2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考数学试卷（含解析）

-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考数学试卷一、单选题1．（5分）直线的倾斜角为A． B． C． D．2．（5分）已知在等差数列中，，，则A．4 B．6 C．8 D．103．（5分）双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．4．（5分）在递增等比数列中，，，则公比为A．4 B．3 C．2 D．5．（5分）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为A．4 B． C．8 D．6．（5分）如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．7．（5分）已知是抛物线上的一动点，点的坐标为，垂直于轴，垂足为，则的最小值为A． B．2 C． D．8．（5分）已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为A．2 B．1 C． D．二、多选题9．（5分）已知直线和圆，则A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．存在使得直线与直线平行 D．直线被圆截得的最短弦长为10．（5分）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点．下列结论中，正确的有A．椭圆的长轴长为 B．满足△为直角三角形的点恰有6个 C．的最大值为8 D．直线与直线的斜率乘积为定值11．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有A．为中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的周长为 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点使得的值为 D．三棱锥外接球体积最大值为12．（5分）设数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．三、填空题13．（5分）已知直线与直线，若，则与之间距离是．14．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为．15．（5分）已知数列的前项和为，若，，则的通项公式为．16．（5分）已知，分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆半径为，△的内切圆半径为．若，则．四、解答题17．（10分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为．18．（12分）在平面直角坐标系中，存在四点，，，．（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．21．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求．22．（12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、．（1）求椭圆的标准方程；（2）若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标．

参考答案一、单选题1．（5分）直线的倾斜角为A． B． C． D．解：由题设，令其倾斜角为，，，则，所以．故选：．2．（5分）已知在等差数列中，，，则A．4 B．6 C．8 D．10解：在等差数列中，则，解得．故选：．3．（5分）双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．解：双曲线的离心率为，即，所以，则，故的渐近线方程为．故选：．4．（5分）在递增等比数列中，，，则公比为A．4 B．3 C．2 D．解：根据题意，等比数列中，设其公比为，若，则，即，又由，则有，解可得：或，又由数列为递增等比数列，则；故选：．5．（5分）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为A．4 B． C．8 D．解：直线恒过的定点为椭圆的左焦点，由椭圆的定义知的周长为．故选：．6．（5分）如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．解：因为是的中点，是的中点，所以，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）．易知．因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．又，，，平面，所以平面，而平面，所以．因为，，所以为等边三角形，所以，所以．故选：．7．（5分）已知是抛物线上的一动点，点的坐标为，垂直于轴，垂足为，则的最小值为A． B．2 C． D．解：由题意得的焦点为，准线为．所以等于到的距离减2．所以．当是与抛物线的交点时．最小，最小值为．所以的最小值为．故选：．8．（5分）已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为A．2 B．1 C． D．解：由已知直线的方程为，即，点，则，因为，所以为线段的中点，则，设双曲线的左焦点为，则，在中，由余弦定理可得：，又，所以，故的斜率为1，故选：．二、多选题9．（5分）已知直线和圆，则A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．存在使得直线与直线平行 D．直线被圆截得的最短弦长为解：对于，由，可得，所以直线恒过定点，故错误；对于，因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故正确；对于，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，此时直线的方程为，直线与直线重合，故错误；对于；设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，故正确．故选：．10．（5分）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点．下列结论中，正确的有A．椭圆的长轴长为 B．满足△为直角三角形的点恰有6个 C．的最大值为8 D．直线与直线的斜率乘积为定值解：对于，对于椭圆，，，它的长轴长为，错误；对于，△为直角三角形，若为直角顶点，则过点作轴的垂线，则与椭圆有两个交点，这两个交点满足题意；若为直角顶点，则过点作轴的垂线，则与椭圆有两个交点，这两个交点也满足题意；若为直角顶点，则，此时点为椭圆短轴的2个端点，故满足△为直角三角形的点恰有6个，正确；对于，由于，故，当且仅当时取等号，即的最大值为8，正确；对于，由题意知，设，，则，，故，正确．故选：．11．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有A．为中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的周长为 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点使得的值为 D．三棱锥外接球体积最大值为解：选项，为中点时，连接，，，由于，分别是，，所以，由于，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，所以选项错误．选项，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，故可设，，0，，，，所以直线与平面不平行，所以不存在点，使得平面平面，选项正确．选项，将正方形、正方形展开成平面图形如下图所示，连接，交于，此时取得最小值为，所以不存在点使得的值为，选项错误．选项，对于三棱锥，其中，，两两相互垂直，其中，为定值，，而三棱锥外接球的直径，是将其补形为长方体时，长方体的体对角线，也即，所以外接球半径的最大值为，其体积的最大值为，选项正确．故选：．12．（5分）设数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．解：由题设，，则，当，则，则，是首项、公比均为的等比数列，则，故，则，故不递减，，在上递增，，综上，、、对，错．故选：．三、填空题13．（5分）已知直线与直线，若，则与之间距离是．解：两条直线与平行，则，解得．所以直线转换为，所以两直线间的距离．故答案为：．14．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为8．解：由已知数列为等差数列，则，又，所以，则，所以数列为递减数列，则当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故答案为：8．15．（5分）已知数列的前项和为，若，，则的通项公式为．解：由题意，，，时，①，②，①②得：，整理得：，时，，不满足上式，故，故答案为：．16．（5分）已知，分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆半径为，△的内切圆半径为．若，则．解：如图，记△的内切圆圆心为，内切圆在边、、上的切点分别为、、，易知、两点横坐标相等，，，，由，即，得，即，记点的横坐标为，则，，则，得．记△的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，设直线的倾斜角为，则，在中，，同理，在中，，所以，即，所以．故答案为：．四、解答题17．（10分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为．解：（1）设公差为，，故，解得，故；（2），故．18．（12分）在平面直角坐标系中，存在四点，，，．（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．解：（1）设圆方程为，，，，把，，三点坐标代入可得：解得，，，所以圆方程是，把点坐标代入可得：，故在圆内；（2）由（1），可知圆，则圆心，半径，由题意可知圆心到直线的距离是3，当直线斜率存在时，设直线方程为：，所以，解得，故直线的方程为；当直线斜率不存在时，则直线方程为：，此时圆心到直线的距离是3，符合题意．综上所述，直线的方程为或．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接，因为是的中位线，所以，因为平面，又因为平面，所以平面．（Ⅱ）选①：平面平面．因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，，又底面是正方形，所以，所以，，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系则，0，，，2，，，0，．所以，2，，，0，，设平面的法向量为，，，则，令，则，，所以，，，又因为平面，所以，0，为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的余弦值为．选②：．因为，，又底面是正方形，所以，，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系则，0，，，2，，，0，，所以，2，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，于是，，，又因为平面，所以，0，为平面的一个法向量．设平面与平面夹角为，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值为．20．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．解：（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为．（2）因为直线与抛物线相交于不同的、两点，所以直线不与轴平行，可设，联立，消得，设，，，，所以，．由，解得，则直线的方程为，所以直线过定点．21．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求．解：（1）由，得，则当时，，所以，当时，上式成立，所以；（2）由（1）知①，②，①②得，，．22．（12分）已