复习09概率（九大考点）

复习09概率一、随机抽样1.统计的相关概念名称定义总体调查对象的全体称为整体个体组成整体的每一个调查对象称为个体样本从总体中抽取的那部分个体称为样本一、有限样本空间与随机事件1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示.随机试验具有以下特点:（1）试验可以在相同条件下重复进行;（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.试验的样本点和样本空间项目定义字母表示样本点我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点用表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验的样本空间用表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间3.三种事件的定义随机事件我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生必然事件作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件不可能事件空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件二、事件的关系和运算1.事件的包含关系定义一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件)含义发生导致发生符号表示(或)图形表示特殊情况如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作2.并事件(或和事件)定义一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)含义与至少有一个发生符号表示(或)图形表示3.交事件(或积事件)定义一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)含义与同时发生符号表示(或)图形表示4.互斥事件(或互不相容事件)定义一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容)含义与不能同时发生符号表示图形表示5.对立事件定义一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为含义与有且仅有一个发生符号表示,图形表示三、古典概型及概率性质1.概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示.2.古典概型一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.古典概型概率公式一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.4.概率的基本性质一般地,概率具有如下性质:性质1:对任意的事件,都有.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即.性质3:如果事件与事件互斥,那么.如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么性质5:如果,那么.性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有.四、相互独立对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.（1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立.（2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表:事件相互独立概率计算公式同时发生同时不发生至少有一个不发生至少有一个发生恰有一个发生五、频率与概率1.频率的稳定性大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率2.随机模拟1.随机数与伪随机数像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为伪随机数.2.产生随机数的常用方法：①用计算器产生;②用计算机产生;③抽签法.3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.考点01 事件的分类及表示【方法点拨】用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件.【例1】下列事件中，必然事件的个数是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件；对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件；对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件；对于④，因为向量的模大于等于0，所以向量的模不小于0，故为必然事件.综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选：B.【例2】指出下列试验的条件和结果：(1)某人射击一次命中的环数；(2)从装有大小相同但颜色不同的，，，这4个球的袋中，任取1个球；(3)从装有大小相同但颜色不同的，，，这4个球的袋中，一次任取2个球．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【详解】（1）条件为射击一次；结果为命中的环数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种．（2）条件为从袋中任取1个球；结果为，，，，共4种．（3）条件为从袋中一次任取2个球；若记表示一次取出的2个球是和，则试验的全部结果为，，，，，，共6种．【变式11】下列事件中，确定性现象的个数为（

）①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于；④三角形中任意两边的和大于第三边．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【详解】对①：三角形内角和为，故为确定性现象；对②：三角形中大边对大角，大角对大边，故为确定性现象；对③：对任意两内角的和可能小于，也可能等于，或大于，故为随机现象；对④：三角形中任意两边的和大于第三边，故为确定性现象．所以确定性现象的个数为3.故选：C.【变式12】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．【答案】(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件(5)不可能事件【详解】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.（2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件.（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件.（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.【变式13】甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳.(1)写出样本空间；(2)用集合表示事件“甲赢”；(3)用集合表示事件“平局”.【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}(2){(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}(3){(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}【详解】（1）＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．（2）记“甲赢”为事件A，则{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．（3）记“平局”为事件B，则{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．考点02 事件的关系和运算【方法点拨】（1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系；（2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.【例3】（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】记{有枚硬币正面向上}，，则，对于选项A：因为，故A错误；对于选项B：因为，故B错误；对于选项C：因为，故C正确；对于选项D：因为，故D正确；故选：CD.【例4】试验：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次出现的点数.①事件A表示随机事件“2次掷出的点数之和为5”；②事件B表示随机事件“2次掷出的点数之差的绝对值为2”；③事件C表示随机事件“2次掷出的点数之差的绝对值不超过1”；④事件D表示随机事件“2次掷出的点数之和为偶数”.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.(1)(2)(3).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【详解】（1）用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次抛掷的点数，j表示第二次抛掷的点数，则该试验的样本空间Ω=（1因为表示“2次掷出的点数之和为5且点数之差的绝对值不超过1”，所以={（2，3），（3，2）}，样本点的个数为2.（2）因为表示“2次掷出的点数之差的绝对值为2且点数之和为偶数”，所以={（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6，4）}，样本点的个数为8.（3）因为表示“2次掷出的点数之差的绝对值为2或2次掷出的点数之差的绝对值不超过1”，所以={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1）}，样本点的个数为24.【变式21】（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列选项正确的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．故选：AB．【变式22】掷一枚骰子，下列事件：掷出奇数点，掷出偶数点，点数小于.则①；②.【答案】掷出点掷出点【详解】因为掷出奇数点，掷出偶数点，点数小于，所以掷出点，掷出点.故答案为：掷出点；掷出点.【变式23】掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现4点”；“出现5点”；“出现的点数不大于1”；“出现的点数小于5”；“出现奇数点”；“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.【答案】＝【详解】（1）因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故.（2）“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故，（3）“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故.（4）“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故.故答案为：，，，＝考点03 古典概型【方法点拨】计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数;③代入公式求出概率.【例5】甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种,满足题意的有:甲乙甲乙甲、甲乙甲丙甲、甲乙丙乙甲、甲丙甲乙甲、甲丙甲丙甲、甲丙乙丙甲,共有种,所以次传球后球在甲手中的概率为.故选:C.【例6】一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（

）个．A． B． C． D．【答案】B【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.故选：B.【变式31】对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，从集合M，N中各任取一个数x，y，基本事件总数.为整数包含的基本事件有，，，，共4个为整数的概率为.故选：C.【变式32】从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、、、、、、、共个，其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个，所以这两个数的和不小于的概率.故选：C【变式33】在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.【答案】(1)300(2)【详解】（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300.选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B，则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为.考点04 互斥与对立的辨别【方法点拨】设事件与所含的结果组成的集合分别为.①若事件件与互斥,则集合;②若事件件与对立,则集合且.【例7】书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（

）A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”【答案】C【详解】对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”互斥但不对立，满足题意对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意故选：C【点睛】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．【例8】扑克牌中的秘密扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就正好是闰年的天数.扑克牌的K、Q、J共有12张，既表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过12个星座.现从52张扑克牌（除去大猫和小猫）中任抽1张.问题（1）“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？（2）“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”是不是互斥事件，是不是对立事件？【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）是互斥事件，也是对立事件；（3）不是互斥事件，也不是对立事件.【解析】（1）根据互斥事件和对立事件的定义判断，“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”不可能同时发生的，不能保证其中必有一个发生；（2）“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”不可能同时发生，但其中必有一个发生；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，不互斥．【详解】(1)“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”，即“抽出红桃”与“抽出方块”，这是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“黑桃”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.(2)“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”，即“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们是互斥事件，也是对立事件.(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．紧紧抓住能不能同时发生，以及是否是非此即彼．【变式41】（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是对立事件C．Q和R是对立事件D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件【答案】ABD【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.事件R包括①③两种情况，∴事件P是事件R的子事件，故A中结论不正确;事件Q与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确;事件P与事件Q互斥，但不对立，故B中结论不正确.故选：ABD.【变式42】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（

）A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件【答案】D【详解】事件包含，，，共个基本事件.事件包含，，，共个基本事件.事件包含，，，共个基本事件.因为出现点数或，所以与不互斥也不对立.因为，，所以与是对立事件.故选：D【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件，熟练掌握互斥和对立事件的概念为解题的关键，属于简单题.【变式43】从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【答案】①不是对立事件；②不是对立事件；③不是对立事件．【详解】依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题.考点05 求互斥事件与对立事件的概率【方法点拨】利用随机数表进行抽样的具体步骤:①给总体中的每个个体编号;②在随机数表中随机抽取某行【例9】袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.【答案】/0.25/0.25【详解】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得，解得，，，故答案为：，，【例10】若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【详解】事件为两个互斥事件，，，故①正确；事件为两个互斥事件，则，，故②错误；，故③正确；，故④正确，综上，①③④正确，故选：A．【变式51】已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为．【答案】【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，又，所以.故答案为：.【变式52】掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为.【答案】【详解】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.【变式53】为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得.考点06 求独立事件的概率【方法点拨】求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果.【例11】某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】记第i次取到的是红球为事件，则二等奖的概率为.故选：C【例12】如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】元件都不正常的概率，则元件至少有一个正常工作的概率为，而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概率.故选：B【变式61】学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，事件表示“甲共投篮三次就结束考试”.则，故选：B【变式62】某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为，患病者判定为阳性的概率为，某人检测成阳性包含两种情况：①非患者检测为阳性的概率为；②患者检测为阳性的概率为，所以某人检测成阳性的概率为．故选：D.【变式63】某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．(1)求李想第二次答题通过面试的概率；(2)求李想最终通过面试的概率.【答案】(1)0.24；(2)0.936.【详解】（1）记李想同学第i次抽到题目并答对的事件为，，李想第二次答题通过面试的事件为，，所以李想第二次答题通过面试的概率为0.24.（2）李想没有通过面试的事件，且，所以李想最终通过面试的概率为.考点07 判断是否为独立事件【方法点拨】事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响；【例13】盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】D【详解】依题意得，，，故A项错误；，，故B项错误；，故C项错误；，，故D项正确.故选：D.【例14】下面所给出的两个事件与相互独立吗?(1)抛掷一枚骰子，事件“出现1点”，事件“出现2点”；(2)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“第一枚出现正面”，事件“第二枚出现反面”；(3)在装有2红1绿三个除颜色外完全相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件“第一次取到绿球”，“第二次取到绿球”．【答案】(1)不是相互独立事件(2)相互独立(3)相互独立【详解】（1）因为，又事件发生，事件就不会发生，即，所以与不是相互独立事件．（2）掷两枚质地均匀的硬币的可能结果为：正正、正反、反正、反反，所以，又，所以，所以与相互独立．（3）因为，且，所以，所以与相互独立．或（由于每次取球观察颜色后放回，故事件的发生对事件发生的概率没有影响，所以与相互独立．）【变式71】（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（

）A． B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】ACD【详解】对A：，故A正确；对B：，，则，故与不相互独立，故B错误；对C：，，则，故与相互独立，故C正确；对D：，则，故与相互独立，故D正确；故选：ACD.【变式72】同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（

）A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件C相互独立 D．【答案】BC【详解】由题意，得，，，对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；对于D，由上知，，故D错误．故选：BC．【变式73】一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异．(1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率；(2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？【答案】(1)样本空间见解析，(2)相互独立【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间，其中，事件，其中所以.（2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间，其中，事件，其中，，其中，事件，,所以，，,因为，所以事件与事件相互独立.考点08 频率与概率【方法点拨】频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.【例15】两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（

）

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率；B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率．【答案】D【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率，选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意；故选：D【例16】对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：抽取件数50100150200300400检出次品件数579152130检出次品频率(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.【详解】（1）利用频率的计算公式可得，每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：，，，，，所以，对应的频率表格如下：抽取件数50100150200300400检出次品件数579152130检出次品频率0.10.070.060.0750.070.075（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，即，所以抽到次品的经验概率约为；（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.【变式81】一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为颗．【答案】300【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得，解得，即白色围棋子的数目大约有300颗．故答案为：300.【变式82】欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为【答案】10【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10.故答案为：10【变式83】某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率(1)计算并完成表格；(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？【答案】(1)答案见解析；(2)0.7；(3)0.7.【详解】（1）通过计算可得：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率0.680.740.680.690.7050.701（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.（3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近，所以，获得铅笔的概率约是0.7.考点09 概率与统计的综合【例17】某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)分别求出组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；(2)在两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率(3)试比较两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)；(2)(3)组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差【详解】（1）由茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的平均值；组客户“实际平均续航里程数”的平均值.（2）组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；从两组客户中各抽取位客户，则有，，，，，，，，共种情况；其中满足组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的情况有，，，共种情况；所求概率.（3）方法一：组客户“实际平均续航里程数”的方差；组客户“实际平均续航里程数”的方差；，即组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差；方法二：根据茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的数据相较于组客户“实际平均续航里程数”的数据更集中在其平均数附近，即组客户数据整体更加稳定，组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差.【例18】为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；【答案】(1)①人，②(2)①小时，②小时【详解】（1）①由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为人．②由图可知，则40名学生中周末的学习时间在的人数为人，则40名学生中周末的学习时间在的人数为人，从中用分层抽样抽取6人，即周末的学习时间在的有4人，周末的学习时间在的有2人，再从中选派3人接受检测，设检测的3人来自同一区间的事件为A，则;（2）①学习时间在5小时以下的频率为，学习时间在10小时以下的频率为，所以25%分位数在区间内，则，所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时．②第10名是40名同学的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名同学的学习时长为8.75小时．【变式91】某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.

求：(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.【答案】(1)0.12，17万元(2)(3)平均数，方差【详解】（1）月销售额在小组内的频率为，若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，和及三组的频率之和为，故估计月销售目标应定为万元；（2）第一组3人记为，第七组2人，则选取2位推销员有共10种情形，“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，则事件M包含有共6种情形，所以；（3）第一组3人，第七组2人，则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，方差.【变式92】为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；(2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．【答案】(1)分(2)(3)甲最终获胜的可能性大；理由见解析【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：分.（2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为，所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为，从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有，共有12个基本事件；其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个，所以概率为.（3）解：甲最终获胜的可能性大.理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是，可得，其中，解得，则甲的2分或3分的概率为：，所以乙得分为2分或3分的概率为，因为，所以甲最终获胜的可能性更大.【变式93】某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】(1)2(2)平均数71，中位数(3)【详解】（1）由，得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；（2）平均数．因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为，，解得；（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，，至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．一、单选题1．某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项A正确；事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确；事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确；故选：C.2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（

）A．与互为对立事件 B．与互斥C．与相等 D．【答案】D【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，所以与不互斥，也不对立，也不相等，，所以A、B、C错误，D正确，故选：D.3．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，，，则，最多输入2次就能开锁的概率是.故选：C4．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（

）A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．【答案】D【详解】对于A，，，与B不互斥，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：D.5．已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（

）A．与相互独立 B．与是互斥事件 C．与是对立事件 D．与相互独立【答案】D【详解】由题意可得基本事件总数为，设，，，，由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；易知与不同时发生，即与为互斥事件，但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误.又，则，，从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确.故选：D二、多选题6．下列事件是随机事件的是（）A．函数的图象关于直线对称B．某人给其朋友打，却忘记了朋友号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的号码C．函数是定义在R上的增函数D．若，则a，b同号【答案】BCD【详解】A选项，此事件为必然事件；B选项，忘记朋友的号码最后一位，随意拨打个号码就是朋友的号码，这件事情在一次试验中可能发成也可能不发生，所以为随机事件；C选项，由于与的关系不确定，所以函数在R上不一定为增函数，所以此事件为随机事件；D选项，当时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即，另