热点06平面向量、复数-2022年高考数学【热点·重点·难点】（新高考专用）（原卷版）

热点06平面向量、复数

从新高考的考查情况来看，平面向量主要命题方向：向量的线性运算、向量的数量积运算，利用向量

数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题、平面向量基本定理及应用，有时也会与三角函数、平面解

析几何进行交汇命题共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大.考查考生的直观想象、

数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用.复数及其运算也是新高考的一个必考点，内容比较

简单，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算。

i.平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线

等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.

2、数量积和模的计算问题，求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解.

在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.求平面向量

的模时，常把模的平方转化为向量的平方.

3、向量与平面几何综合问题的解法

1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代

数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

2）基底法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来求解.

4、复数一般考查共聊复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较

简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带

入式运算。

热点1.平面向量的最值(范围)问题

①代数法：即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有

解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

②几何法(数形结合法):即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根

据平面图形的特征直接进行判断；.

热点2.平面向量与其它知识的交汇问题

1.向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算

脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.

(2)工具作用：利用0_L6=a0=O；a//b<^a=Xb(b^O),可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐

标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.

2.向量与三角的综合应用

解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解.

“艮时检测

A卷(建议用时60分钟)

一、单选题

1.(2021•江苏镇江•高三期中)我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证

明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示,

—3—

在“赵爽弦图”中，若金亚缶=z,，则正=()

3—4一3—4一「4-3t4-3-

A.与+4B.—a+—bC.—。+—bD.-a+-b

772525252577

2.(2021•河北衡水中学模拟预测)已知向量1,5的夹角为。，|日+5|=28，\a-b\=2,则无5=()

A.2B-2&C.2GD.4G

3.(2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中)已知向量厉=(1,3),向量丽=(3,f),kq=2,则

COS(砺，福)等于()

.VioRVio「3Mn3x/io

10101010

4.(2021•陕西蒲城•高三期中)已知直角梯形ABC。中，AD//BC,ZADC=90°,AD=DC=2,BC=\,P

是oc的中点，则|AX+而|=()

A.V3B.45C.3D.9

5.(2021•山东•泰安一中模拟预测)已知£出是互相垂直的单位向量，若2=£-2人则/2=()

A.-2B.-1C.0D.2

6.(2021•福建龙岩•高三期中)已知向量1=(0,4),很=(2,6),c=(x,2),若(3+2用〃2,则*=()

A.—B.—C.-D.1

234

7.(2021•重庆•模拟预测)已知单位向量£晟的夹角为603=[+£B=XI+21.若则实数1的值为

()

A.2B.-2C.4D.-4

ab

8.(2021•江苏盐城•高三期中)下列向量一定与向量网一付垂直的是()

9.(2021•四川成都•高三期中)已知向量：=(1,石)，B=(3,G),则方在£方向上的投影是()

A.^3B.~\/3C.3D.-3

10.(2021•辽宁•高三期中)已知四边形ABC。的三个顶点为A(0,2),8(-1,-2),C(3,1),S.BC=2AD,

则顶点。的坐标为()

A.(2,1)B.(2,g)C.(3,2)D.(1,3)

11.（2021•河南•高三期中）如图所示，矩形45co的对角线相交于点0,点E在线段。8上且0E=§08,

2

D.

3

2-bi

12.（2021•河北衡水中学模拟预测）如果复数其中i为虚数单位,八为实数）为纯虚数,那么b=（)

A.1B.2C.4D.-4

13.（2021•福建省连城县第一中学高三阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,-2）,则力的共

规复数为()

A.l-2iB.l+2iC.2+iD.2-i

14.（2021•福建师大附中高三期中）已知zi=3+4i,其中i为虚数单位,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

15.（2021•江苏海安•高三期中）己知2i-3是关于x的方程/+6》+4=0（4€汽）的一个根，则该方程的另一

个根为（）

A.2i+3B.-2i-3C.2i-3D.-2i+3

16.（2021•山东青岛•高三期中）若复数z满足|z-2-3i|=5,则复数z的共枕复数不可能为（）

A.2+8iB.-2-6iC.5+iD.5-7i

二、多选题

17.（2021•河北衡水中学模拟预测）已知a=（1,2）,5=（-4/）,则（）

A.若£〃加，则f=8B.若。_L5，贝卜=2

C.17-刈的最小值为5D.若向量力与向量B的夹角为钝角，贝打＜2

18.（2021•全国全国•模拟预测）如图，已知点。为正十边形ABCOEFG"〃的中心，且OA=1,则下列结论

正确的有（)

A

B

G\/D

FE

uuuuuuuiomiuuimunuuuuuuuuu/^\/\1

A.AB//EHB.OAHE+OBHE=0C.OB+OF=IOD.\OAOB^\OBOD^=-

19.（2021•重庆一中高三期中）已知点G是三角形ABC的重心，以下结论正确的是（）

A.AB+AC=3AGB.若（或+品）•A月=0,则三角形ABC是等腰三角形

C.三角形43c的面积等于白而则A=fD.若|福=3,|蔗|=4,A=亭，则|布|=名竺

2433

20.（2021•重庆九龙坡•高三期中）下列说法错误的是（）

A.若夫卜卜|,则£=石或〃=—6B.ma=mb>me.R则”=石

C.若“//3，dlb<则〃//cD.若ma=6,tn&R,则机=。或a=0

21.（2021•重庆•模拟预测）己知复数4=-2+i（i为虚数单位）在复平面内的对应的点为A,复数z,满足

%-l+i|=2,zz在复平面内对应的点B为（x,y）,则下列结论正确的有（）

A.复数句的虚部为iB.（x-l）2+（y+l）2=4

C.|Z|-Z2|的最大值至+2D.B+Z2I的最小值为g-2

22.（2021•江苏•南京师大苏州实验学校高三期中）已知实数。满足，瞥=2+i（,•为虚数单位），复数

1-1

z=（a+l）+（a-l）i，则（）

A.z为纯虚数B.z?为虚数C.z+z=0D.z-z=4

23.（2021•浙江浙江•高三期末）下列命题为真命题的是（）

A.若4*2互为共辗复数，则ZK为实数B.若i为虚数单位，〃为正整数，则产+3甘

C.复数上7的共朝复数为-2-iD.复数为-2-i的虚部为一1

1-2

三、填空题

24.（2021•四川•成都七中高三期中）已知向量〃=（/,加），B=（3X-2,X+2）.

(1)若当尤=2时，alb,则实数机的值为；

(2)若存在正数X,使得：〃力，则实数机的取值范围是.

25.(2021•上海普陀•一模)设i为虚数单位，若复数z=(l+2i"2-i),则z的实部与虚部的和为.

26.(2021•江苏镇江•高三期中)已知非零向量&石不共线，若丽=。+5，前=2万-35，CD=2a-kb<

且A,C,。三点共线，则&=.

四、解答题

27.(2021•湖北•高三期中)如图，在菱形ABC。中，若4B=3,ZBAD=6O°,BE=^BC,CF=2FD.

(1)若荏=2而+〃而，EF=xAB+yAD,求/I,〃，x,y的值；(2)求荏.瓯的值.

D___F__________C

28.(2021•山东德州•高三期中)已知向量M与B是夹角为2的单位向量，且向量£=31+41石=霍+2£

(1)求向；(2)若求实数4的值.

29.(2021•全国•高三专题练习)AA3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知sj〃A+6cosA=0，

=2币,b=2.(1)求角A和边长c；(2)设。为BC边上一点，且A£>为角A的平分线，试求三角形

的面积；（3）在（2）的条件下，点E为线段3。的中点，若荏=2而+〃/，分别求2和〃的值.

30.（2022•上海•高三专题练习）己知关于x的方程幺-3曲:-3a=0（aeR）的虚数根为为、x2.

（1）求冈+村的取值范围；（2）若归-q=1，求实数”的值.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

IutmIiULI

1.（2021•重庆九龙坡•高三期中）已知福'1福，|0叫=|O因=1,而=葩+砥，]。尸卜则|04|的取

值范围（）

A.停，扬B.（等,伪C.g,扬D.（冬而

2.（2021•内蒙古•海拉尔第二中学高三期中）如图，在平行四边形48co中，AE=\AD,BF=[BC,CE

34

与。尸交于点O.设通=£,AD=b»若AO=4O+〃B,则4+〃=()

3.（2022•全国•高三专题练习）已知工坂是不共线向量，设次=22+5,诙=£+2人浣=3〉力，朋=13%,

若△OAB的面积为3,则△。。。的面积为（）

A.8B.6C.5D.4

4.（2021•湖北•高三期末）已知复数4和z?满足|z「8—⑷卜数区—4—64,忸―引=3,则国的取值范围

为（）

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

5.（2021•山东省济南市莱芜第一中学高三期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，

深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4（前轮），圆。（后轮）的半径均为正，

△ABE,ABEC,AECD均是边长为4的等边三角形，设点尸为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程

A.24B.24+4痴C.30+20D.48

6.（2021•福建省福州第一中学高三期中）设£、5、"为非零不共线向量，若卜一代+（17）巾忸Y|（feR）,

则（)

A.(a+B)_L(〃-c)B.(a+B)_L(/?+c)C.(a-b^L^ci-c^D.(a-c)-L(5+c)

7.（2021•上海虹口一模）已知复数z=a+»i（其中i为虚数单位）满足ZS=4,给出下列结论:

①/+从的取值范围是［1,4］：②他-可+■2+J（a+可+匕2=4：③'叵的取值范围是

（-°°»—］,［）；④，•+，•的最小值为；

l^l,+°o2其中正确结论的个数是（)

A.1B.2C.3D.4

8.（2021•上海市徐汇中学高三期中）已知方程V+x+机=0（meR）有两个虚根氏夕，若卜一刈=3,则，”的

值是（）

A.-2或一B.-2C.-D.——

222

9.（2021•黑龙江•大庆实验中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关

系，并写出以下公式e'、=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥

/厂\2019

根据此公式，有下列四个结论：①e加+1=0;②（+乌=-1；③2cosx=e"+e』；④2sinx=e"-e*.

（22）

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.②④C.①②D.①③

二、多选题

10.（2021•湖北•高三期中）下列说法正确的是（）

A.若；=。,2）,k（l,-l）,且［与£+4的夹角为锐角，则2的取值范围是（9,5）

B.若M是“8C的外心，HPA+PB+PC=2PM，则P是“3。的内心

C.若。为AABC所在平面内一点，且5面+4丽+3反=0,则AOAB,MAC,AOBC的面积之比3：4：5

D.若。是AABC的外心，AB=3,AC=5,厉.贷的值为-8

11.（2021•福建省福州第一中学高三期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：

的外心。，重心G,垂心，，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一

半，该直线被称为欧拉线.若钻=4,AC=2,则下列各式正确的是（）

A.2GO+GH=6B.AGBC=4C.AOBC=-6D.OH=OA+OB+OC

12.（2021•山东师范大学附中高三期中）在中，OA=WC，OB=2OD,AD,BC的交点为过

M的动直线/分别交线段AC,BD于E,尸两点，^OE=AOA，OF=juOB（A,〃>0）,则下列结论正

确的是（)

___1-,3—>r-12

A.OM——OA+—OBB.32+〃=72〃C.7^4-7//^4+2>/3D.

13.（2021•广东•模拟预测）下列命题中正确的有（）

A.若复数z满足则zeR;B.若复数z满足z2eR，则zeR；

Z

C.若复数z”2满足Z'CR,则4=云；D.若复数zeR,贝”eR.

14.（2021•湖北•襄阳四中模拟预测）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①XUC；②Va,

对某种规定的运算。㊉4都有hex.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）

A.X={xGc|x=i",W〃eZ},其中，是虚数单位，规定运算:a㊉（V“，bWX）

B.X={xeC|x-x=1},规定运算:a㊉/?=3,（Va,beX）

b

C.X={XGC||X|<1},规定运算:a96=a。，（Va,b^X）

D.X=1%ec||j|+|y|<|x-y|,y=l+j|,规定运算:“㊉尻a+b,（Va,Z?GX）

三、填空题

15.（2021•全国•高三专题练习）著名数学家棣莫佛（Oe〃加we,1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论

和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：上（cose+isin。）］"=/'（cos〃e+isin〃e）,

,、6「I4

其中？■>(),"eN*.根据这个公式，则|cos工+isir>E1=_____；若r(cos—+isin—)=-16,则，=_____.

I1212J44

16.（2021•天津二中高三期中）已知边长为4代的正AABC,内切圆的圆心为O,过8点的直线/与圆相交

于M,N两点,（1）若圆心。到直线/的距离为1,则|丽卜；（2）若的=2丽+“就任"e（（），”）），

则义+〃的取值范围为

17.（2021•天津实验中学高三阶段练习）在AABC中，BC=3,AC=4,ZACB=90°,。在边AB上（不

与端点重合）.延长C。到P,使得CP=9.当。为A8中点时,P。的长度为；若定=mPA+仁-沙8

3

（机为常数WHO且加二^）,则8。的长度是一.

18.（2021•四川宜宾•模拟预测）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A的坐标为（1,0）,点P为动点，且

满足\P局O\

=2,记/（/）=卜。》+幻4（七/?）若/（「）的最小值为人必，则人而的最大值为

19.（2021•浙江•慈溪中学高三期中）已知平面向量,石忑满足：同明=2,无5=0,c+^a=\,当万Y与bv

所成角0最大时，则sin，=

20.（2022•天津北辰。如图，在平面四边形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=AD=\.若点

E为边CQ上的动点，则丽.丽的最小值为.

A

四、解答题

21.（2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中）在AABC中，已知Afi=2,AC=JFT，cosZBAC=,

22

。为BC的中点，E为48边上的一个动点，AO与CE交于点。.设无百=0瓦

1co

（1）若》=求=的值；（2）求而•丽的最小值.

4OE

22.（2022•上海•高三专题练习）已知O是线段43外一点，若砺=万，砺。）设点4、&是线段A8

的三等分点，AOAA,、△。其人及△。48的重心依次为GI、G、G3,试用向量1、5表示南1+。42+何;

（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.

23.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知正方形A8CO的边长为亚，点尸为正方形内一点.