北师大版2019选择性必修第一册专题1.5直线与圆、圆与圆的位置(7类必考点)(原卷版+解析)

专题1.5\t"/books/rjb/shuxue/gzaxzxbx1/_blank"直线与圆、圆与圆的位置TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 1【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】 2【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】 2【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 3【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】 4【考点6：圆的公共弦、公切线】 5【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】 6【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．②两种研究方法1．（2021秋•昭阳区校级月考）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断2．（2021秋•上虞区期末）对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关3．（2022秋•大理市校级月考）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣22，0）∪（0，22） B．（﹣22，22） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）4．（2022春•信州区期末）已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（）A．(−∞，34] B．(−∞，34)5．（2021秋•萍乡期末）若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣5，75） B．[75，+∞） C．（﹣5，+∞） D．（75，+∞）6．（2022春•沙坪坝区校级期末）若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于2的点恰有3个，则实数a的值为．【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】1．（2022•西城区校级开学）过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（）A．2 B．22 C．32 D．42．（2021秋•六盘水月考）直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣3）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（）A．6 B．62 C．12 D．3．（2022春•秦州区校级期中）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为．【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】1．圆弦长问题的两个主要考查角度(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．2．求解弦长问题的两个方法几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|1．（2022春•晋江市期末）直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（）A．25 B．4 C．23 2．（2021•武昌区模拟）若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（）A．（0，43） B．（−14，43） C．（0，34） 3．（2022春•越秀区校级月考）已知直线x+y﹣5＝0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+m＝0相交于A，B两点，且|AB|＝4，则数m＝（）A．﹣9 B．﹣19 C．﹣4 D．﹣74．（2022•温江区模拟）直线mx﹣y﹣4m+1＝0与圆x2+y2＝25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（）条A．10 B．9 C．8 D．75．（2022春•奉贤区校级期末）已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0和圆C：x2+y2﹣6x+12y+20＝0，m＝−16时，l被6．（2022春•兴庆区校级期中）已知直线l：kx﹣y+2k＝0，则圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是；直线l与曲线y=3−4x−x2有两个公共点，则实数k【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出1．（2022•安徽开学）过点A（﹣1，﹣3）作圆x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0的切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2 B．5 C．3 D．212．（2022春•玉溪期末）已知直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切，则l的方程为（）A．x+3y﹣10＝0 B．x﹣3y+8＝0 C．3x+y﹣6＝0 D．2x+3y﹣11＝03．（2022•浙江模拟）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0）与x轴和y＝x+1均相切，则a＝2，b＝．4．（2021秋•尧都区校级期末）过点（﹣2，2）作圆x2+（y+2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．5．（2022•扬州开学）过点A（﹣1，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为．6．（2021秋•长寿区校级月考）圆O：x2+y2＝1，点P是直线3x+4y+15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|的最小值为．7．（2022春•贵阳月考）已知圆M：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：3x﹣4y+m＝0．若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为．【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】【知识点：圆与圆的位置关系的判断及求参】设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．（2022秋•桂林月考）圆C1：x2+y2﹣14x＝0与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离2．（2022春•澄城县期末）已知圆O1：x2+y2=4，圆A．4条 B．2条 C．1条 D．0条3．（2022•邯郸二模）已知圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022•临澧县校级开学）已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（）A．14 B．34 C．14或45 D．34或145．（2022•安徽开学）若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，则r＝．【考点6：圆的公共弦、公切线】【知识点：圆的公共弦、公切线】①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．1．（2022春•河南月考）已知圆O1：x2+A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3）2．（2022•河南模拟）已知圆C1：x2+y2A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）3．（2022•威海三模）圆x2+y2+4x＝0与圆x2+y2+4y＝0的公共弦长为．4．（2022•河西区校级模拟）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝5．（2021秋•松山区校级期末）圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为．6．（2022春•贵州期末）若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝．7．（2022春•番禺区期末）写出与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16都相切的一条切线方程．【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】【知识点：圆与圆位置关系中的最值问题】1．（2022•昌吉州模拟）已知圆C1：(x−1)2+(y−1)2=1，圆C2：(x−4)2+(y−5)2=9，点M，N分别是圆A．4 B．61−4 C．61+4 2．（2021秋•盐城期末）过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为（）A．23 B．21 C．42 （多选）3．（2021秋•龙门县校级月考）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（）A．|PQ|的最小值为3 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为−4D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝04．（2022•辽阳二模）若点P，Q分别圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣7）2+y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为．5．（2021•镇江三模）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切，则ab的最大值为．6．（2021秋•启东市校级期末）已知圆x2+y2＝4的圆心为O，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上一动点，若在圆O上存在点Q使得∠QPO＝30°，则正数r的最大值为．专题1.5\t"/books/rjb/shuxue/gzaxzxbx1/_blank"直线与圆、圆与圆的位置TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 1【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】 3【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】 5【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 8【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】 11【考点6：圆的公共弦、公切线】 13【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】 16【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．②两种研究方法1．（2021秋•昭阳区校级月考）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d，可判断直线与圆相切．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d=532所以直线与圆相切，故选：B．2．（2021秋•上虞区期末）对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关【分析】将直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，求得直线过的定点，然后判断点与圆的位置关系即可．【解答】解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心为（1，1），半径为5，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0可化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，由3x−y=02x−2=0，解得x=1所以直线过定点（1，3），因为（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4＜5，所以点（1，3）在圆内，所以直线与圆相交．故选：A．3．（2022秋•大理市校级月考）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣22，0）∪（0，22） B．（﹣22，22） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）【分析】求出圆的圆心与半径，利用两点间距离公式列出不等式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，可得：1＜(a−0)2+(1−0)2＜3，解得故选：A．4．（2022春•信州区期末）已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（）A．(−∞，34] B．(−∞，34)【分析】由题意利用点到直线的距离小于半径，求出k的范围即可．【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，因为直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，所以|k−2|1+解得k∈（34故选：D．5．（2021秋•萍乡期末）若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣5，75） B．[75，+∞） C．（﹣5，+∞） D．（75，+∞）【分析】由题意首先将圆的方程转化为标准方程，然后确定直线所过的定点，最后利用点与圆的位置关系即可求得实数a的取值范围．【解答】解：圆的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝a+5，据此可得a+5＞0，∴a＞﹣5，直线方程即m（2x+y）﹣（x+3）＝0，故直线恒过定点（﹣3，6），满足题意时，定点应该在圆内或者圆上，故（﹣3﹣1）2+（6+2）2≤a+5，即a≥75，综上可得，实数a的取值范围是[75，+∞）．故选：B．6．（2022春•沙坪坝区校级期末）若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于2的点恰有3个，则实数a的值为5+10或5−10【分析】首先将圆的方程整理为标准方程，然后结合圆的性质得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值．【解答】解：圆的方程即（x+1）2+（y+2）2＝8，则圆的圆心为（﹣1，﹣2），半径为r=22则满足题意时，圆心到直线x+2y+a＝0的距离为2，即|−1−4+a|1+4=2故答案为：5+10或5−【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】1．（2022•西城区校级开学）过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（）A．2 B．22 C．32 D．4【分析】根据题意，设M（1，1），圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案．【解答】解：根据题意，设M（1，1），圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心C为（2，0），半径r＝2，圆心到直线l的距离为d，则|AB|=2×r当d最大时，弦长|AB|最小，∵M在圆C内部，故d的最大值为|MC|=1+1则|AB|的最小值为2×4−2故选：B．2．（2021秋•六盘水月考）直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣3）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（）A．6 B．62 C．12 D．【分析】根据题意，求出AB的长，再分析P到AB距离的最小值，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，则A（﹣3，0），B（0，﹣3），则|AB|＝32，圆（x﹣3）2+y2＝2的圆心到直线x+y+3＝0的距离d=|3+3|2=圆（x﹣3）2+y2＝2的半径为2，则P到AB距离的最小值为32−2=故△ABP面积的最小值S=12×32故选：A．3．（2022春•秦州区校级期中）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为22−2【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，则圆心坐标为（1，1），半径为2，∵圆心（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离d=|1−1+4|∴C上各点到l的距离的最小值为22故答案为：22【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】1．圆弦长问题的两个主要考查角度(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．2．求解弦长问题的两个方法几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|1．（2022春•晋江市期末）直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（）A．25 B．4 C．23 【分析】将圆C的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，得解．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0化为标准形式为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，所以圆心C（1，2），半径为3，所以点C到直线l：3x+4y﹣1＝0的距离为|3+8−1|3因此所求弦长为23故选：A．2．（2021•武昌区模拟）若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（）A．（0，43） B．（−14，43） C．（0，34） 【分析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案．【解答】解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图：当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k=−1由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得|2k+1|k2+1=2∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（−14，故选：D．3．（2022春•越秀区校级月考）已知直线x+y﹣5＝0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+m＝0相交于A，B两点，且|AB|＝4，则数m＝（）A．﹣9 B．﹣19 C．﹣4 D．﹣7【分析】由直线与圆相交弦长计算半径，然后求解．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+m＝0，可化为（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣m，圆心（2，﹣1）到直线x+y﹣5＝0的距离为：d=4|AB|=4=2r2−d2，故r2故选：D．4．（2022•温江区模拟）直线mx﹣y﹣4m+1＝0与圆x2+y2＝25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（）条A．10 B．9 C．8 D．7【分析】由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离d，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数．【解答】解：直线mx﹣y﹣4m+1＝0过定点（4，1），圆半径为5，圆心到直线的距离d=|4m−1|最短弦长为2r2−最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为6，7，8，9的直线各有2条，所以共有9条，故选：B．5．（2022春•奉贤区校级期末）已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0和圆C：x2+y2﹣6x+12y+20＝0，m＝−16时，l被【分析】由题意，根据直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0恒过P（4，﹣3），且当PC⊥l时弦AB的长度最短，结合直线垂直时斜率的关系求解即可．【解答】解：圆的C方程可化为：（x﹣3）2+（y+6）2＝25，直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0，即2m（x﹣4）﹣（y+3）＝0恒过P（4，﹣3），如图所示，当圆心C（3，﹣6）到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，此时PC⊥l，又kPC=−3+64−3=3，所以直线l的斜率为−13，则2m故答案为：−16．（2022春•兴庆区校级期中）已知直线l：kx﹣y+2k＝0，则圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是4；直线l与曲线y=3−4x−x2有两个公共点，则实数k的取值范围是（6−21【分析】由直线系方程可得直线l所过定点，求出定点到圆心的距离，再由垂径定理求弦长的最小值；把曲线方程变形，画出图形，数形结合求解实数k的取值范围．【解答】解：直线l：kx﹣y+2k＝0过定点P（﹣2，0），圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0化为（x+1）2+（y+2）2＝9，圆心坐标为（﹣1，﹣2），点P（﹣2，0）在圆内部，P到圆心的距离为(−2+1)∴圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是29−5曲线y=3−4x−x2化为（x﹣2）2+（y﹣3）2如图：A（4，3），P（﹣2，0），kAP由|2k−3+2k|k2+1=2，解得k=∴实数k的取值范围是（6−216，故答案为：4；（6−216，【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出1．（2022•安徽开学）过点A（﹣1，﹣3）作圆x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0的切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2 B．5 C．3 D．21【分析】连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求切线长．【解答】解：连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，由x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0⇒（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，故圆的圆心为C（2，1），半径r＝2，故|AB|=|AC故选：D．2．（2022春•玉溪期末）已知直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切，则l的方程为（）A．x+3y﹣10＝0 B．x﹣3y+8＝0 C．3x+y﹣6＝0 D．2x+3y﹣11＝0【分析】直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切可知kl【解答】解：∵直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切，∴kl∴直线l的方程为y−3=−1即x+3y﹣10＝0．故选：A．3．（2022•浙江模拟）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0）与x轴和y＝x+1均相切，则a＝2，b＝1．【分析】根据点到直线的距离公式得到方程组，求解即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0），圆心为（a，b），半径r＝1，由题意得d=|a−b+1|12+故答案为：2；1．4．（2021秋•尧都区校级期末）过点（﹣2，2）作圆x2+（y+2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为2x﹣4y﹣7＝0．【分析】求出已知圆的圆心坐标，设C（0，﹣2），P（﹣2，2），可得以PC为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，即可得到直线AB的方程．【解答】解：圆x2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（0，﹣2），半径为1，点（﹣2，2）在圆x2+（y+2）2＝1的外部，设C（0，﹣2），P（﹣2，2），则以PC为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝5，与圆x2+（y+2）2＝1联立，消去二次项，可得直线AB的方程为2x﹣4y﹣7＝0．故答案为：2x﹣4y﹣7＝0．5．（2022•扬州开学）过点A（﹣1，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为3．【分析】根据圆的切线的性质和勾股定理即可求得线段AB的长．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心C（1，2），半径r＝1，则|AC|=(−1−1则|AB|=|AC故答案为：3．6．（2021秋•长寿区校级月考）圆O：x2+y2＝1，点P是直线3x+4y+15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|的最小值为423【分析】由题意画出图形，可得|AB|最短时，|OP|最短，利用点到直线的距离公式求出|OP|的最小值，从而可得|AB|的最小值．【解答】解：圆O：x2+y2＝1，圆心O（0，0），半径r＝1，由于PA，PB分别切圆O于点A，B，则|PA|＝|PB|，OA⊥PA，OB⊥PB，所以S四边形APBO＝2S△AOP＝|OA||PA|，因为|OA|＝|OB|＝r＝1，所以S四边形APBO＝|PA|，又PO⊥AB，所以S四边形APBO=12|AB||所以|PA|=12|AB||即|AB|=2|PA||OP|=所以|AB|最短时，|OP|最短，所以点O到直线3x+4y+15＝0的距离即为|OP|的最小值，所以|OP|min=15所以|AB|的最小值为21−1故答案为：427．（2022春•贵阳月考）已知圆M：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：3x﹣4y+m＝0．若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为[﹣26，14]．【分析】由圆M的方程求得圆心坐标与半径，可得PM＝4，结合点到直线的距离公式可得M到直线l的距离d≤4，求解可得m的取值范围．【解答】解：圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心为M（2，0），半径r＝2，过点P作圆M的两条切线，切点为A，B，连接PM，若∠APB＝60°，则∠APM＝30°，又由MA⊥PA，则|PM|＝2|MA|＝2r＝4，若直线l：3x﹣4y+m＝0上存在点P，满足∠APB＝60°，则有M到直线l的距离d=|3×2+m|解得：﹣26≤m≤14，即m的取值范围为[﹣26，14]，故答案为：[﹣26，14]．【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】【知识点：圆与圆的位置关系的判断及求参】设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．（2022秋•桂林月考）圆C1：x2+y2﹣14x＝0与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【分析】根据已知条件，结合两圆半径与圆心距之间的关系，即可求解．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣14x＝0的圆心O（7，0），半径r1＝7，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的圆心A（3，4），半径r2=15∵两圆心之间的距离|AO|=(7−3)2+(0−4)∴两圆相交．故选：A．2．（2022春•澄城县期末）已知圆O1：x2+y2=4，圆A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【分析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论．【解答】解：圆O1：x2+y2＝4圆心为O1（0，0），半径为R＝2，圆O2：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，圆心为O2（1，1），半径为r=6则6+2＞|O1O2|=故圆O1和圆O2的位置关系是相交，所以同时与圆O1和圆O2相切的直线有2条，故选：B．3．（2022•邯郸二模）已知圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两圆相内切的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：当圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，相内切时，则3＝5﹣a或3＝a﹣5，解得a＝2或8，当a＝2时，两圆相内切．故则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”的充分不必要条件；故选：A．4．（2022•临澧县校级开学）已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（）A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0，即（x﹣3）2+（y+2）2＝1，圆心（3，﹣2），半径为1，圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，即（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50﹣a，圆心（7，1），半径为50−a，∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，圆心距：(7−3)内切时，5=50−a−1，解得a＝14，外切时，5=50−a故选：D．5．（2022•安徽开学）若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，则r＝2．【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：∵圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，∴(1−4)2+(0−0故答案为：2．【考点6：圆的公共弦、公切线】【知识点：圆的公共弦、公切线】①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．1．（2022春•河南月考）已知圆O1：x2+A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3）【分析】先由公切线的条数判断两圆的位置关系，再列出方程，求解即可．【解答】解：由圆O2：(x−3m)可得O2（3m，4m），半径为|m|，则|O∵有且仅有4条公切线，∴圆O1、圆O2相外离，有5|m|＞4+|m|，解得m＜﹣1或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：A．2．（2022•河南模拟）已知圆C1：x2+y2A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）【分析】先求出两圆公共弦所在直线，再通过直线说明所过的定点．【解答】解：∵圆C1：xk（x+y）﹣2（y+1）＝0，令x+y=0y+1=0，得x=1故选：A．3．（2022•威海三模）圆x2+y2+4x＝0与圆x2+y2+4y＝0的公共弦长为22【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解．【解答】解：设圆C1：x2+y2把两圆方程相减，化简得x﹣y＝0，即lAB：x﹣y＝0，圆心C1（﹣2，0）到直线AB的距离d=|−2|又r1＝2而(|AB|所以|AB|=2r故答案为：224．（2022•河西区校级模拟）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝±10【分析】先求出两圆的公共弦直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．【解答】解：圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程，2ax+4ay﹣5＝0，圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到公共弦距离d=5则公共弦长度为22=24−d故答案为：±105．（2021秋•松山区校级期末）圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为3．【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解．【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2y＝0，∴x2+（y﹣1）2＝1，∴圆O1的圆心为O1（0，1），半径r1＝1，∵圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0，∴圆O2的圆心为O2（0，4），半径r2＝2，∵|O1O2|＝|4﹣1|＝3＝r1+r2，∴圆O1与圆O2相外切，即公切线的条数为3条．故答案为：3．6．（2022春•贵州期末）若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝3．【分析】根据条件可知两圆外切，由圆心距等于两圆半径之和列出方程，计算即可．【解答】解：由圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线可知，两圆外切，∴a2+42=5，∴a故答案为：3．7．（2022春•番禺区期末）写出与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16都相切的一条切线方程y＝1，或24x+7y+25＝0，或4x﹣3y﹣5＝0．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16的圆心坐标为C（4，﹣3），半径r2＝4，如图：∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵kOC=−34，∴l1的斜率为43，设直线l1：y=43x+b，即4x由|3b|5=1，解得b=53（负值舍去），则l1：4由图可知，l2：y＝1；l2与l3关于直线y=−34联立y=1y=−34x，解得l2与l3的一个交点为（−该点关于y=−34x的对称点为（x0，y0），则y0+12∴kl3=−725−1−2425+43=−∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：y＝1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填4x﹣3y﹣5＝0；24x+7y+25＝0都正确）．【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】【知识点：圆与圆位置关系中的最值问题】1．（2022•昌吉州模拟）已知圆C1：(x−1)