人教版八年级数学下册举一反三19.8一次函数全章七类必考压轴题(学生版+解析)

专题19.8一次函数全章七类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1根据情景确定函数图象1．（2022秋·山西吕梁·八年级校考期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（）A．42 B．4 C．32 D．32．（2022秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（

）B．C．D．3．（2022春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,AB//y轴，AD//x轴．点D坐标为3,1，该矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标yp与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是(

A． B．C． D．4．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时．（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______．5．（2022秋·重庆酉阳·八年级统考期末）为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇．两人寒暄2分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分．练习5分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离y（千米）与甲跑步所用时间t（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟．6．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积Scm2与时间(1)根据题目提供的信息，求出a，b，c的值；(2)写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式：(3)点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的15必考点2必考点2三角形的面积与一次函数1．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点Ca,6，与x轴交于点D3,0，点P是直线CD上一点（不与点(1)求a的值．(2)当△APC的面积为18时，求点P的坐标．(3)若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN=90°时，求△BMN的面积．2．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知直线AB经过点1,−2，且与x轴交于点A2,0，与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC(1)求直线AB的函数表达式和点B的坐标；(2)若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1:3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．3．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知点A和点C的坐标分别为0,2和−1,0，过点A、B的直线关系式为y=kx+b(1)点B的坐标为：___________．(2)求直线AB的函数关系式．(3)在x轴上有一个点D，已知直线AD把S△AON的面积分为1:2两部分，请直接写出点D(4)在线段AN上是否存在点P，使△ACP的面积为4?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(5)直线y=−x+b与△ABC有公共点，直接写出b的取值范围．4．（2022春·福建福州·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，点M−1，m，N−1，n，原点O关于直线MN的对称点为A，直线(1)填空：①点A的坐标是______；②当m=1，n=−2时，点P的坐标为______；(2)连接ON，若n=−2m，△ONP的面积为12，求m的值；(3)过点P作MN的垂线，垂足为Q，连接OQ，若mn=−1m≠±1，求证：PQ=OQ5．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．(1)求证：AE=EF．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．(3)在的（2）条件下，若S△BCF=4，求四边形7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么△ABO为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．(1)如果点C在x轴上，将△ABC沿着直线AB翻折，使点C落在点D0,18上，求直线BC(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是0,8，直线AB上有一点P，使得△PDE周长最小，求此时△PBC的面积．必考点3必考点3一次函数与全等三角形1．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，x轴上一点A4，0，过点A作直线AB⊥x轴，交正比例函数y=34x的图象于点B．点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OB运动，设其运动时间为t（秒），过点M作MN⊥OB交直线AB于点2．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1)，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，PC=PD，过点D作线段AB⊥x轴，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，直线CD与直线y=x交于点Q，则Q点的坐标是_____．3．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）【模型建立】如图，已知直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E，易证△ACD≌△CBE，进一步得到全等三角形的对应线段和对应角分别相等，这一证明在平面直角坐标系中也被广泛使用．【模型应用】(1)如图1，若一次函数y=-x+6的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为4，求点A到直线l的距离AD的长；(2)如图2，已知直线y=43x+4与y轴交于B点，与x轴交于A点，过点A作AC⊥AB于A，截取AC=AB，过B、C作直线，求直线BC【模型拓展】(3)如图3，平面直角坐标系中，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，AB于y轴交于点D，点C的坐标为（0，-4），A点的坐标为（8，0），求B、D两点的坐标．4．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y=x的图像，再画出△ABC关于正比例函数y=x的图像对称的△DEF．【猜想验证】猜想：点Pa,b关于正比例函数y=x的图像对称的点Q验证点Pa,b证明：如图2，点Pa,b、Q关于正比例函数y=x的图像对称，PH⊥x轴，垂足为H【应用拓展】在△ABC中，点A坐标为3,3，点B坐标为−2,−1，点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为_________．5．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线y=kx+b经过点A754,0，点B0,25，与直线y=34x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D(1)求直线AB的表达式和点C的坐标；(2)当DE=23OA(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A1落在直线OC上，直接写出此时点D6．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=kx+bk≠0的图像经过点C4，−6，分别与x轴、y轴相交于点A、B，AB=AC．D0，−3(1)求直线AB的函数表达式；(2)①连接DP，若△DCP的面积为△DCB面积的15，则点P②若射线DP平分∠BDC，求点P的坐标；(3)如图2，若点C关于直线DP的对称点为C'，当C'恰好落在x轴上时，点7．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=34x+3交x轴于点A，B两点，直线l2:y=kx+b交x轴于点C，D两点，已知点C(1)求直线l2(2)设l1与l2交于点E，试判断(3)点P，Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．必考点4必考点4一次函数与等腰三角形1．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=kx+bk≠0经过点A7,0和点C3,4，直线y(1)求直线y1=kx+bk≠0(2)点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作DG⊥x轴，交直线OC于点G．以DE、DG为邻边作矩形DEFG．①当点F落在直线AB上时，直接写出OD长；②当△OAF为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．（写出一种情况即可）2．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知，如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣43x+4交x轴于点C，交y轴于点B，直线y＝kx+4经过点B，交x轴于点A，且AC＝BC(1)求k的值；(2)以BC为边在第一象限内作等腰直角△BCD，∠BCD＝90°，BC＝CD，动点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，连接PD，设P点运动的时间为t，△PCD的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，在点P运动过程中，当△PCD为等腰三角形时，求P点坐标．3．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+b与x轴交于点A，直线y=−x+2与x轴交于点B(1)求a和b的值；(2)求△ABC的面积；(3)动点Pm,0在点A的右侧，连接PC，当△ACP为等腰三角形时，求m4．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，直线y=-x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C，点A的坐标为（8，0），点P（x，y）是直线上第一象限内的一个动点．(1)求△OPA的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标；(3)在直线BC上是否存在点M，使以O，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣3，0），C（163，0），一次函数y＝kx+b（0＜k＜43）的图像经过点B，且分别与线段AC和y轴交于点E、(1)判断：△ABC是三角形．(2)当BE恰好平分∠ABC时，求点E的坐标．(3)问：是否存在实数k，使△AEF是等腰三角形？若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．6．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知直线l：y=3x+3与x轴交于点A，点B在直线l上，且位于y轴右侧某个位置．(1)求点A坐标；(2)过点B作直线BC⊥AB，交x轴于点C，当△ABC的面积为60时，求点B坐标；(3)在（2）问条件下，D，E分别为射线AO与AB上两动点，连接DE，DB，是否存在当△ADE为直角三角形同时△DEB为等腰三角形的情况，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．7．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）．(1)求直线AC的表达式和点B的坐标；(2)作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．①求△ABD的面积；②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．必考点5必考点5一次函数与等腰直角三角形（或45°角）1．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期末）（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=13x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B的坐标分别为A②求①中点C的坐标．小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标；（2）类比探究数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标0，−7，点B坐标8，0，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=−2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点2．（2022秋·福建宁德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx−4k(k≠0)过点Aa,b，交x轴于点B，点C在y轴上，△OBC(1)求点B的坐标；(2)若点A在第二象限，△OAC是以OA为底的等腰直角三角形，求k的值；(3)若直线y=kx−4k(k≠0)经过点C和点Da+2,c，且不论a取何值，都有c>b，求△OAD3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B的坐标为0,4，点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B'刚好在x轴上，连接C(1)写出点B'的坐标，并求出直线AC(2)点D在线段AC上，连接DB、DB'、(3)如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1,0，B0,2，C−1,−2，直线AB和直线AC的图象相交于点A(1)求直线AB和直线AC的函数表达式；(2)请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．(3)点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．5．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP的解析式为y=3x−3，此直线交x轴于点P，交y轴于点A，直线x=−2与x轴交于点N．(1)求A，P两点的坐标；(2)如图1，若点M在x轴上方，且在直线x=−2上，若△MAP面积等于9，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C−2，4，若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q6．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．(1)求证：△BEC≌△CDA．(2)模型应用：已知直线l1:y=43x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转(3)如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为8,6，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．7．（2022秋·江苏·八年级期末）【模型建立】如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明ΔBEC≅Δ【模型应用】(1)如图1，若AD=3,BE=4，则ΔABC(2)如图2，已知直线l1:y=43x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式为：y=2x+1，点A3,2在直线l上找一点B，使直线AB与直线l的夹角为45°，直接写出点B8．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图1，直线AB的解析式为y=kx+6，D点坐标为8,0，O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使△ABC与△ABF的面积相等，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图3，过点G5,2的直线l:y=mx+b．当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m必考点6必考点6一次函数与动点最值问题1．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）已知直线y=−x+5与y轴交于A点，与x轴交于B点，过点M(1,−2)的正比例函数图象上有一个动点P，则AP的最小值为（

）A．5 B．25 C．3 2．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知点A1,3，点B3,4，点D是一次函数y=−x+2上的点，连接AD，BD，则AD+BD的最小值是（A．25 B．33 C．43．（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y=−x+4，点E是AB的中点，点P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是____________．4．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图像经过A4,0、(1)k=______，b=______．(2)已知M−1,0、N①在直线AB上找一点P，使PM=PN．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么PQ+NQ的最小值为______．5．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，一次函数y=(2−t)x+4与y=−(t+1)x−2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠−1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．6．（2022秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−6,4，B−4,0，(1)作△ABC关于y轴的轴对称图形得△A1B(2)已知点P是x轴上一点，则当PC1+PC7．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）问题提出：(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则PHAP问题探究：(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+23与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H问题解决：(3)如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B6,8．点D在OA边上，且OD=2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A'处，那么在折痕DE上是否存在点P使得必考点7必考点7一次函数的应用1．（2022春·福建厦门·八年级期末）某自动贩卖机售卖A、B两种盲盒，B种盲盒的价格比A种盲盒价格的6倍少60元，该贩卖机存储的A种盲盒不低于22个，B种盲盒的数量不少于A种的2倍，且最多可存储两种盲盒100个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统bug，B种盲盒的价格变为原来A种的价格，而A种的价格变为原来价格的5倍少50元后再打了个六折，下午A种盲盒的销量变为上午的2倍，而B种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多390元，其中两种盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为____________元．2．（2022春·黑龙江鹤岗·八年级期末）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：车型绥化（元/辆）鹤岗（元/辆）大货车620700小货车400550(1)两种货车各有多少辆？(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？3．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．4．（2022春·广东广州·八年级统考期末）已知A，B两地相距25km．甲8：00由A地出发骑电动自行车去B地，平均速度为20km/h；乙在8：15由A地出发乘汽车也去B地，平均速度为40km/h．(1)分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式，在同一坐标系中画出函数的图象；(2)乙能否在途中超过甲？如果能超过，请结合图象说明，何时超过？(3)设甲、乙两人之间的距离为d，试写出关于时刻的函数解析式，并画出此函数的图象．5．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：CD总计/A200Bx300总计/240260500(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．6．（2022秋·江苏·八年级期末）某大学生创业，购进A、B共300件，进货时发现：8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，设B的件数80≤x≤200，A，B的总售价分别为函数z1，z2.z1与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：销售件数x01234总售价010203040z2与x的函数关系如图所示：(1)直接写出z1，z2与x的函数关系；(2)设销售A，B两种商品所获利总利润为y元，求y与x之间的函数解析式；(3)大学生引进的300件A，B商品全部售完，共获利350元，他计划每件A，B商品捐给学校基金分别捐2m元，m元，捐款数恰好为总成本的10%，求m的值．7．（2022春·福建宁德·八年级统考期末）某装修公司与甲、乙两家品牌供应商签订长期供应某款门锁的供货合同，该公司每月向每家供应商至少订购门锁20把，根据业务需求，该装修公司每月向两家供应商订购该款门锁共200把．五月份该公司向甲、乙两家供应商支付门锁的费用分别是4400元和12000元，甲供应商门锁的单价是乙供应商的1.1倍．(1)五月份甲、乙两家供应商门锁的单价分别是多少元？(2)受国际金属价格波动的影响，六月份，甲供应商门锁的单价在五月份的基础上提高了a（a>0）元，乙供应商的单价提高了15%．若在乙供应商处购买的门锁数量不少于甲的一半，则如何安排进货才能使装修公司的进货成本最少？最少进货成本是多少？专题19.8一次函数全章七类必考压轴题【人教版】必考点1必考点1根据情景确定函数图象1．（2022秋·山西吕梁·八年级校考期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（）A．42 B．4 C．32 D．3【答案】C【分析】由当A'B'与AB重合时，即x=m，此时B'走过的距离为m，重叠部分面积达到最大值，为△A'B'C'的面积，结合题意即可求出m的值．再根据，当A'C'【详解】如图，当A'B'与AB重合时，即点B'到达B点，此时x=m．此时B'走过的距离为m∵△A∴S△∴A'∴B'如图，当A'C'与AC重合时，即点C'到达C点，此时x=m+4．此时重叠部分面积即将变小，且∴此时BB∴BC'=B∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=2故选C．【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的关键是通过函数图象得到△A2．（2022秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（

）B．C．D．【答案】B【分析】过点B作BE⊥AD于点E，根据题意，得出AB=AD=BC=4，∠ABE=30°，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，得出AE=2，在利用勾股定理，得出BE=23，然后分三种情况：当点P在线段AB上时，即0≤x≤4时；当点P在BC上运动时，即4≤x≤8；当点P在线段CD上时，即8≤x≤12【详解】解：如图1，过点B作BE⊥AD于点E，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD=BC=4，∴∠ABE=30°，∴AE=2，BE=23当点P在线段AB上时，即0≤x≤4时，如图2，过点P作PF⊥AD于点F，则AP=x，∴S△ADP∴△ADP的面积随x的增大而增大；当点P在BC上运动时，即4≤x≤8，S△ADP∴△ADP的面积保持不变；当点P在线段CD上时，即8≤x≤12，如图3，过点P作PH⊥AD交AD的延长线于点H，∴AB+BC+CP=x，∴DP=12−x，DH=6−12x∴S△ADP∴△ADP的面积随x的增大而减小．综上可得：当0≤x≤4，y随x的增大而增大；当4≤x≤8时，y随x的增大而不变；当8≤x≤12时，y随x的增大而减小．故选：B【点睛】本题考查了动态问题与函数图象，涉及菱形的性质、含30°的直角三角形、勾股定理、三角形的面积等知识点，解本题的关键在根据点P运动的轨迹，分情况进行讨论．3．（2022春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,AB//y轴，AD//x轴．点D坐标为3,1，该矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标yp与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是(

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．【详解】∵矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2，P点在BC上，此时纵坐标为定值2．当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1，P点在AD上，此时纵坐标为定值1．故选：D．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．4．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时．（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______．【答案】

24

0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是a千米/小时，则第二段路程的速度为12（2）分析题意，结合函数图象可知，从0≤t≤0.5时，两人的距离S随t的增大而增大，当第一次相遇到小聪停下，S随t的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大．【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是a千米/小时，则第二段路程的速度为120.5解得a=24，经检验，a=24是原方程的解，故答案为：24∴第一段路程的速度为12千米/小时（2）结合函数图象可知，从0≤t≤0.5时，两人的距离S随t的增大而增大，小明的速度为243当第一次相遇时，8x=24解得x=0.75当第一次相遇到小聪停下，此时0.75≤x≤1，当第二次相遇时，8x=12解得x=1.5小聪开始骑行第二段路程时的时间为x=1+0.5=1.5，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大，此时1.5≤x≤2．当x>2时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t的增大而减小，综上所述，0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2时，S随t的增大而增大，故答案为：0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2【点睛】本题考查了分式方程的应用，函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．5．（2022秋·重庆酉阳·八年级统考期末）为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两运动员相约晨练跑步．甲比乙早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇．两人寒暄2分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分．练习5分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、乙之间的距离y（千米）与甲跑步所用时间t（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了____________分钟．【答案】11【分析】由图象可以看出，0-1min内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min内，根据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始是240米/分，则他们的速度之差是60米/分，则5分钟相差400米，设再经过t分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t+120t=400，然后求出t后加上前面的10分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和．【详解】甲出门时的速度v1=（540-440）=100（米/分），设乙出门时的速度为v2（米/分），根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分，甲的速度始终是180米/分，乙的速度开始为240米/分，他们的速度之差是60米/分，5分钟相差300米，设再经过t分钟两人相遇，则180t+120t=300，解得t=1（分）所以甲从家出发到他们再次相遇时5+5+1=11（分）．故答案为：11．【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键．6．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积Scm2与时间(1)根据题目提供的信息，求出a，b，c的值；(2)写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式：(3)点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的15【答案】(1)a=160；b=18；c=28(2)y=4(3)4秒或24秒【分析】（1）根据△DAB的面积求出a的值；再根据时间=路程÷速度求出b的值，再根据c=10+b求出c的值；（2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28三种情况，分段写出y与x的关系式即可；（3）先求出矩形面积，再根据△APD的面积是长方形ABCD面积的15，求出x（1）解：由图②知，当x=10时，AP=10×2=20（cm），此时点P与点B重合，∴S△DAP=S△DAB=12AB•AD=12×20×16=160（cm∴a=160；当点P在BC边上运动时，△ADP的面积为定值160不变，∵BC=AD=16cm，∴b=10+162∵CD=AB，∴点P在CD上运动的时间与在AB上运动时间相同，∴c=10+8+10=28；（2）①当0≤x≤10时，如图甲所示：由勾股定理可得：DP=AD∴y=162②当10＜x≤18时，如图乙所示：由勾股定理可得：DP=DC∴y=202③当18＜x≤28时，点P在CD上运动，此时DP=AB+BC+CD-（AB+BC+CP）=CD-CP，∴y=20-2（x-18）=-2x+56．综上所述，点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式为：y=4x

图甲

图乙（3）∵AD=16cm，AB=20cm，∴矩形ABCD的面积为20×16=320（cm2），当△APD的面积是长方形ABCD面积的15时，S△APD=15S矩形ABCD=15当0≤x≤10时，SAPD=12AD•AP=12×16×2解得：x=4，根据矩形的性质和点P的运动过程可知，当x=28-4=24时，△APD的面积是长方形ABCD面积的15∴点P出发4秒或24秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的15【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．必考点2必考点2三角形的面积与一次函数1．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点Ca,6，与x轴交于点D3,0，点P是直线CD上一点（不与点(1)求a的值．(2)当△APC的面积为18时，求点P的坐标．(3)若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN=90°时，求△BMN的面积．【答案】(1)a=5(2)P点坐标为2,−3或8,15(3)S【分析】（1）将点Ca,6代入y=x+1即可求出a（2）先根据待定系数法求出CD的解析式，然后设Pm,3m−9，求出A−1,0，B0,1，得出AD=3−−1=4，求出S△ADC=（3）过M作MH⊥BN，设Mm,3m−9，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，求出m的值，得出MH=52【详解】（1）解：将Ca,6代入y=x+16=a+1，a=5．（2）解：设直线CD解析式为y=kx+b，将C5,6、D6=5k+b0=3k+b，解得：k=3∴直线CD:y=3x−9，设Pm,3m−9把y=0代入y=x+1得：x+1=0，解得：x=−1，把x=0代入y=x+1得：y=1，∴A−1,0，B∴AD=3−−1∴S△ADC①如图1，m<3时，S△APC18=12+1解得：m=2，∴P2,−3②3≤m<6时，△APC的面积不可能为18，③如图2，m>6时，S△APC18=1解得：m=8．∴P综上，P点坐标为2,−3或8,15．（3）解：如图3，过M作MH⊥BN，设Mm,3m−9∵A−1,0，B∴OA=OB=1，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵AB∥∴∠MNB=∠OBA=45°，∵∠BMN=90°，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴MB=MN，∵MH⊥BN，∴BH=HN，∠BMH=NMB=45°，∴BH=NH=MH=m，∵OB=1，OH=−3m−9∴m=1+9−3m解：m=5∴MH=52，∴S【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论．2．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知直线AB经过点1,−2，且与x轴交于点A2,0，与y轴交于点B，作直线AB关于y轴对称的直线BC交x轴于点C，点P为OC(1)求直线AB的函数表达式和点B的坐标；(2)若经过点P的直线l将△ABC的面积分为1:3的两部分，求所有符合条件的直线l的函数表达式．【答案】(1)y=2x−4．点B的坐标为0,−4(2)y=−4x−4或y=−【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+bk≠0．将点1,−2，2,0（2）分两种情况讨论：①当直线l经过点B时，②当直线l与AB的交点D在第四象限时，分别进行讨论，求出直线l的函数表达式．【详解】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+bk≠0∵直线AB经过点1,−2，2,0，∴k+b=−22k+b=0，解得k=2∴直线AB的函数表达式为y=2x−4．将x=0代入y=2x−4中，得y=−4，∴点B的坐标为0,−4．（2）①当直线l经过点B时，如图1．∵直线AB和直线BC关于y轴对称，且点A、C都在x轴上，∴OA=OC=2，即C−2,0∵P为OC的中点，∴P−1,0，AP=3CP∴S△BCP设此时直线l的函数表达式为y=m将点P−1,0、B−m1+∴此时直线l的函数表达式为y=−4x−4；②当直线l与AB的交点D在第四象限时，如图2．易得S△ABC∵直线l将△ABC的面积分为1:3的两部分，∴S△APD=1∴12×3×y∴yD将y=−43代入y=2x−4，得∴点D的坐标为43设此时直线l的函数表达式为y=m将点D43,−−m2+∴此时直线l的函数表达式为y=−4综上所述，所有符合条件的直线l的函数表达式为y=−4x−4或y=−【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．3．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知点A和点C的坐标分别为0,2和−1,0，过点A、B的直线关系式为y=kx+b(1)点B的坐标为：___________．(2)求直线AB的函数关系式．(3)在x轴上有一个点D，已知直线AD把S△AON的面积分为1:2两部分，请直接写出点D(4)在线段AN上是否存在点P，使△ACP的面积为4?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(5)直线y=−x+b与△ABC有公共点，直接写出b的取值范围．【答案】(1)−3,1(2)y=(3)−4,0或−2,0(4)存在，P(5)−2≤b≤2【分析】（1）作BH⊥x轴于点H．利用“一线三等角”模型证明ΔHBC≌ΔOCA，推出HB=OC，HC=OA，再根据A0,2（2）将A0,2，B−3,1代入（3）直线AD把ΔAON分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比，先求出N点的坐标，再分S△AOD=2（4）设Pm，1（5）分别计算直线y=−x+b经过A0,2，B−3,1时的b值，结合图象即可得出【详解】（1）解：如图，作BH⊥x轴于点H．∵∠BHC=90°，∠ACB=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACO+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠OCA．在ΔHBC和Δ∠HBC=∠OCA∠BHC=∠COA=90°∴ΔHBC≌ΔOCA∴HB=OC，HC=OA，∵A0,2，C∴HB=OC=1，OH=HC+OC=OA+OC=2+1=3，∴点B的坐标为−3,1；（2）解：设直线AB的函数关系式为y=kx+b，将A0,2，B得：b=2−3k+b=1解得：b=2k=∴直线AB的函数关系式为y=1（3）解：∵直线AB的函数关系式为y=1∴当y=0时，13x+2=0，解得∴N−6,0∴ON=6．由题意知，直线AD把ΔAON分两种情况：当S△AOD=2S∴OD=2∴D−4,0当S△AND=2S∴OD=1∴D−2,0∴点D的坐标为−4,0或−2,0；（4）解：∵点P所在直线AB的函数关系式为y=1∴设Pm∵S∴S即12解得m=−24∴y∴P−故存在点P使△ACP的面积为4，点P的坐标是P−（5）解：当直线y=−x+b经过A0,2时，将A0,2代入可得b=2；当直线y=−x+b经过B−3,1时，将B−3,1代入可得3+b=1，解得b=−2；结合下图可知，直线y=−x+b与△ABC有公共点时，b的取值范围为−2≤b≤2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，在坐标系中求三角形的面积，解题的关键是求出点B的坐标，以及熟练应用数形结合的思想．4．（2022春·福建福州·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，点M−1，m，N−1，n，原点O关于直线MN的对称点为A，直线(1)填空：①点A的坐标是______；②当m=1，n=−2时，点P的坐标为______；(2)连接ON，若n=−2m，△ONP的面积为12，求m的值；(3)过点P作MN的垂线，垂足为Q，连接OQ，若mn=−1m≠±1，求证：PQ=OQ【答案】(1)①（﹣2，0）；②（﹣4，4）；(2)±2(3)见解析【分析】（1）①根据对称性可得点A的坐标；②根据待定系数法可求得OM和AN的解析式，联立方程可得点P的坐标；（2）由1知：点P的横坐标为x=−2nm+n，根据n=−2m，可得x=−4，由已知△ONP的面积为12，列等式可得（3）先表示P和Q的坐标，分两种情况：①当m>0m≠1时，如图2，②当m<0m≠−1时，如图3，分别计算PQ和（1）解：①∵点M（﹣1，m），N（﹣1，n），∴直线MN的解析式为：x＝﹣1，∵原点O关于直线MN的对称点为A，∴A（﹣2，0）；故答案为：（﹣2，0）；②设OM的解析式为：y＝kx，∴﹣k＝m，∴k＝﹣m，∴OM的解析式为：y＝﹣mx，设AN的解析式为：y＝k1x+b，∴−2k解得：k1∴AN的解析式为：y＝nx+2n，∵nx+2n＝﹣mx，∴x＝﹣2nm+n当m＝1，n＝﹣2时，点P的坐标为（﹣4，4）；故答案为：（﹣4，4）；（2）解：由（1）知：点P的横坐标为x=−2n∵n=−2m，∴x=−−4m如图1所示，∵△ONP的面积为12，∴S∴1∴MN=6，∴m−n∴3m=±6，∴m=±2；（3）证明：由（1）知：点P的横坐标为x=−2n∴P−∵PQ⊥MN，∴Q−1,−∵mn=−1，∴m≠0，n≠0，分两种情况：①当m>0m≠1时，如图2∵mn=−1，∴n<0，m−n>0，∴−2n∴PQ=−2nOQ=1∴PQ=OQ；②当m<0m≠−1时，如图3∴n>0，m−n<0，m+n<0，−2n同理得：PQ=−2nOQ=1∴PQ=OQ．

【点睛】本题是三角形的综合题，考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，两点的距离等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点D的坐标为（2，6），直线OP的解析式为y=35x(2)S=−125a+965(3)在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=8013时点Q的坐标为（8，2413）或（8，4813），当t=203时点【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；（2）由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（a，-a+8），由△AEN的面积公式，可得出S和a之间的函数关系式，代入数值即可得出结论；（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），∴点A的坐标为（8，0），BC∥x轴．∵直线y=-x+b经过点A，∴0=-8+b，∴b=8，∴直线AD的解析式为y=-x+8．当y=6时，有-x+8=6，解得：x=2，∴点D的坐标为（2，6）．∵点P是AD的中点，∴点P的坐标为（2+82，6+0设直线OP的解析式为y=kx，∴3=5k，解得k=35∴直线OP的解析式为y=35x（2）解：当x=8时，y=35x=24∴点E的坐标为（8，245设点N的坐标为（a，-a+8）．∴S=12×245×|8-a|=125当a<8时，S=125|8-a|=−当a>8时，S=125|8-a|=12∴S=−12当S=12时，125|8-a解得：a=3或a=13；（3）解：∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），∴点F的坐标为（t，35t），点G的坐标为（t，-t分三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，如图1所示．∵△FGQ为等腰直角三角形，∴FG=GQ，即35t-（-t+8）=8-t解得：t=8013此时点Q的坐标为（8，2413②当∠GFQ=90°时，如图2所示．∵△FGQ为等腰直角三角形，∴FG=FQ，即35t-（-t+8）=8-t解得：t=8013此时点Q的坐标为（8，4813③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．∵△FGQ为等腰直角三角形，∴FG=2QS，即35t-（-t+8）=2（8-t解得：t=203此时点F的坐标为（203，4），点G的坐标为（203，此时点Q的坐标为（8，4+432综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=8013时点Q的坐标为（8，2413）或（8，4813），当t=203时点【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况求出t值．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．(1)求证：AE=EF．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．(3)在的（2）条件下，若S△BCF=4，求四边形【答案】(1)见解析(2)16(3)88【分析】（1）在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，则△BGE是等腰直角三角形，再利用ASA证明△AGE≌△ECF，得AE=EF；（2）连接BD，根据CF∥BD，得S△BCD=S（3）作FN⊥BC于N，由S△BCF=4，可得FN=2，再利用AAS证明△ABE≌△ENF，得BE=FN=2，可知E（2，0）【详解】（1）证明：在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，则AG=EC，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CEF，∵BG=BE，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠AGE=∠ECF，∴△AGE≌△ECF（∴AE=EF；（2）解：四边形ABFD的面积不变，为16，连接BD，∵∠BDC=∠DCF，∴CF∥∴S∴四边形ABFD的面积为正方形ABCD的面积，∴四边形ABFD的面积为16；（3）解：作FN⊥BC于N，∵S∴1∴FN=2，由（1）得，∵∠ABE=∠ENF，∠BAE=∠NEF，∴△ABE≌△ENF（∴BE=FN=2，∴E（设直线AE的解析式为y=kx+b，∴{b=4∴{k=−2∴直线AE的解析式为y=−2x+4，同理得，直线BF的解析式为y=1当−2x+4=1∴x=12∴y=4∴S∴S【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点H的坐标是解决问题（3）的关键．7．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么△ABO为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．(1)如果点C在x轴上，将△ABC沿着直线AB翻折，使点C落在点D0,18上，求直线BC(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是0,8，直线AB上有一点P，使得△PDE周长最小，求此时△PBC的面积．【答案】(1)84；(2)k=−4(3)112．【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（−214，0）代入y=kx−7可得（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出△PBC的面积．【详解】（1）∵将x=0代入y=kx−7，得：y=−7，∴点B（0，-7），∴OB=7，又∵点D（0，18），即OD=18，∴BD=OB+OD=7+18=25，由翻折的性质可得：BC=BD=25，在Rt△BOC中，由勾股定理可得：OC=B∴直线BC的坐标三角形的面积为：12（2）设OA=x，AB=14−x，∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2解得：x=21∴点A（−21∵将点A（−214，0）代入y=kx−7，得：∴k=−4（3）如图，连接CE交AB于点P，∵点C与点D关于直线AB对称，∴PC=PD，∴PC+PE=PD+PE，∴当点P、C、E在一条直线上时，PC+PE有最小值，又∵DE的长度不变，∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，设直线CE的解析式y=kx+b，将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：0=−24k+b8=b解得：k=1∴直线CE的解析式y=1联立y=13x+8∴点P（-9，5），∴S△PBC【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．必考点3必考点3一次函数与全等三角形1．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，x轴上一点A4，0，过点A作直线AB⊥x轴，交正比例函数y=34x的图象于点B．点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OB运动，设其运动时间为t（秒），过点M作MN⊥OB交直线AB于点【答案】2或8【分析】分当点M在线段OB上时，当点M在OB延长线上时，两种情况利用全等三角形的性质求出OM的长即可得到答案．【详解】解：如图1所示，当点M在线段OB上时，∵A4，0∴点B的横坐标为4，当x=4时，y=3∴B4∴OA=4，∴OB=O∵△MBN≌△ABO，∴BM=AB=3，∴OM=OB−BM=2，∴t=2；如图2所示，当点M在OB延长线上时，∵△MBN≌△ABO，∴BM=AB=3，∴OM=OB+BM=8，∴t=8；综上所述，当t=2或t=8时△MBN≌△ABO，故答案为：2或8．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．2．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1)，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，PC=PD，过点D作线段AB⊥x轴，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，直线CD与直线y=x交于点Q，则Q点的坐标是_____．【答案】9【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证ΔMCP≅ΔNPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a−1，得出2a−1=1，求出a=1，得出D的坐标，由两点坐标公式求出PC=PD=5，在RtΔMCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把【详解】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P(1,1)，∴OM=BN=1，PM=1，在ΔMCP和Δ∠CMP=∠DNP∴△MCP≅△NPD(AAS)，∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P(1,1)，∴DN=2a−1，则2a−1=1，∴a=1，即BD=2．∵直线y=x，∴AB=OB=3，∴点D(3,2)∴PC=PD=(3−1)在RtΔMCP中，由勾股定理得：CM=C则C的坐标是(0,3)，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D(3,2)代入得：k=−1即直线CD的解析式是y=−1∴组成方程组y=−解得：x=∴点Q(94，故答案为：(94，【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．3．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）【模型建立】如图，已知直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E，易证△ACD≌△CBE，进一步得到全等三角形的对应线段和对应角分别相等，这一证明在平面直角坐标系中也被广泛使用．【模型应用】(1)如图1，若一次函数y=-x+6的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为4，求点A到直线l的距离AD的长；(2)如图2，已知直线y=43x+4与y轴交于B点，与x轴交于A点，过点A作AC⊥AB于A，截取AC=AB，过B、C作直线，求直线BC【模型拓展】(3)如图3，平面直角坐标系中，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，AB于y轴交于点D，点C的坐标为（0，-4），A点的坐标为（8，0），求B、D两点的坐标．【答案】(1)2(2)y=17x(3)B（-4，4），D（0，83【分析】（1）利用勾股定理求出OE=25（2）过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD=AO，AD=BO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；（3）过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE=OC=4，CE=AO=8，可得B（-4，4），求出直线AB的解析式，即可解决问题．【小题1】解：∵一次函数y=-x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．∴A（6，0），B（0，6），∴OA=OB=6，∵BE=4，∴OE=62∵∠BEO=∠ADO=∠AOB=90°，∴∠BOE+∠AOD=90°，∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵OB=OA，∴△BEO≌△ODA（AAS），∴OE=AD，∴AD=25【小题2】如图，过C作CD⊥x轴于点D，直线y=43x+4与y轴交于B点，与x令y=0可求得x=-3，令x=0可求得y=4，∴OA=3，OB=4，同（1）可得△CDA≌△AOB，∴CD=AO=3，AD=BO=4，∴OD=4+3=7，∴C（-7，3），且B（0，4），设直线BC的解析式为y=kx+4，把C点坐标代入可得3=-7k+4，解得k=17∴直线BC的解析式为y=17x【小题3】如图，过点B作BE⊥y轴于E．∵点C的坐标为（0，-4），A点的坐标为（8，0），∴OC=4，OA=8，∵∠BEC=∠AOC=∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACO=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACO=∠CBE，∵CB=CA，∴△CEB≌△AOC（AAS），BE=OC=4，CE=AO=8，∴OE=4，∴B（-4，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴−4k+b=48k+b=0解得：k=−1∴D（0，83【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法解析式，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形解题是关键．4．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y=x的图像，再画出△ABC关于正比例函数y=x的图像对称的△DEF．【猜想验证】猜想：点Pa,b关于正比例函数y=x的图像对称的点Q验证点Pa,b证明：如图2，点Pa,b、Q关于正比例函数y=x的图像对称，PH⊥x轴，垂足为H【应用拓展】在△ABC中，点A坐标为3,3，点B坐标为−2,−1，点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为_________．【答案】操作思考：见解析；猜想验证：b,a；见解析；应用拓展：1,【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象．猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y=x的图像对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ=PH，OI=OH，进而可得到Q点坐标；应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB'上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB'的交点坐标．求出直线【详解】操作思考：猜想验证：猜想点Pa,b关于正比例函数y=x的图像对称的点Q的坐标为证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ．∵点P、Q关于函数y=x的图像对称，∴OP=OQ，PQ⊥ON，∴∠QON=∠PON，∵∠ION=∠HON=45∴∠ION−∠QON=∠HON−∠PON，即∠IOQ=∠HOP．在△IOQ和△HOP中，∠QIO=∠PHO∴△IOQ≌△HOP，∴IQ=PH=b，OI=OH=a，∴Qb,a应用拓展：如图3，过B作BB'⊥OA交AC延长线于B'∵A∴直线OA为y=x的图象∵AO平分∠BAC∴∠BAO=∠∵∠BKA=∠B'∴△BKA≌△∴BK=∵B∴B、B'关于直线y=x∵B−2,−1∴B设直线AB'∴3k+b=3∴k=54∴直线AB'又∵直线BO为y=∴5∴x=1∴y=∴C1,故答案为：1,1【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键．5．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线y=kx+b经过点A754,0，点B0,25，与直线y=34x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D(1)求直线AB的表达式和点C的坐标；(2)当DE=23OA(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A1落在直线OC上，直接写出此时点D【答案】(1)直线AB的解析式为y=−43x+25，点(2)75(3)15，5【分析】（1）利用待定系数法法求得k和b，联立方程组求解即可求得直线AB的表达式和点C的坐标；（2）设D点横坐标为m，结合DE=23OA求出DE，即可得关于m（3）分点A落在射线CO上的A1和点A落在射线OC上的A2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）∵直线y=kx+b经过点A754,0∴754解得k=−4∴直线AB的解析式为y=−4解方程组y=−43x+25∴点C的坐标为12,9；（2）∵A75∴OA=75设D点横坐标为m，则点D坐标为m,−4∵DE平行于y轴，∴点E坐标为m,3∴DE=−∵DE=2∴−25解得m=6或m=18，当m=6时，△CDE的面积为12当m=18，△CDE的面积为12综上所述：△CDE的面积为752（3）过点C作CG⊥OA于点G，∵点C的坐标为(12，9)，∴OG=12，CG=9，OA=75∴AG=75∴OC2=OOC2+A∴OC∴∠OCA=90°，即OC⊥AB，当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A1时，设DA1交x轴于点根据折叠的性质，OA=OA1，又∠COA=∠HOA∴△COA≌△HOA∴∠A1HO=∠ACO=90°∴DA当x=−15时，∴y=−4∴点D的坐标为−15,45；当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A2时，延长A2D交x轴于点根据折叠的性质，OA=OA2，又∠COA=∠IOA∴△COA≌△IOA∴∠A2IO=∠ACO=90°∴DA当x=15时，∴y=−4∴点D的坐标为15,5；综上所述：点D的坐标为15,5或−15,45．【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，避免遗漏．6．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=kx+bk≠0的图像经过点C4，−6，分别与x轴、y轴相交于点A、B，AB=AC．D0，−3(1)求直线AB的函数表达式；(2)①连接DP，若△DCP的面积为△DCB面积的15，则点P②若射线DP平分∠BDC，求点P的坐标；(3)如图2，若点C关于直线DP的对称点为C'，当C'恰好落在x轴上时，点【答案】(1)y=−3x+6(2)①P165(3)P【分析】（1）作CG⊥x轴，证△AOB≅△AG