,求随机变量ξ的均值与方差.123456789101112解

分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3.(1)设E表示第一次烧制后恰好有一件合格,则=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,所以ξ~B(3,0.3).所以E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×0.7=0.63.123456789101112B级关键能力提升练9.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为(

)A.10% B.20% C.30% D.40%B12345678910111210.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为

.

12345678910111211.本着健康低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分,每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用