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文档简介
专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知两边找另一边,用SSS】 1【题型2已知两边找夹角,用SAS】 2【题型3一直角边一斜边用HL】 3【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】 5【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】 6【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】 7【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】 9【题型8已知两角找夹边,用ASA】 10【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】 11知识点:判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找另一边,用SSS】【例1】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图所示,已知AB=DC,AE=DF,EC=BF,且B,F,E,C在同一条直线上.(1)求证:AB∥(2)若BC=11,EF=7,求BE的长度.【变式1-1】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)已知BE=CD,BD=CE,求证:∠B=∠C.【变式1-2】(23-24·吉林白城·一模)如图,点E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:∠AEO=∠CFO.【变式1-3】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)如图,AB=AC,BO=CO,求证:∠ADC=∠AEB.【题型2已知两边找夹角,用SAS】【例2】(23-24八年级·陕西榆林·期末)如图,在四边形ADBC中,AC∥BD,AC=BD,E,F分别是对角线AB上两点,且AE=BF,连接试说明:(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE.【变式2-1】(23-24八年级·四川雅安·期末)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,D为△ABC边AC上一点,BC=CD,点M在BC的延长线上,CE平分∠ACM,且AC=CE.连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
(1)∠BAC与∠DEC相等吗?为什么?(2)求∠DHF的度数.【变式2-2】(23-24八年级·吉林·期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,点D在BC边上,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE.
【变式2-3】(23-24八年级·陕西汉中·期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,CF=AB.
【问题解决】(1)试说明:△ABG≌△CFB;【问题探究】(2)BF与BG垂直吗?请说明理由.【题型3一直角边一斜边用HL】【例3】(23-24八年级·河南平顶山·期末)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',AB=A'B'【变式3-1】(23-24八年级·四川甘孜·期末)如图,已知∠C=∠F=90°,∠A=51°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)求∠BOF.【变式3-2】(23-24八年级·重庆北碚·期末)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点F、G分别为AC、AB上的一点,接GF并延长交BD延长线于点E,若EF=AB,DF=DB,∠C+∠2=180°证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤(⑥)∴∠∴CB⊥AB【变式3-3】(23-24八年级·重庆·期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,过点A作AM⊥AC,点P,Q分别在线段AC和射线AM上移动.若PQ=AB,则当AP=时,△ABC【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】【例4】(23-24八年级·河北唐山·期中)如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为(
)
A.8 B.6 C.4 D.2【变式4-1】(23-24八年级·广东惠州·期中)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,点E是BC的中点,DE⊥AB于点F,且AB=DE.(1)求证:△ACB≌△EBD;(2)若DB=12.①求AC的长;②求△DCE的面积.【变式4-2】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【变式4-3】(23-24八年级·山西太原·阶段练习)如图,教学楼与操场上的旗杆相距19m,小林同学从教学楼B点沿BD走到D点,一定时间后他到达P点,此时他测得CP和AP的夹角为90°,且CP=AP,已知∠ABD=∠CDB=90°,旗杆CD的高为7m,小林同学行走的速度为(1)请你求出教学楼AB的高度;(2)小林从P点到达D点还需要多长时间?【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】【例5】(23-24八年级·广东深圳·期末)如图,△ABC中,∠B=90°,以AC为边向右下方作△ACD,满足CA=AD,点M为BC上一点,连接AM,DM,若∠BAM=12∠CAD,BM=65,【变式5-1】(23-24八年级·江苏苏州·期末)如图,在△ABC中,D为AC中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.(1)求证:△CDE≌△ADF;(2)若EF∥BC,∠A=60°,∠E=50°,求【变式5-2】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知,AB=AC,BD=CE.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;(2)如图2,BE与CD相交于点O,若∠A=36°,∠B=30°,求∠DOB的度数.【变式5-3】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)如图,某游乐园有两个滑梯BC与EF,滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等,且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半.(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等?并说明理由.(2)若∠BCD=90°,试说明CD∥【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】【例6】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【变式6-1】(23-24·吉林松原·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,EF⊥AB于点F,AE=CB.求证:△AEF≌△CBD【变式6-2】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为(
)A.1 B.32 C.2 【变式6-3】(23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点C作CE∥AB,连接(1)基本尺规作图:作∠ABF=∠EAC,交线段AC于点F(保留作图疯迹);(2)求证:BF=AE.解:∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE(_______)【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】【例7】(23-24八年级·湖北鄂州·期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作
(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm【变式7-1】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BDE=∠BAC,AC=DE=DC.
(1)试说明△ABC≌(2)若∠ACD=72°,求∠BED的度数.【变式7-2】(23-24八年级·四川宜宾·期中)已知:如图,在△ABN和△ACM中,AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM.求证:(1)BD=CE;(2)△AEM≌△ADN.【变式7-3】(23-24·黑龙江哈尔滨·一模)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.(1)求证:△ABC≌△AFE;(2)如图2,连接AG,若∠ACB=30°,请直接写出图2中的三角形,使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍.【题型8已知两角找夹边,用ASA】【例8】(23-24八年级·陕西西安·期末)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,BE⊥CE,下列结论∶①CE平分∠BCD;②AB+CD=AD;③CE·BE=S四边形ABCDA.①③ B.③④ C.①③④ D.②③④【变式8-1】(23-24八年级·云南昭通·期末)如图,C,F为线段BE上两点,AB∥DE,∠1=∠2,EF=BC.求证:【变式8-2】(23-24八年级·辽宁阜新·期末)如图,AC⊥CF于点C,DF⊥CF于点F,AB与DE交于点O,且EC=BF,∠OEB=∠OBE.求证:AE=BD.【变式8-3】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点(1)如图1,连接AF,求证:∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2,当∠A=60°时,若BE=4,CD=3,求BC的长.【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】【例9】(23-24八年级·福建三明·期中)如图,在△ABC中,∠B=80°,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A(1)若B'为BC的中点,求证:△AO(2)若AC平分∠BAA',求【变式9-1】(23-24·陕西西安·三模)如图,点B,F,C,E在一条直线上,点A,D在这条直线的两侧,已知∠B=∠E,∠BAC=∠EDF,BF=CE.求证:AC∥FD.【变式9-2】(23-24八年级·浙江金华·阶段练习)如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,点A、D、B、E在同一直线上,∠C=∠F=90°,(1)求证:Rt△ABC≌(2)当∠CBA=65°时,求∠E的度数.【变式9-3】(23-24八年级·山东青岛·期末)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC>∠BAC.在∠ABC内部作∠ABE=∠BAC,BE交AC于点D.将一个含有45°角的三角板FGH如图放置,使直角边FH与BE重合,三角板FGH沿
(1)如图1,当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时,试证明AF=BC;(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置,FG与AB交于点M,过点M作MN⊥AC,垂足为点N,试判断线段MN,MF,BC之间的关系.专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知两边找另一边,用SSS】 1【题型2已知两边找夹角,用SAS】 4【题型3一直角边一斜边用HL】 8【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】 13【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】 17【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】 21【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】 25【题型8已知两角找夹边,用ASA】 31【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】 35知识点:判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找另一边,用SSS】【例1】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图所示,已知AB=DC,AE=DF,EC=BF,且B,F,E,C在同一条直线上.(1)求证:AB∥(2)若BC=11,EF=7,求BE的长度.【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的判定,线段的和与差.熟练掌握全等三角形的判定与性质,平行线的判定,线段的和与差是解题的关键.(1)证明△ABE≌△DCFSSS,则∠B=∠C,进而可证AB(2)由题意得,EC+BF=BC−EF=4,由EC=BF,可得EC=BF=2,根据BE=EF+BF,计算求解即可.【详解】(1)证明:∵EC=BF,∴EC+EF=BF+EF,即CF=BE,∵AB=DC,AE=DF,BE=CF,∴△ABE≌△DCFSSS∴∠B=∠C,∴AB∥(2)解:∵BC=11,EF=7,∴EC+BF=BC−EF=4,∵EC=BF,∴EC=BF=2,∴BE=EF+BF=7+2=9,∴BE的长度为9.【变式1-1】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)已知BE=CD,BD=CE,求证:∠B=∠C.【答案】证明见详解;【分析】本题考查三角形全等的判定与性质,连接DE,根据边边边判定证明△BDE≌△CED即可得到答案;【详解】证明:连接DE,在△BDE与△CED中,∵BE=CDBD=CE∴△BDE≌△CED(SSS,∴∠B=∠C.【变式1-2】(23-24·吉林白城·一模)如图,点E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:∠AEO=∠CFO.【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,根据BF=DE,得BE=DF,利用SSS证△ABE≌△CDF,再利用全等三角形性质即可证明结论,明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题.【详解】证明:∵BF=DE,∴BF−EF=DE−EF,即BE=DF,在△ABE和△DFC中,AB=CDBE=DF∴△ABE≌△CDFSSS∴∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO.【变式1-3】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)如图,AB=AC,BO=CO,求证:∠ADC=∠AEB.【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质,连接OA,证明△AOB≌△AOCSSS得出∠B=∠C【详解】证明:如图,连接OA,在△AOB和△AOC中,AB=ACOB=OC∴△AOB≌△AOCSSS∴∠B=∠C,∵∠DOB=∠EOC,∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC,∴∠ADC=∠AEB.【题型2已知两边找夹角,用SAS】【例2】(23-24八年级·陕西榆林·期末)如图,在四边形ADBC中,AC∥BD,AC=BD,E,F分别是对角线AB上两点,且AE=BF,连接试说明:(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.(1)由SAS证明△ACF≌△BDE即可;(2)由SAS证明△BFC≌△AED即可.【详解】(1)解:因为AE=BF,即AE+EF=BF+EF,所以AF=BE,因为AC∥所以∠CAF=∠DBE,在△ACF和△BDEAC=BD所以△ACF≌△BDESAS所以∠AFC=∠BED,DE=CF,所以CF∥(2)解:因为∠AFC=∠BED,所以∠BFC=∠AED,在△BFC和△AED中,BF=AE,所以△BFC≌△AEDSAS所以∠BCF=∠ADE.【变式2-1】(23-24八年级·四川雅安·期末)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,D为△ABC边AC上一点,BC=CD,点M在BC的延长线上,CE平分∠ACM,且AC=CE.连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
(1)∠BAC与∠DEC相等吗?为什么?(2)求∠DHF的度数.【答案】(1)相等,理由见解析(2)60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用:(1)先求出∠DCE=12∠ACM=60°,再证△BAC≌△DECSAS,可得(2)先证△CDG≌△CBFSAS,推出∠CDG=∠CBF,结合∠DFH=∠BFC,可得∠DHF=∠FCB=60°【详解】(1)解:∠BAC与∠DEC相等,理由如下:∵∠ACB=60°,CE平分∠ACM,∴∠DCE=1在△BAC与△DEC中,BC=DC∠BCA=∠DCE=60°∴△BAC≌△DECSAS∴∠BAC=∠DEC;(2)解:在△CDG与△CBF中,CD=CB∠DCG=∠BCF=60°∴△CDG≌△CBFSAS∴∠CDG=∠CBF,又∵∠DFH=∠BFC,∴∠DHF=∠FCB=60°.【变式2-2】(23-24八年级·吉林·期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,点D在BC边上,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE.
【答案】证明见解析.【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质,由旋转性质可知AD=AE,∠DAE=80°,则∠BAD=∠CAE,证明△BAD≌△CAESAS【详解】证明:由旋转性质可知AD=AE,∠DAE=80°,∴∠BAC=∠DAE=80°,∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE.【变式2-3】(23-24八年级·陕西汉中·期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,CF=AB.
【问题解决】(1)试说明:△ABG≌△CFB;【问题探究】(2)BF与BG垂直吗?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)BF与BG垂直,理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.(1)根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°,根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°,即可推出∠BAG=∠BCF,最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB;(2)根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°,根据全等三角形的性质得出∠G=∠CBF,则∠CBF+∠DBG=90°,即可得出结论.【详解】(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,则∠BAG+∠ABD=90°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,则∠BCF+∠ABD=90°,∴∠BAG=∠BCF,在△ABG和△CFB中,AG=BC∠BAG=∠BCF∴△ABG≌△CFBSAS(2)解:BF与BG垂直,理由如下:∵AD⊥BC,∴∠BDG=90°,则∠G+∠DBG=90°,由(1)可得:△ABG≌△CFBSAS∴∠G=∠CBF,∴∠CBF+∠DBG=90°,即∠GBF=90°,∴BF⊥BG.【题型3一直角边一斜边用HL】【例3】(23-24八年级·河南平顶山·期末)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',AB=A'B'【答案】n°或180°−n°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,分类讨论是解题的关键.过A作AD⊥BC于点D,过A'作A'D'⊥【详解】解:过A作AD⊥BC于点D,过A'作A'D∵边BC和B'∴AD=A当B、C在点D的两侧,B'、C
∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠C当B、C在点D的同侧,B'、C
同理可得:∠A'C当B、C在点D的两侧,B'、C
∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠A'C当B、C在点D的同侧,B'、C
同理可得:∠C综上,∠C'的值为n°或故答案为:n°或180°−n°.【变式3-1】(23-24八年级·四川甘孜·期末)如图,已知∠C=∠F=90°,∠A=51°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)求∠BOF.【答案】(1)证明见解析(2)78°【分析】本题考查全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质,(1)根据HL证明两个三角形全等即可;(2)根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论;解题的关键是掌握三角形全等的判定.【详解】(1)证明:∵AE=DB,∴AE+EB=DB+EB,即AB=DE,∵∠C=∠F=90°,在Rt△ACB和RtAC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌(2)解:∵∠C=90°,∠A=51°,∴∠ABC=90°−∠A=90°−51°=39°,由(1)知:Rt△ABC≌∴∠ABC=∠DEF,∴∠DEF=39°,∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°,∴∠BOF的度数为78°.【变式3-2】(23-24八年级·重庆北碚·期末)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点F、G分别为AC、AB上的一点,接GF并延长交BD延长线于点E,若EF=AB,DF=DB,∠C+∠2=180°证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤(⑥)∴∠∴CB⊥AB【答案】EF=AB;HL;三角形的内角和定理,∠E;EG∥BC;同旁内角互补,两直线平行.【分析】本题考查了平行线的判定和性质,垂线的定义,灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键.根据全等三角形的判定及性质,平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可.【详解】解:证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∴∠∴∠E+∠1=90°∴∠∵∠∴EG∥BC(同旁内角互补,两直线平行)∴∠∴CB⊥AB故答案为:EF=AB;HL;三角形的内角和定理,∠E;EG∥BC;同旁内角互补,两直线平行.【变式3-3】(23-24八年级·重庆·期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,过点A作AM⊥AC,点P,Q分别在线段AC和射线AM上移动.若PQ=AB,则当AP=时,△ABC【答案】8cm或【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键,注意分类讨论,以免漏解.分情况讨论:①AP=BC=8cm时,Rt△ABC≌Rt△QPAHL;②当P运动到与C【详解】解:①当P运动到AP=BC时,如图所示:在Rt△ABC和RtBC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=BC=8cm②当P运动到与C点重合时,如图所示:在Rt△ABC和RtAC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=AC=16cm综上所述,AP的长度是8cm或16故答案为:8cm或16【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】【例4】(23-24八年级·河北唐山·期中)如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为(
)
A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,根据三角形内角和定理,证明△ABC≌△CEDAAS【详解】解:∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=∠E=∠ACD,∴∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°,∵∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°,∴∠BAC=∠DCE,在△ABC和△CED中,∠BAC=∠DCE∠B=∠E∴△ABC≌∴BC=DE,AB=CE,∵AB=2,BE=6,∴DE=BC=BE−CE=BE−AB=6−2=4,故选:C.【变式4-1】(23-24八年级·广东惠州·期中)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,点E是BC的中点,DE⊥AB于点F,且AB=DE.(1)求证:△ACB≌△EBD;(2)若DB=12.①求AC的长;②求△DCE的面积.【答案】(1)见解析(2)①6;②36【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.(1)由题意知,∠ABC+∠ABD=90°,∠ABD+∠EDB=90°,则∠ABC=∠EDB,证明△ACB≌△EBDAAS(2)①由题意知,CE=BE=12BC,由△ACB≌△EBDAAS,可得【详解】(1)证明:∵∠DBC=90°,∴∠ABC+∠ABD=90°,∵DE⊥AB,∴∠DFB=90°,即∠ABD+∠EDB=90°,∴∠ABC=∠EDB,∵∠ACB=∠EBD,∠ABC=∠EDB,AB=DE,∴△ACB≌△EBDAAS(2)①解:∵点E是BC的中点,∴CE=BE=1由(1)可知,△ACB≌△EBDAAS∴AC=BE,BC=BD,∴AC=BE=1∴AC的长为6;②解:由题意知,S△DCE∴△DCE的面积为36.【变式4-2】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意证明∠ABE=∠FAD,根据AAS即可得到答案.【详解】证明:∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠DAB=90°,∵BE⊥AF,∴∠AEB=90°,∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD,在△BEA和△ADF中,∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【变式4-3】(23-24八年级·山西太原·阶段练习)如图,教学楼与操场上的旗杆相距19m,小林同学从教学楼B点沿BD走到D点,一定时间后他到达P点,此时他测得CP和AP的夹角为90°,且CP=AP,已知∠ABD=∠CDB=90°,旗杆CD的高为7m,小林同学行走的速度为(1)请你求出教学楼AB的高度;(2)小林从P点到达D点还需要多长时间?【答案】(1)12(2)24【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键;(1)先证明∠CPD=∠PAB,再结合CP=AP,即可得到结论;(2)利用路程除以速度即可得到答案.【详解】(1)解:∵CP和AP的夹角为90°,∴∠APB+∠CPD=90°.∵∠ABD=90°,∴∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPD=∠PAB.在△CDP和△PBA中,∠CPD=∠PAB∠CDP=∠PBA∴△CDP≌△PBA(AAS∴CD=PB,PD=AB.∵CD=7m∴PB=7m∵BD=19m∴PD=12m∴AB=12m答:教学楼AB的高度为12m(2)12÷0.5=24(s答:小林从P点到达D点还需要24s【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】【例5】(23-24八年级·广东深圳·期末)如图,△ABC中,∠B=90°,以AC为边向右下方作△ACD,满足CA=AD,点M为BC上一点,连接AM,DM,若∠BAM=12∠CAD,BM=65,【答案】5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线,构造全等三角形是解题的关键.延长CB到E,使BE=BM,连接AE,先证明△ABE≌△ABMSAS,得到∠BAE=∠BAM,AE=AM,再证明△EAC≌△MADSAS,得到EC=DM,即可由【详解】解:延长CB到E,使BE=BM,连接AE,如图,∵BE=BM,∠ABE=∠ABM=90°,AB=AB,∴△ABE≌△ABMSAS∴∠BAE=∠BAM,AE=AM,∴∠BAM=1∵∠BAM=1∴∠EAM=∠CAD,∴∠EAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM,∴∠EAC=∠MAD,在△EAC与△MAD中,AE=AM∠EAC=∠MAD∴△EAC≌△MADSAS∴EC=DM,∴DM=EB+BM+CM=2BM+CM=2×6故答案为:5.【变式5-1】(23-24八年级·江苏苏州·期末)如图,在△ABC中,D为AC中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.(1)求证:△CDE≌△ADF;(2)若EF∥BC,∠A=60°,∠E=50°,求【答案】(1)证明见解析;(2)∠BCD=70°.【分析】(1)由D为AC中点得AD=CD,然后用“SAS”证明即可;(2)由△CDE≌△ADF,得∠A=∠DCE=60°,三角形的内角和得∠CDE=70°,最后由平行线的性质即可求解;本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,三角形的内角和,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.【详解】(1)证明:∵D为AC中点,∴AD=CD,在△CDE和△ADF中,AD=CD∠ADF=∠CDE∴△CDE≌△ADFSAS(2)由(1)得:△CDE≌△ADF,∴∠A=∠DCE=60°,∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°,∠E=50°,∴∠CDE=70°,∵EF∥∴∠BCD=∠CDE=70°.【变式5-2】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知,AB=AC,BD=CE.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;(2)如图2,BE与CD相交于点O,若∠A=36°,∠B=30°,求∠DOB的度数.【答案】(1)证明见解析(2)84°【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识,熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键.(1)利用三角形全等判定与性质,证得△ABE≌△ACDSAS(2)利用全等三角形性质得到∠C=∠B=30°,再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案.【详解】(1)证明:∵AB=AC,BD=CE,∴AD=AE,在△ABE和△ACD中,AD=AE∴△ABE≌∴∠B=∠C;(2)解:由(1)知,∠C=∠B=30°,在△ACD中,∠BDC是其外角,则∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°,∴在△BOD中,∠DOB=180°−∠B−∠BDO=180°−30°−66°=84°.【变式5-3】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)如图,某游乐园有两个滑梯BC与EF,滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等,且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半.(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等?并说明理由.(2)若∠BCD=90°,试说明CD∥【答案】(1)相等,理由见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的应用;确定两角的大小关系,通常可证明这两角所在的三角形全等,根据对应角相等进行判定.(1)根据BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,得出AB=DE,证明△ABC≌△DEF,即可证明;(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF,结合∠B+∠BDC=90°,得出∠DEF+∠BDC=90°,证出∠BDC=∠F,即可证明;【详解】(1)解:BC=EF.理由:∵BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,BD=AD+AB∴BD=AD+DE,∴AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE∠BAC=∠EDF=90°∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF.(2)∵∠BCD=90°,∴∠B+∠BDC=90°.∵△ABC≌∴∠B=∠DEF,∴∠DEF+∠BDC=90°.∵∠DEF+∠F=90°,∴∠BDC=∠F,∴CD∥【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】【例6】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意证明∠ABE=∠FAD,根据AAS即可得到答案.【详解】证明:∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠DAB=90°,∵BE⊥AF,∴∠AEB=90°,∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD,在△BEA和△ADF中,∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【变式6-1】(23-24·吉林松原·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,EF⊥AB于点F,AE=CB.求证:△AEF≌△CBD【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意,利用AAS证明即可.【详解】证明:在Rt△ABC中,∠B+∠A=90°∵DC⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°.∴∠A=∠BCD.∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠BDC=90°.在△AEF和△CBD中,∠A=∠BCD∠EFA=∠BDC∴△AEF≌△CBD(AAS【变式6-2】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为(
)A.1 B.32 C.2 【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.利用ASA证明△ACD≌△BFD,得DF=DC,再根据三角形面积可得【详解】解:∵AD,BE是△ABC的高线,∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°,∵∠BFD=∠AFE,∴∠DBF=∠CAD,在△ACD和△BFD中,∠DBF=∠CADBD=AD∴△ACD≌∴DF=DC,∵△ACD的面积为12,∴12∴CD=4,∴DF=4,∴AF=AD−DF=2,故选:C.【变式6-3】(23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点C作CE∥AB,连接(1)基本尺规作图:作∠ABF=∠EAC,交线段AC于点F(保留作图疯迹);(2)求证:BF=AE.解:∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE(_______)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据运用作相等角的作图方法画图即可;(2)根据平行线的性质可推出①及②,再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④.【详解】(1)解:如图:∠BAF即为所求;(2)解:∵CE∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中∠ABF=∠EAC∴△BAF≌△ACE∴BF=AE(全等三角形的对应边相等).【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】【例7】(23-24八年级·湖北鄂州·期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作
(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)证两条线段相等,通常用全等,本题中的AE和CD分别在△AEC和△CDB中,在这两个三角形中,已经有一组边相等,一组角相等了,因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答.(2)由(1)得BD=EC=12BC=12【详解】(1)∵DB⊥BC,∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.∴∠D=∠AEC.在△DBC和△ECA中,∵∠D∴△DBC≌∴AE=CD.(2)∵△CDB≌∴BD=CE,∵AE是BC边上的中线,∴BD=EC=12BC=∴BD=6cm【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.【变式7-1】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BDE=∠BAC,AC=DE=DC.
(1)试说明△ABC≌(2)若∠ACD=72°,求∠BED的度数.【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可;(2)全等三角形的性质,得到∠BED=∠BCA,证明△DBC≌△ABCSSS【详解】(1)解:因为∠DBA=∠CBE,所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE,即∠DBE=∠ABC.在△ABC和△DBE中,∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDE所以△ABC≌(2)因为△ABC≌所以BD=BA,∠BCA=∠BED.在△DBC和△ABC中,DC=ACCB=CB所以△DBC≌所以∠BCD=∠BCA=1所以∠BED=∠BCA=36°.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明三角形全等.【变式7-2】(23-24八年级·四川宜宾·期中)已知:如图,在△ABN和△ACM中,AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM.求证:(1)BD=CE;(2)△AEM≌△ADN.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质,熟练掌握判定定理是解题的关键.(1)根据∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2,证明△ACE≌△ABDSAS(2)根据△ACE≌△ABDSAS得到∠ADB=∠AEC,结合∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE,得到180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE即∠M=∠N【详解】(1)∵∠BAN=∠CAM,∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN,∴∠1=∠2,∵AB=AC∠1=∠2∴△ACE≌△ABDSAS∴BD=CE.(2)∵△ACE≌△ABD∴∠ADB=∠AEC,∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE,∴180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE,∴∠M=∠N,∵∠M=∠N∠MAE=∠NAD∴△AEM≌△ADNAAS【变式7-3】(23-24·黑龙江哈尔滨·一模)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.(1)求证:△ABC≌△AFE;(2)如图2,连接AG,若∠ACB=30°,请直接写出图2中的三角形,使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍.【答案】(1)见详解(2)△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,以及共高三角形面积比等于底之比,熟练掌握基本知识是解题的关键;(1)用AAS即可证明△ABC≌△AFE;(2)先证明BA=BE,则S△AEG=2S△BEG,再证明△AEG≌△ACG,则S△ACG=2S△BEG,由△ACG与△CDG同底等高,得S△GCD得S△ACG=S【详解】(1)证明:∵DE⊥AC∴∠AFE=90°∵∠ABC=90°∴∠AFE=∠ABC∴在△ABC和△AFE中,∠ABC=∠AFE∠BAC=∠FAE∴△ABC≌△AFE;(2)∵△ABC≌△AFE∴AB=AF,∵AG=AG,∴Rt△ABG≌∴∠1=∠2∵∠ACB=30°,∴∠1=∠2=∵△ABC≌△AFE,AE=AC∴∠ACB=30°=∠E,∴∠1=∠E,∴GA=GE,∵∠ABC=90°,∴BA=BE,∴S∵AG=AG∠1=∠2,AE=AC,∴△AEG≌△ACG,∴S∵AD∥BC∴△ACG与△CDG同底等高,∴S△ACG∴S∵∠1=∠2=30°,∴∠DAC=30°,∴∠2=∠DAC=30°,∴∠ADG=∠AGD=60°,∴AD=AG,∵AC=AC,∴△ADC≌△AGC,∴S△ACD∵AD∥BC∴△ACD与△DAG同底等高,∴S△ACD∴S△AGD∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面积为△BEG面积的2倍.【题型8已知两角找夹边,用ASA】【例8】(23-24八年级·陕西西安·期末)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,BE⊥CE,下列结论∶①CE平分∠BCD;②AB+CD=AD;③CE·BE=S四边形ABCDA.①③ B.③④ C.①③④ D.②③④【答案】C【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质,平行线的性质,理解题意,结合图形求解是解题关键.根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出∠DCE+∠ABE=90【详解】解:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=∵BE⊥CE∴∠BEC=∴∠BCE+∠CBE=∴∠DCE+∠ABE=180∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE∴∠BCE=∠DCE,∴CE平分∠BCD在BC上截取BF=BA,连接EF,在△FBE和△ABE中,BF=BA∴△FBE≅△ABE∴FE=AE,∠FEB=∠AEB∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=∴∠DEC+∠AEB=180∘∴∠FEC=∠DEC,在△FEC和△DEC中,∠FEC=∠DEC∴△FEC≅△DEC∴CF=CD,FE=DE∴AB+CD=FB+FC=BC≠AD,AE=DE,故②不正确,④正确;∵∴∴2S∴CE·BE=S故③正确;故选:C.【变式8-1】(23-24八年级·云南昭通·期末)如图,C,F为线段BE上两点,AB∥DE,∠1=∠2,EF=BC.求证:【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,先由AB∥DE证明∠B=∠E,再证EC=BF,即可证明△AFB≌△DCEASA【详解】证明:∵AB∥∴∠B=∠E,∵EF=BC,∴EF+FC=BC+FC,即EC=BF,在△AFB和△DCE中,∠1=∠2BF=EC∴△AFB≌△DCEASA∴AF=DC.【变式8-2】(23-24八年级·辽宁阜新·期末)如图,AC⊥CF于点C,DF⊥CF于点F,AB与DE交于点O,且EC=BF,∠OEB=∠OBE.求证:AE=BD.【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,先利用ASA证明△ACB≌△DFEASA得到AC=DF,进而利用SAS证明△ACE≌△DFB,即可证明AE=DB【详解】证明:∵AC⊥CF,DF⊥CF,∴∠ACB=∠DFE=90°.∵EC=BF,∴EC+EB=BF+EB,即CB=FE,又∵∠OEB=∠OBE,即∠ABC=∠DEF∴△ACB≌△DFEASA∴AC=DF,在△ACE与△DFB中,AC=DF∠ACE=∠DFB∴△ACE≌△DFBSAS∴AE=DB.【变式8-3】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点(1)如图1,连接AF,求证:∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2,当∠A=60°时,若BE=4,CD=3,求BC的长.【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了角平分线的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质:(1)在△BCF中,根据三角形内角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC,再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°−2∠BFC,从而得到2∠BAF=2∠BFC−180°,即可解答;(2)连接AF,在BC上截取BG=BE=4,连接FG,由(1)得:∠BFC−∠BAF=90°,从而得到∠BFC=120°,∠DFC=∠BFE=60°,再证明△BEF≌△BGF,可得∠BFE=∠BFG=60°,从而得到∠CFG=∠CFD,可证明△FCG≌△FCD,从而得到CG=CD=3,即可求解.【详解】(1)证明:在△BCF中,∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC,∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF,∠BAC=2∠BAF,∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2∠CBF+∠BCF∴∠BAC=180°−∠A
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