人教版八年级数学上册举一反三15.3分式方程【十大题型】(举一反三)(学生版+解析)

专题15.3分式方程【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1分式方程的定义】 ④作答【题型2分式方程的一般方法】【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：①x②1【答案】①x=−2，②x=2是原方程的增根，原方程无解【分析】①观察可得最简公分母是x(x−3)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．②观察可得最简公分母是(x−2)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．【详解】解：①方程两边同乘x(x−3)，得x2解得x=−2检验x=−2时，x(x−3)≠0∴x=−2是原方程的解．②整理得1方程两边同乘(x−2)，得1+1−x=−4(x−2)，−x+4x=8−2，解得x=2检验：x=2时x−2=0，∴x=2是原方程的增根，原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：(1)2x−3(2)xx−1【答案】(1)x=9(2)原方程无解【分析】（1）先去分母，解方程，再进行检验即可解答；（2）先去分母，解方程，再进行检验即可解答．【详解】（1）解：原方程得：2x=3x−9，解得x=9，经检验x=9是原方程的解；（2）解：由原方程得：xx+2整理得x2解得x=1，经检验，当x=1时，x−1x+2∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，记得检验计算的结果对分式是否有意义是解题的关键．【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：题目：解分式方程：3解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A得：3去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C解得：x=−2⋯⋯D所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：；(2)错误的原因是；(3)订正错误．【答案】(1)E(2)没有验根(3)订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，原分式方程无解【分析】根据分式方程的解法步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可．【详解】（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的，故答案为：E；（2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根，故答案为：没有验根；（3）解：订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是注意解出x的值后需要检验，防止出现增根．【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※(1)计算：1m−1(2)若1m−1※−【答案】(1)m−3(2)7【分析】本题考查分式的化简和分式方程的解法，掌握相关的运算法则是解题的关键．（1）利用所给算式运算即可，（2）利用（1）的结果，将原方程化为分式方程，再求解即可．【详解】（1）解：1====m−3（2）由（1）可知：1m−1∴m−3方程两边同乘以6m−1，得3去括号，得3m−9+6m−6=m−1，移项、合并同类项，得8m=14，系数化为1，得m=7经检验，m=7∴m的值为74【题型3换元法解分式方程】【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y经检验：x=−1所以原分式方程的解为x=−1上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：x+12x−1【答案】答案见解析．【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=x+12x−1，原方程化为y−1y=0【详解】解：设y=x+12x−1，则原方程化为方程两边同时乘y，得y2解得y=±1．经检验：y=±1都是y−1当y=1时，x+12x−1解得x=当y=x+12x−1解得x=0．经检验：x=2和x=0所以原分式方程的解为x=2和x=0【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2【答案】y2-y-2=0【分析】先将原分式方程变形为x2−13x+5=2【详解】解：∵x2∴x2若设y=x2−1∴y=2y∴y2-y-2=0，故答案为：y2-y-2=0．【点睛】本题考查用换元法解分式方程，设y=x2−13x+5，则1y【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3【答案】x＝－12【分析】利用换元法解分式方程，设y＝x−1x+2【详解】原方程可化为x−1x+2－x+2x方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－1y当y＝1时，x−1x+2＝1，该方程无解；当y＝－1时，x经检验，x＝－12所以原分式方程的解为x＝－12【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2【答案】x=−【分析】先把方程变形为x−1x+2【详解】解：∵x−1x+2∴原方程为x−1x+2设y=x−1x+2，原方程可化为方程两边同时乘以y，得y2解得，y=±3，经检验，y=±3都是原方程的解，当y=3时，有x−1x+2=3，解得：当y=−3时，有x−1x+2=−3，解得：经检验：x=−7∴原分式方程的解为x=−72或【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．【题型4裂项法解分式方程】【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：11×2=1−12；请利用你所得的结论，解答下列问题：(1)计算：11×2(2)解方程1x+10(3)若11×4+1【答案】(1)n(2)x=−(3)n=5【分析】本题考查规律探索问题及解分式方程．（1）观察各式可得1n（2）根据1n（3）类比所发现的规律可知13n+1结合已知条件总结出规律：1n【详解】（1）解：观察各式可得：1n原式=1−1（2）解：方程整理得：1x+10即1x+1去分母得：2x+2=1，解得：x=−1经检验x=−1（3）类比所发现的规律可知：13n+1∵1∴1∴13×1−∴解得：n=5，∴经检验，n=5是分式方程的解，故原方程的解为：n=5．【变式4-1】解方程：3【答案】x=7【分析】化简方程，进而求出即可．【详解】方程整理得：1x−4−1去分母得：x−1=2x−8，解得：x=7，经检验x=7是分式方程的解.【点睛】本题考查了解分式方程，弄清拆项的方法是解本题的关键．【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：1【答案】x=21【分析】分式方程利用拆项法变形后，求出解即可．【详解】解：分式方程整理得：1x−10−1即1x−10−∴∴x+1=2x−20∴x=21，经检验：当x=21时，分母不为0，∴该方程的解为x=21【点睛】本题考查了解分式方程，弄清拆项的方法是解本题的关键．【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x【答案】x=【分析】首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．【详解】解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4检验：x=4∴原方程的解为x=4【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在于充分利用运算规律计算．【题型5由分式方程有解或无解求字母的值】【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（A．3 B．6或10 C．10 D．6【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解的条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【详解】解：分式方程去分母得：m整理得：mx+m−5=2mx+m−6x−3移项得：mx−2mx+6x=m−3−m+5合并同类项得：6−m当6−m=0，即m=6时，方程无解；由分式方程无解，可得分式方程的分母2x+1=0，解得x=−把x=−12代入整式方程6−m综上，m的值为6或10．故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−【答案】k≠−3且k≠5【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到3x−1+6x−x+k【详解】解：3x去分母得：3x−1去括号得：3x−3+6x−x−k=0，移项、合并同类项得：8x=k+3，解得：x=k+3∵该方程有解，∴x≠0且x≠1，∴k+3≠0且k+3≠8，∴k≠−3且k≠5，故答案为：k≠−3且k≠5．【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．【答案】(1)x=(2)0【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；（2）把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．【详解】（1）解：根据题意得：2x−1去分母得：2−x=4x−4，解得：x=6检验：把x=65代入得：∴分式方程的解为x=6（2）解：当“■”是−1时，2x−1+x当“■”是0时，2x−1+x1−x=0∴“■”表示的数是0．【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212【答案】0或−1【分析】根据题中运算法则列出分式方程，然后化为整式方程，根据分式方程解的情况分类求解即可．【详解】解：根据题意，−1※x=mxx−1−1化为整式方程为：mx=−1，当m=0时，整式方程mx=−1无解，即原分式方程无解；当m≠0时，整式方程mx=−1的解为x=−1∵当x=1时，分式方程无解，∴−1m=1综上，当m=0或m=−1时，原分式方程无解，故答案为：0或−1．【点睛】本题考查解分式方程，理解题意新定义，熟练掌握分式方程无解的等价条件是解答的关键．【题型6由分式方程有增根求字母的值】【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【答案】(1)a+b=0(2)−1或8或9【分析】（1）由分式方程有增根，得到x−1=0，求出x的值即为增根；（2）将x=a代入ax+bx−1=b求得b=a+2+4a−2，根据题意可得a−2=±1或−2或【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到x−1=0，解得：x=1，将分式方程化为整式方程：ax+b=bx−1整理得：a−bx+2b=0将x=1代入a−bx+2b=0得：a+b=0即若方程有增根，则a+b=0．（2）解：∵x=a是方程的解，将x=a代入ax+bx−1=b得：整理得：a2∴b=a∴b=a2∵a，b均为整数且a≠0，∴a−2=±1或−2或±4，当a−2=−1时，即a=1，b=a当a−2=1时，即a=3，b=a当a−2=2时，即a=4，b=a当a−2=−4时，即a=−2，b=a当a−2=4时，即a=6，b=a综上，b的值为−1或8或9．【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为【答案】−1【分析】增根是将分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程后的方程中算出未知字母的值．【详解】解：方程两边都乘(x−1)，得ax+1−(x−1)=0，(a−1)x=−2，∵原方程有增根，∴最简公分母x−1=0，即增根为x=1，把x=1代入整式方程，得a=−1；∴a=−1时，关于x的方程ax+1x−1故答案为：−1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xA．1 B．0 C．−1 D．−2【答案】D【分析】首先根据解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根据增根的定义将增根代入方程的解求出a的值．【详解】解：∵分式方程1x−2∴x−2a+x∴x=2或−a，当x=2时，a=−2，当x=−a时不合题意，故选：D．【点睛】此题考查了分式增根，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出a的值．【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2【答案】1【分析】首先根据解分式方程的方法求出方程的解，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行检验即可得解【详解】解：x+kx−1x+kx−1公分母为：x+1x−1两边同时乘以x+1x−1x+kx+1解得：x=−k+3分式方程有增根，∴x+1∴x=1或x=−1，当x=1时，−k+3k+1解得：k=1，此时方程有增根，当x=−1时，−k+3k+1得：3=−1，无解，综上所述，k=1，故答案为：1．【点睛】本题考查对分式方程增根的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．【题型7由分式方程有整数解求字母的值】【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【答案】B【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2x−a=5x−2x=10−a∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，∴10−a4≥0a+2∵x=10−a当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，∴满足条件的整数a的值之和是16．故选：B【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x【答案】2或−1【分析】先去分母解整式方程得x=43−a，根据分式方程有正整数解，得到3−a的值为1或2或4，且【详解】解：去分母得，1−ax+3x−2整理得，3−ax=4解得x=4∵分式方程有正整数解，∴3−a的值为1或2或4，且43−a解得a=2或−1，故答案为：2或−1．【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数【答案】3或4.【分析】先解分式方程，当m≠2时，可得x=1+2m−2,再根据x为正整数，且x≠1,x≠0,【详解】解：∵2x−1∴2x=m(x−1),∴(2−m)x=−m,当m≠2时，x=−m∵x为正整数，且x≠1,x≠0,m为整数，∴m−2是2的因数，∴m−2=±1,m−2=±2,∴m=3,m=1,m=4,m=0,当m=3时，x=3,当m=1时，x=1+(−2)=−1，舍去，当m=4时，x=2,当m=0时，x=0，舍去，所以m的值为：m=3或m=4，故答案为：3或4.【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)无解，关于A．6 B．9 C．10 D．13【答案】B【分析】先根据一元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得y＝2−4a−2，且y≠0，y≠2，求得a＝3或【详解】解：x−66由①得，x≤5，由②得，x＞2a﹣1，∵不等式组无解，∴2a﹣1≥5，∴a≥3，ay方程的两边同时乘y（y﹣2），得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，∵方程有整数解，∴y=2a−8∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，∵a≥3，∴a＝3或a＝4或a＝6，∵y≠0，y≠2，∴a≠4，∴所有a的和为9，故选：B．【点睛】本题主要考查含参数的分式方程以及一元一次不等式组，把分式方程和一元一次不等式组进行化简，是解题的关键．【题型8由分式方程解的取值范围求字母的范围】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程m−2x+1A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.【详解】m−2x+1解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程m−2x+1∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是【答案】m≤0，且m≠-3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可．【详解】解：m+3去分母得：m+3=2x-1，解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠1根据题意得：m+42≤2，且x≠解得：m≤0，且m≠-3，故答案为：m≤0，且m≠-3．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程1x−1(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．【答案】(1)k=−2(2)k<2且k≠0【分析】（1）将x=2代入方程，即可求出k的值；（2）先解分式方程，得x=−k+22，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出【详解】（1）解：将x=2代入1x−1得12−1即1+2=−k−1解得k=−2；（2）解：将1x−1得1+2x−1解得x=−k+2因为分式方程有正数解，则x>0，即−k+22所以k<2，又因为分母不为0，即x≠1，那么−k+22所以k≠0，故k<2且k≠0．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则【答案】m≤5且m≠2【分析】先解分式方程可得x=5−m，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．【详解】解：2x−3去分母得：2=x−3+m，整理得：x=5−m，∵关于x的分式方程xx−3∴5−m≥05−m≠3解得：m≤5且m≠2．故答案为：m≤5且m≠2．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．【题型9分式方程的规律问题】【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14…(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+(2)解方程：y+2y+5y+2=(3)方程2x−3x+1+x+1【答案】(1)x1=a(2)y1=2，(3)x1=−【分析】（1）从数字找规律，即可解答；（2）先将原方程进行变形可得：(y+2)+1y+2=4+（3）利用换元法将原方程化为：m+1m=6+【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a故答案为：x1=a，（2）解：y+2y+5y+y+2(y+2)(y+2)+1∴y+2=4或y+2=1∴y1=2经检验：y1=2，（3）解：令2x−3x+1=m，则原方程可化为：∴m+1∴m1=6∴2x−3x+1=6或解得：x1=−9经检验：x1=−9故答案为：x1=−9【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：方程1x+1方程1x方程1x−1…(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．【答案】（1）1x−a−1【分析】（1）观察发现规律，根据所给式子可得答案；（2）根据规律，可得方程．【详解】解：(1)方程可以是1x−a(2)1x+7【点睛】本题考查了解分式方程，细心观察并总结出一般规律是解题关键.【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：①x+2x=3可转化为x+②x+6x=5可转化为x+③x+12x=7可转化为x+⋯⋯根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1【答案】x1=m+1【分析】根据已知数列找出规律进而得出x+m【详解】解：∵①x+2x=3可转化为x+②x+6x=5可转化为x+③x+12x=7可转化为x+⋯⋯∴规律为：x+mnx=m+n∴关于x的方程x+m2+4m−12∴x+5+m(x+5∴x1+5=m−2，∴x1=m+1，故答案为：x1=m+1，【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4．第6个式子的解是x=5．．（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n−1．试题解析：①x=0，②x=1，③x=2，④x=3．（1）第⑤个方程：5x+1=10第⑥个方程：6x+1=12（2）第n个方程：nx+1=2n方程两边都乘x+1，得n=2n−x+1解得x=n−1．【题型10分式方程的新定义问题】【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=(1)判断数对①[3，−5]，②[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含【答案】(1)①(2)n=(3)k=【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；（2）根据题意，x=13是关于x的分式方程nx（3）根据题意，x=1m是关于x的分式方程m−kx+1=k的解，将【详解】（1）解：①当a=3，b=−5时，解方程3x+1=−5得经检验，x=−12是该分式方程的解，又∴3,−5是关于x的分式方程ax②当a=−2，b=4时，解方程−2x+1=4经检验，x=−23是该分式方程的解，又故−2,4不是关于x的分式方程ax故答案为：①；（2）解：∵数对n,3−n是关于x的分式方程ax∴x=1n+3−n=1将x=13代入分式方程nx解得n=1（3）解：∵数对m−k,k（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax∴x=1m−k+k=1m将x=1m代入分式方程m−kx则m+1k=∵m≠−1，∴k=m【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．【答案】（1）2；（2）m=0.【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，（2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值．【详解】解：（1）因为a+1>a，所以F(a+1,a)=2（2）m>2时，F(m,2)−F(2,m)=2解得m=4m<2时，F(m,2)−F(2,m)=2×2解得m=0．综上，m=0．【点睛】本题主要考查新定义与分式