版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知两边找另一边,用SSS】 1【题型2已知两边找夹角,用SAS】 2【题型3一直角边一斜边用HL】 3【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】 5【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】 6【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】 7【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】 9【题型8已知两角找夹边,用ASA】 10【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】 11知识点:判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找另一边,用SSS】【例1】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图所示,已知AB=DC,AE=DF,EC=BF,且B,F,E,C在同一条直线上.(1)求证:AB∥(2)若BC=11,EF=7,求BE的长度.【变式1-1】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)已知BE=CD,BD=CE,求证:∠B=∠C.【变式1-2】(23-24·吉林白城·一模)如图,点E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:∠AEO=∠CFO.【变式1-3】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)如图,AB=AC,BO=CO,求证:∠ADC=∠AEB.【题型2已知两边找夹角,用SAS】【例2】(23-24八年级·陕西榆林·期末)如图,在四边形ADBC中,AC∥BD,AC=BD,E,F分别是对角线AB上两点,且AE=BF,连接试说明:(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE.【变式2-1】(23-24八年级·四川雅安·期末)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,D为△ABC边AC上一点,BC=CD,点M在BC的延长线上,CE平分∠ACM,且AC=CE.连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
(1)∠BAC与∠DEC相等吗?为什么?(2)求∠DHF的度数.【变式2-2】(23-24八年级·吉林·期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,点D在BC边上,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE.
【变式2-3】(23-24八年级·陕西汉中·期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,CF=AB.
【问题解决】(1)试说明:△ABG≌△CFB;【问题探究】(2)BF与BG垂直吗?请说明理由.【题型3一直角边一斜边用HL】【例3】(23-24八年级·河南平顶山·期末)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',AB=A'B'【变式3-1】(23-24八年级·四川甘孜·期末)如图,已知∠C=∠F=90°,∠A=51°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)求∠BOF.【变式3-2】(23-24八年级·重庆北碚·期末)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点F、G分别为AC、AB上的一点,接GF并延长交BD延长线于点E,若EF=AB,DF=DB,∠C+∠2=180°证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤(⑥)∴∠∴CB⊥AB【变式3-3】(23-24八年级·重庆·期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,过点A作AM⊥AC,点P,Q分别在线段AC和射线AM上移动.若PQ=AB,则当AP=时,△ABC【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】【例4】(23-24八年级·河北唐山·期中)如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为(
)
A.8 B.6 C.4 D.2【变式4-1】(23-24八年级·广东惠州·期中)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,点E是BC的中点,DE⊥AB于点F,且AB=DE.(1)求证:△ACB≌△EBD;(2)若DB=12.①求AC的长;②求△DCE的面积.【变式4-2】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【变式4-3】(23-24八年级·山西太原·阶段练习)如图,教学楼与操场上的旗杆相距19m,小林同学从教学楼B点沿BD走到D点,一定时间后他到达P点,此时他测得CP和AP的夹角为90°,且CP=AP,已知∠ABD=∠CDB=90°,旗杆CD的高为7m,小林同学行走的速度为(1)请你求出教学楼AB的高度;(2)小林从P点到达D点还需要多长时间?【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】【例5】(23-24八年级·广东深圳·期末)如图,△ABC中,∠B=90°,以AC为边向右下方作△ACD,满足CA=AD,点M为BC上一点,连接AM,DM,若∠BAM=12∠CAD,BM=65,【变式5-1】(23-24八年级·江苏苏州·期末)如图,在△ABC中,D为AC中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.(1)求证:△CDE≌△ADF;(2)若EF∥BC,∠A=60°,∠E=50°,求【变式5-2】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知,AB=AC,BD=CE.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;(2)如图2,BE与CD相交于点O,若∠A=36°,∠B=30°,求∠DOB的度数.【变式5-3】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)如图,某游乐园有两个滑梯BC与EF,滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等,且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半.(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等?并说明理由.(2)若∠BCD=90°,试说明CD∥【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】【例6】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【变式6-1】(23-24·吉林松原·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,EF⊥AB于点F,AE=CB.求证:△AEF≌△CBD【变式6-2】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为(
)A.1 B.32 C.2 【变式6-3】(23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点C作CE∥AB,连接(1)基本尺规作图:作∠ABF=∠EAC,交线段AC于点F(保留作图疯迹);(2)求证:BF=AE.解:∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE(_______)【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】【例7】(23-24八年级·湖北鄂州·期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作
(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm【变式7-1】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BDE=∠BAC,AC=DE=DC.
(1)试说明△ABC≌(2)若∠ACD=72°,求∠BED的度数.【变式7-2】(23-24八年级·四川宜宾·期中)已知:如图,在△ABN和△ACM中,AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM.求证:(1)BD=CE;(2)△AEM≌△ADN.【变式7-3】(23-24·黑龙江哈尔滨·一模)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.(1)求证:△ABC≌△AFE;(2)如图2,连接AG,若∠ACB=30°,请直接写出图2中的三角形,使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍.【题型8已知两角找夹边,用ASA】【例8】(23-24八年级·陕西西安·期末)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,BE⊥CE,下列结论∶①CE平分∠BCD;②AB+CD=AD;③CE·BE=S四边形ABCDA.①③ B.③④ C.①③④ D.②③④【变式8-1】(23-24八年级·云南昭通·期末)如图,C,F为线段BE上两点,AB∥DE,∠1=∠2,EF=BC.求证:【变式8-2】(23-24八年级·辽宁阜新·期末)如图,AC⊥CF于点C,DF⊥CF于点F,AB与DE交于点O,且EC=BF,∠OEB=∠OBE.求证:AE=BD.【变式8-3】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点(1)如图1,连接AF,求证:∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2,当∠A=60°时,若BE=4,CD=3,求BC的长.【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】【例9】(23-24八年级·福建三明·期中)如图,在△ABC中,∠B=80°,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A(1)若B'为BC的中点,求证:△AO(2)若AC平分∠BAA',求【变式9-1】(23-24·陕西西安·三模)如图,点B,F,C,E在一条直线上,点A,D在这条直线的两侧,已知∠B=∠E,∠BAC=∠EDF,BF=CE.求证:AC∥FD.【变式9-2】(23-24八年级·浙江金华·阶段练习)如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,点A、D、B、E在同一直线上,∠C=∠F=90°,(1)求证:Rt△ABC≌(2)当∠CBA=65°时,求∠E的度数.【变式9-3】(23-24八年级·山东青岛·期末)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC>∠BAC.在∠ABC内部作∠ABE=∠BAC,BE交AC于点D.将一个含有45°角的三角板FGH如图放置,使直角边FH与BE重合,三角板FGH沿
(1)如图1,当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时,试证明AF=BC;(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置,FG与AB交于点M,过点M作MN⊥AC,垂足为点N,试判断线段MN,MF,BC之间的关系.专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知两边找另一边,用SSS】 1【题型2已知两边找夹角,用SAS】 4【题型3一直角边一斜边用HL】 8【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】 13【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】 17【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】 21【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】 25【题型8已知两角找夹边,用ASA】 31【题型9已知两角找任一角的对边,用AAS】 35知识点:判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找另一边,用SSS】【例1】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图所示,已知AB=DC,AE=DF,EC=BF,且B,F,E,C在同一条直线上.(1)求证:AB∥(2)若BC=11,EF=7,求BE的长度.【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的判定,线段的和与差.熟练掌握全等三角形的判定与性质,平行线的判定,线段的和与差是解题的关键.(1)证明△ABE≌△DCFSSS,则∠B=∠C,进而可证AB(2)由题意得,EC+BF=BC−EF=4,由EC=BF,可得EC=BF=2,根据BE=EF+BF,计算求解即可.【详解】(1)证明:∵EC=BF,∴EC+EF=BF+EF,即CF=BE,∵AB=DC,AE=DF,BE=CF,∴△ABE≌△DCFSSS∴∠B=∠C,∴AB∥(2)解:∵BC=11,EF=7,∴EC+BF=BC−EF=4,∵EC=BF,∴EC=BF=2,∴BE=EF+BF=7+2=9,∴BE的长度为9.【变式1-1】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)已知BE=CD,BD=CE,求证:∠B=∠C.【答案】证明见详解;【分析】本题考查三角形全等的判定与性质,连接DE,根据边边边判定证明△BDE≌△CED即可得到答案;【详解】证明:连接DE,在△BDE与△CED中,∵BE=CDBD=CE∴△BDE≌△CED(SSS,∴∠B=∠C.【变式1-2】(23-24·吉林白城·一模)如图,点E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:∠AEO=∠CFO.【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,根据BF=DE,得BE=DF,利用SSS证△ABE≌△CDF,再利用全等三角形性质即可证明结论,明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题.【详解】证明:∵BF=DE,∴BF−EF=DE−EF,即BE=DF,在△ABE和△DFC中,AB=CDBE=DF∴△ABE≌△CDFSSS∴∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO.【变式1-3】(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)如图,AB=AC,BO=CO,求证:∠ADC=∠AEB.【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质,连接OA,证明△AOB≌△AOCSSS得出∠B=∠C【详解】证明:如图,连接OA,在△AOB和△AOC中,AB=ACOB=OC∴△AOB≌△AOCSSS∴∠B=∠C,∵∠DOB=∠EOC,∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC,∴∠ADC=∠AEB.【题型2已知两边找夹角,用SAS】【例2】(23-24八年级·陕西榆林·期末)如图,在四边形ADBC中,AC∥BD,AC=BD,E,F分别是对角线AB上两点,且AE=BF,连接试说明:(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.(1)由SAS证明△ACF≌△BDE即可;(2)由SAS证明△BFC≌△AED即可.【详解】(1)解:因为AE=BF,即AE+EF=BF+EF,所以AF=BE,因为AC∥所以∠CAF=∠DBE,在△ACF和△BDEAC=BD所以△ACF≌△BDESAS所以∠AFC=∠BED,DE=CF,所以CF∥(2)解:因为∠AFC=∠BED,所以∠BFC=∠AED,在△BFC和△AED中,BF=AE,所以△BFC≌△AEDSAS所以∠BCF=∠ADE.【变式2-1】(23-24八年级·四川雅安·期末)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,D为△ABC边AC上一点,BC=CD,点M在BC的延长线上,CE平分∠ACM,且AC=CE.连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
(1)∠BAC与∠DEC相等吗?为什么?(2)求∠DHF的度数.【答案】(1)相等,理由见解析(2)60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用:(1)先求出∠DCE=12∠ACM=60°,再证△BAC≌△DECSAS,可得(2)先证△CDG≌△CBFSAS,推出∠CDG=∠CBF,结合∠DFH=∠BFC,可得∠DHF=∠FCB=60°【详解】(1)解:∠BAC与∠DEC相等,理由如下:∵∠ACB=60°,CE平分∠ACM,∴∠DCE=1在△BAC与△DEC中,BC=DC∠BCA=∠DCE=60°∴△BAC≌△DECSAS∴∠BAC=∠DEC;(2)解:在△CDG与△CBF中,CD=CB∠DCG=∠BCF=60°∴△CDG≌△CBFSAS∴∠CDG=∠CBF,又∵∠DFH=∠BFC,∴∠DHF=∠FCB=60°.【变式2-2】(23-24八年级·吉林·期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,点D在BC边上,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE.
【答案】证明见解析.【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质,由旋转性质可知AD=AE,∠DAE=80°,则∠BAD=∠CAE,证明△BAD≌△CAESAS【详解】证明:由旋转性质可知AD=AE,∠DAE=80°,∴∠BAC=∠DAE=80°,∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE.【变式2-3】(23-24八年级·陕西汉中·期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,CF=AB.
【问题解决】(1)试说明:△ABG≌△CFB;【问题探究】(2)BF与BG垂直吗?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)BF与BG垂直,理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.(1)根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°,根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°,即可推出∠BAG=∠BCF,最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB;(2)根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°,根据全等三角形的性质得出∠G=∠CBF,则∠CBF+∠DBG=90°,即可得出结论.【详解】(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,则∠BAG+∠ABD=90°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,则∠BCF+∠ABD=90°,∴∠BAG=∠BCF,在△ABG和△CFB中,AG=BC∠BAG=∠BCF∴△ABG≌△CFBSAS(2)解:BF与BG垂直,理由如下:∵AD⊥BC,∴∠BDG=90°,则∠G+∠DBG=90°,由(1)可得:△ABG≌△CFBSAS∴∠G=∠CBF,∴∠CBF+∠DBG=90°,即∠GBF=90°,∴BF⊥BG.【题型3一直角边一斜边用HL】【例3】(23-24八年级·河南平顶山·期末)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',AB=A'B'【答案】n°或180°−n°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,分类讨论是解题的关键.过A作AD⊥BC于点D,过A'作A'D'⊥【详解】解:过A作AD⊥BC于点D,过A'作A'D∵边BC和B'∴AD=A当B、C在点D的两侧,B'、C
∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠C当B、C在点D的同侧,B'、C
同理可得:∠A'C当B、C在点D的两侧,B'、C
∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠A'C当B、C在点D的同侧,B'、C
同理可得:∠C综上,∠C'的值为n°或故答案为:n°或180°−n°.【变式3-1】(23-24八年级·四川甘孜·期末)如图,已知∠C=∠F=90°,∠A=51°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)求∠BOF.【答案】(1)证明见解析(2)78°【分析】本题考查全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质,(1)根据HL证明两个三角形全等即可;(2)根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论;解题的关键是掌握三角形全等的判定.【详解】(1)证明:∵AE=DB,∴AE+EB=DB+EB,即AB=DE,∵∠C=∠F=90°,在Rt△ACB和RtAC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌(2)解:∵∠C=90°,∠A=51°,∴∠ABC=90°−∠A=90°−51°=39°,由(1)知:Rt△ABC≌∴∠ABC=∠DEF,∴∠DEF=39°,∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°,∴∠BOF的度数为78°.【变式3-2】(23-24八年级·重庆北碚·期末)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点F、G分别为AC、AB上的一点,接GF并延长交BD延长线于点E,若EF=AB,DF=DB,∠C+∠2=180°证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤(⑥)∴∠∴CB⊥AB【答案】EF=AB;HL;三角形的内角和定理,∠E;EG∥BC;同旁内角互补,两直线平行.【分析】本题考查了平行线的判定和性质,垂线的定义,灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键.根据全等三角形的判定及性质,平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可.【详解】解:证明:∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∴∠∴∠E+∠1=90°∴∠∵∠∴EG∥BC(同旁内角互补,两直线平行)∴∠∴CB⊥AB故答案为:EF=AB;HL;三角形的内角和定理,∠E;EG∥BC;同旁内角互补,两直线平行.【变式3-3】(23-24八年级·重庆·期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm,过点A作AM⊥AC,点P,Q分别在线段AC和射线AM上移动.若PQ=AB,则当AP=时,△ABC【答案】8cm或【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键,注意分类讨论,以免漏解.分情况讨论:①AP=BC=8cm时,Rt△ABC≌Rt△QPAHL;②当P运动到与C【详解】解:①当P运动到AP=BC时,如图所示:在Rt△ABC和RtBC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=BC=8cm②当P运动到与C点重合时,如图所示:在Rt△ABC和RtAC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=AC=16cm综上所述,AP的长度是8cm或16故答案为:8cm或16【题型4已知边为角的对边找任一角,用AAS】【例4】(23-24八年级·河北唐山·期中)如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为(
)
A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,根据三角形内角和定理,证明△ABC≌△CEDAAS【详解】解:∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=∠E=∠ACD,∴∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°,∵∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°,∴∠BAC=∠DCE,在△ABC和△CED中,∠BAC=∠DCE∠B=∠E∴△ABC≌∴BC=DE,AB=CE,∵AB=2,BE=6,∴DE=BC=BE−CE=BE−AB=6−2=4,故选:C.【变式4-1】(23-24八年级·广东惠州·期中)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,点E是BC的中点,DE⊥AB于点F,且AB=DE.(1)求证:△ACB≌△EBD;(2)若DB=12.①求AC的长;②求△DCE的面积.【答案】(1)见解析(2)①6;②36【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.(1)由题意知,∠ABC+∠ABD=90°,∠ABD+∠EDB=90°,则∠ABC=∠EDB,证明△ACB≌△EBDAAS(2)①由题意知,CE=BE=12BC,由△ACB≌△EBDAAS,可得【详解】(1)证明:∵∠DBC=90°,∴∠ABC+∠ABD=90°,∵DE⊥AB,∴∠DFB=90°,即∠ABD+∠EDB=90°,∴∠ABC=∠EDB,∵∠ACB=∠EBD,∠ABC=∠EDB,AB=DE,∴△ACB≌△EBDAAS(2)①解:∵点E是BC的中点,∴CE=BE=1由(1)可知,△ACB≌△EBDAAS∴AC=BE,BC=BD,∴AC=BE=1∴AC的长为6;②解:由题意知,S△DCE∴△DCE的面积为36.【变式4-2】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意证明∠ABE=∠FAD,根据AAS即可得到答案.【详解】证明:∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠DAB=90°,∵BE⊥AF,∴∠AEB=90°,∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD,在△BEA和△ADF中,∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【变式4-3】(23-24八年级·山西太原·阶段练习)如图,教学楼与操场上的旗杆相距19m,小林同学从教学楼B点沿BD走到D点,一定时间后他到达P点,此时他测得CP和AP的夹角为90°,且CP=AP,已知∠ABD=∠CDB=90°,旗杆CD的高为7m,小林同学行走的速度为(1)请你求出教学楼AB的高度;(2)小林从P点到达D点还需要多长时间?【答案】(1)12(2)24【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键;(1)先证明∠CPD=∠PAB,再结合CP=AP,即可得到结论;(2)利用路程除以速度即可得到答案.【详解】(1)解:∵CP和AP的夹角为90°,∴∠APB+∠CPD=90°.∵∠ABD=90°,∴∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPD=∠PAB.在△CDP和△PBA中,∠CPD=∠PAB∠CDP=∠PBA∴△CDP≌△PBA(AAS∴CD=PB,PD=AB.∵CD=7m∴PB=7m∵BD=19m∴PD=12m∴AB=12m答:教学楼AB的高度为12m(2)12÷0.5=24(s答:小林从P点到达D点还需要24s【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边,用SAS】【例5】(23-24八年级·广东深圳·期末)如图,△ABC中,∠B=90°,以AC为边向右下方作△ACD,满足CA=AD,点M为BC上一点,连接AM,DM,若∠BAM=12∠CAD,BM=65,【答案】5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线,构造全等三角形是解题的关键.延长CB到E,使BE=BM,连接AE,先证明△ABE≌△ABMSAS,得到∠BAE=∠BAM,AE=AM,再证明△EAC≌△MADSAS,得到EC=DM,即可由【详解】解:延长CB到E,使BE=BM,连接AE,如图,∵BE=BM,∠ABE=∠ABM=90°,AB=AB,∴△ABE≌△ABMSAS∴∠BAE=∠BAM,AE=AM,∴∠BAM=1∵∠BAM=1∴∠EAM=∠CAD,∴∠EAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM,∴∠EAC=∠MAD,在△EAC与△MAD中,AE=AM∠EAC=∠MAD∴△EAC≌△MADSAS∴EC=DM,∴DM=EB+BM+CM=2BM+CM=2×6故答案为:5.【变式5-1】(23-24八年级·江苏苏州·期末)如图,在△ABC中,D为AC中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.(1)求证:△CDE≌△ADF;(2)若EF∥BC,∠A=60°,∠E=50°,求【答案】(1)证明见解析;(2)∠BCD=70°.【分析】(1)由D为AC中点得AD=CD,然后用“SAS”证明即可;(2)由△CDE≌△ADF,得∠A=∠DCE=60°,三角形的内角和得∠CDE=70°,最后由平行线的性质即可求解;本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,三角形的内角和,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.【详解】(1)证明:∵D为AC中点,∴AD=CD,在△CDE和△ADF中,AD=CD∠ADF=∠CDE∴△CDE≌△ADFSAS(2)由(1)得:△CDE≌△ADF,∴∠A=∠DCE=60°,∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°,∠E=50°,∴∠CDE=70°,∵EF∥∴∠BCD=∠CDE=70°.【变式5-2】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知,AB=AC,BD=CE.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;(2)如图2,BE与CD相交于点O,若∠A=36°,∠B=30°,求∠DOB的度数.【答案】(1)证明见解析(2)84°【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识,熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键.(1)利用三角形全等判定与性质,证得△ABE≌△ACDSAS(2)利用全等三角形性质得到∠C=∠B=30°,再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案.【详解】(1)证明:∵AB=AC,BD=CE,∴AD=AE,在△ABE和△ACD中,AD=AE∴△ABE≌∴∠B=∠C;(2)解:由(1)知,∠C=∠B=30°,在△ACD中,∠BDC是其外角,则∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°,∴在△BOD中,∠DOB=180°−∠B−∠BDO=180°−30°−66°=84°.【变式5-3】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)如图,某游乐园有两个滑梯BC与EF,滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等,且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半.(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等?并说明理由.(2)若∠BCD=90°,试说明CD∥【答案】(1)相等,理由见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的应用;确定两角的大小关系,通常可证明这两角所在的三角形全等,根据对应角相等进行判定.(1)根据BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,得出AB=DE,证明△ABC≌△DEF,即可证明;(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF,结合∠B+∠BDC=90°,得出∠DEF+∠BDC=90°,证出∠BDC=∠F,即可证明;【详解】(1)解:BC=EF.理由:∵BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,BD=AD+AB∴BD=AD+DE,∴AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE∠BAC=∠EDF=90°∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF.(2)∵∠BCD=90°,∴∠B+∠BDC=90°.∵△ABC≌∴∠B=∠DEF,∴∠DEF+∠BDC=90°.∵∠DEF+∠F=90°,∴∠BDC=∠F,∴CD∥【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角,用ASA】【例6】(23-24·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意证明∠ABE=∠FAD,根据AAS即可得到答案.【详解】证明:∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠DAB=90°,∵BE⊥AF,∴∠AEB=90°,∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD,在△BEA和△ADF中,∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【变式6-1】(23-24·吉林松原·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,EF⊥AB于点F,AE=CB.求证:△AEF≌△CBD【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意,利用AAS证明即可.【详解】证明:在Rt△ABC中,∠B+∠A=90°∵DC⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°.∴∠A=∠BCD.∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠BDC=90°.在△AEF和△CBD中,∠A=∠BCD∠EFA=∠BDC∴△AEF≌△CBD(AAS【变式6-2】(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为(
)A.1 B.32 C.2 【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.利用ASA证明△ACD≌△BFD,得DF=DC,再根据三角形面积可得【详解】解:∵AD,BE是△ABC的高线,∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°,∵∠BFD=∠AFE,∴∠DBF=∠CAD,在△ACD和△BFD中,∠DBF=∠CADBD=AD∴△ACD≌∴DF=DC,∵△ACD的面积为12,∴12∴CD=4,∴DF=4,∴AF=AD−DF=2,故选:C.【变式6-3】(23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点C作CE∥AB,连接(1)基本尺规作图:作∠ABF=∠EAC,交线段AC于点F(保留作图疯迹);(2)求证:BF=AE.解:∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE(_______)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据运用作相等角的作图方法画图即可;(2)根据平行线的性质可推出①及②,再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④.【详解】(1)解:如图:∠BAF即为所求;(2)解:∵CE∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中∠ABF=∠EAC∴△BAF≌△ACE∴BF=AE(全等三角形的对应边相等).【题型7已知边为角的邻边找边的对角,用AAS】【例7】(23-24八年级·湖北鄂州·期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作
(1)求证:AE=CD;(2)若AC=12cm【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)证两条线段相等,通常用全等,本题中的AE和CD分别在△AEC和△CDB中,在这两个三角形中,已经有一组边相等,一组角相等了,因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答.(2)由(1)得BD=EC=12BC=12【详解】(1)∵DB⊥BC,∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.∴∠D=∠AEC.在△DBC和△ECA中,∵∠D∴△DBC≌∴AE=CD.(2)∵△CDB≌∴BD=CE,∵AE是BC边上的中线,∴BD=EC=12BC=∴BD=6cm【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.【变式7-1】(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放,连接DC.已知∠DBA=∠CBE,∠BDE=∠BAC,AC=DE=DC.
(1)试说明△ABC≌(2)若∠ACD=72°,求∠BED的度数.【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可;(2)全等三角形的性质,得到∠BED=∠BCA,证明△DBC≌△ABCSSS【详解】(1)解:因为∠DBA=∠CBE,所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE,即∠DBE=∠ABC.在△ABC和△DBE中,∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDE所以△ABC≌(2)因为△ABC≌所以BD=BA,∠BCA=∠BED.在△DBC和△ABC中,DC=ACCB=CB所以△DBC≌所以∠BCD=∠BCA=1所以∠BED=∠BCA=36°.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明三角形全等.【变式7-2】(23-24八年级·四川宜宾·期中)已知:如图,在△ABN和△ACM中,AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM.求证:(1)BD=CE;(2)△AEM≌△ADN.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质,熟练掌握判定定理是解题的关键.(1)根据∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2,证明△ACE≌△ABDSAS(2)根据△ACE≌△ABDSAS得到∠ADB=∠AEC,结合∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE,得到180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE即∠M=∠N【详解】(1)∵∠BAN=∠CAM,∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN,∴∠1=∠2,∵AB=AC∠1=∠2∴△ACE≌△ABDSAS∴BD=CE.(2)∵△ACE≌△ABD∴∠ADB=∠AEC,∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE,∴180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE,∴∠M=∠N,∵∠M=∠N∠MAE=∠NAD∴△AEM≌△ADNAAS【变式7-3】(23-24·黑龙江哈尔滨·一模)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.(1)求证:△ABC≌△AFE;(2)如图2,连接AG,若∠ACB=30°,请直接写出图2中的三角形,使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍.【答案】(1)见详解(2)△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,以及共高三角形面积比等于底之比,熟练掌握基本知识是解题的关键;(1)用AAS即可证明△ABC≌△AFE;(2)先证明BA=BE,则S△AEG=2S△BEG,再证明△AEG≌△ACG,则S△ACG=2S△BEG,由△ACG与△CDG同底等高,得S△GCD得S△ACG=S【详解】(1)证明:∵DE⊥AC∴∠AFE=90°∵∠ABC=90°∴∠AFE=∠ABC∴在△ABC和△AFE中,∠ABC=∠AFE∠BAC=∠FAE∴△ABC≌△AFE;(2)∵△ABC≌△AFE∴AB=AF,∵AG=AG,∴Rt△ABG≌∴∠1=∠2∵∠ACB=30°,∴∠1=∠2=∵△ABC≌△AFE,AE=AC∴∠ACB=30°=∠E,∴∠1=∠E,∴GA=GE,∵∠ABC=90°,∴BA=BE,∴S∵AG=AG∠1=∠2,AE=AC,∴△AEG≌△ACG,∴S∵AD∥BC∴△ACG与△CDG同底等高,∴S△ACG∴S∵∠1=∠2=30°,∴∠DAC=30°,∴∠2=∠DAC=30°,∴∠ADG=∠AGD=60°,∴AD=AG,∵AC=AC,∴△ADC≌△AGC,∴S△ACD∵AD∥BC∴△ACD与△DAG同底等高,∴S△ACD∴S△AGD∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面积为△BEG面积的2倍.【题型8已知两角找夹边,用ASA】【例8】(23-24八年级·陕西西安·期末)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,BE⊥CE,下列结论∶①CE平分∠BCD;②AB+CD=AD;③CE·BE=S四边形ABCDA.①③ B.③④ C.①③④ D.②③④【答案】C【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质,平行线的性质,理解题意,结合图形求解是解题关键.根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出∠DCE+∠ABE=90【详解】解:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=∵BE⊥CE∴∠BEC=∴∠BCE+∠CBE=∴∠DCE+∠ABE=180∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE∴∠BCE=∠DCE,∴CE平分∠BCD在BC上截取BF=BA,连接EF,在△FBE和△ABE中,BF=BA∴△FBE≅△ABE∴FE=AE,∠FEB=∠AEB∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=∴∠DEC+∠AEB=180∘∴∠FEC=∠DEC,在△FEC和△DEC中,∠FEC=∠DEC∴△FEC≅△DEC∴CF=CD,FE=DE∴AB+CD=FB+FC=BC≠AD,AE=DE,故②不正确,④正确;∵∴∴2S∴CE·BE=S故③正确;故选:C.【变式8-1】(23-24八年级·云南昭通·期末)如图,C,F为线段BE上两点,AB∥DE,∠1=∠2,EF=BC.求证:【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,先由AB∥DE证明∠B=∠E,再证EC=BF,即可证明△AFB≌△DCEASA【详解】证明:∵AB∥∴∠B=∠E,∵EF=BC,∴EF+FC=BC+FC,即EC=BF,在△AFB和△DCE中,∠1=∠2BF=EC∴△AFB≌△DCEASA∴AF=DC.【变式8-2】(23-24八年级·辽宁阜新·期末)如图,AC⊥CF于点C,DF⊥CF于点F,AB与DE交于点O,且EC=BF,∠OEB=∠OBE.求证:AE=BD.【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,先利用ASA证明△ACB≌△DFEASA得到AC=DF,进而利用SAS证明△ACE≌△DFB,即可证明AE=DB【详解】证明:∵AC⊥CF,DF⊥CF,∴∠ACB=∠DFE=90°.∵EC=BF,∴EC+EB=BF+EB,即CB=FE,又∵∠OEB=∠OBE,即∠ABC=∠DEF∴△ACB≌△DFEASA∴AC=DF,在△ACE与△DFB中,AC=DF∠ACE=∠DFB∴△ACE≌△DFBSAS∴AE=DB.【变式8-3】(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点(1)如图1,连接AF,求证:∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2,当∠A=60°时,若BE=4,CD=3,求BC的长.【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了角平分线的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质:(1)在△BCF中,根据三角形内角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC,再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°−2∠BFC,从而得到2∠BAF=2∠BFC−180°,即可解答;(2)连接AF,在BC上截取BG=BE=4,连接FG,由(1)得:∠BFC−∠BAF=90°,从而得到∠BFC=120°,∠DFC=∠BFE=60°,再证明△BEF≌△BGF,可得∠BFE=∠BFG=60°,从而得到∠CFG=∠CFD,可证明△FCG≌△FCD,从而得到CG=CD=3,即可求解.【详解】(1)证明:在△BCF中,∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC,∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF,∠BAC=2∠BAF,∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2∠CBF+∠BCF∴∠BAC=180°−∠A
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 寿司餐馆服务行业营销策略方案
- 碳素材料细分市场深度研究报告
- 弹花齿条产业链招商引资的调研报告
- 危机管理培训行业相关项目经营管理报告
- 发行有价证券行业营销策略方案
- PET塑料瓶的回收利用行业营销策略方案
- 刻度机产品供应链分析
- 塑料加工机器产品供应链分析
- 声音和影像的数字化行业营销策略方案
- 装钓鱼假饵用盒商业机会挖掘与战略布局策略研究报告
- 《输卵管绝育术》课件
- 胶接绝缘作业指导书
- 城管行政执法培训讲义
- 可持续城市发展中的绿色基础设施策略
- 智慧城市数字孪生解决方案
- 基于STM32的智慧农业大棚系统设计
- 建信融通数字证书使用承诺函范本
- R语言编程艺术教学大纲
- 离港系统技术培训
- 跨境电商交际英语(修订版) 课件 UNIT-2-Asking-about-Products
- 天翼云认证开发工程师必备考试复习题库(高分版)-下(多选、判断题)
评论
0/150
提交评论