湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题含答案解析

2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：荆州市教育科学研究院2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（）A. B. C.1 D.23.已知正方形的边长为2，若，则（）A.2 B. C.4 D.4.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A. B. C. D.26.已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（）A.2或3 B.2 C.3 D.47.若，则（）A. B. C. D.8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知为随机事件，，则下列结论正确的有（）A.若为互斥事件，则B.若为互斥事件，则C.若相互独立，则D.若若，则10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A.动点轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（）A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数满足恒成立，且区间上无最小值，则__________．13.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________．14.已知函数有零点，当取最小值时，的值为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．16.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：010.050.012.7063.8416.63517.已知各项均不为0的数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若对于任意成立，求实数的取值范围．18.如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．19.微积分创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；（2）已知函数，其中．①证明：对任意两个不相等正数，曲线在和处的切线均不重合；②当时，若不等式恒成立，求实数取值范围．2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：荆州市教育科学研究院2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求两个集合，再求集合的混合运算.【详解】，得，即，，得，即，，所以.故选：B2.已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算易求出，再根据复数的几何意义即可得.【详解】由可得；所以可得，即；即.故选：C3.已知正方形的边长为2，若，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.【详解】以点坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：由可得为的中点，所以，易知，可得，所以.故选：B4.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论.【详解】由可得椭圆，此时离心率为，此时充分性成立；若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，即必要性不成立；综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.故选：A5.过点直线与圆交于两点，则的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解.【详解】将圆化为，圆心，半径，因为，所以点在圆C内，记圆心C到直线l的距离为d，则，由图可知，当，即时，取得最小值，因，所以的最小值为.故选：A6.已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（）A.2或3 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的意义列式，用公差表示出，再确定数列的所有非负数项即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由是等比数列，得，解得，则，显然等差数列单调递减，当时，，当时，，所以当取最大值时，.故选：B7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差正弦公式，即可化解求值.【详解】由条件等式可知，，整理为，则，又，，所以，，所以.故选：D8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，借助圆的对称性可得已知3个圆的圆心构成正三角形，由此建立函数关系，再利用导数求出最大值即得.【详解】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图，设圆与交于交于交圆于，显然为正的中心，设，则，，又，因此圆的最大半径为，令，求导得，由，得，当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，，所以被完全覆盖的最大的圆的半径为，此时，即圆､圆､圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心．故选：C【点睛】关键点睛：涉及几何图形最值问题，借助几何图形建立函数关系，再求出函数最值是关键.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知为随机事件，，则下列结论正确的有（）A.若为互斥事件，则B.若为互斥事件，则C.若相互独立，则D.若若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确；对于B，由可得，又为互斥事件，则，又，即B错误；对于C，若相互独立，则,所以，即C正确；对于D，若，所以；可得，所以，即D正确.故选：ACD10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A.动点轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.【详解】对A，如图，令中点,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时,所以体积最小值为，故选项B正确；对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,，而，,故选项C不正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,,,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,由,,可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ABD.11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（）A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则【答案】BCD【解析】【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；对于B，令，，即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，，即，两边求导得，即，因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，因此，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则__________．【答案】##【解析】【分析】首先由条件确定是函数的最大值，再结合函数的周期的范围，联立后即可求解.【详解】由题意可知，是函数的最大值，则，，得，且在区间上无最小值，所以，所以，所以.故答案为：13.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解.【详解】设，则，可得，又因为分别为双曲线的左右顶点，可得，所以；又由，所以，当且仅当时，等号成立，所以，解得，所以，所以，所以的面积为.故答案为：；.14.已知函数有零点，当取最小值时，的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最大值，再结合几何意义，即可求解.【详解】设的零点为，则，即，设为直线上任意一点，坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，下求的最小值，令，则在为减函数，在为增函数，即，此时，所以的斜率为，此时的最小值为，此时，（此时）．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点看成直线上的任一点，从而根据几何意义解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解.【小问1详解】因为为正三角形，是中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面内且相交，故平面【小问2详解】分别为的中点，，又平面过且不过，平面．又平面交平面于，故，进而，因为是中点，所以是的中点．以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面法向量为，则，即，取，得，则，因为，所以.16.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2），（3）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【小问1详解】根据统计表格数据可得列联表如下：性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率即可得，故，．【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值为；且服从超几何分布：故所求分布列为0123可得17.已知各项均不为0的数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若对于任意成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【小问1详解】解：因为数列的前项和为，且，即，当时，可得，两式相减得，因为，故，所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，解得，所以，，所以数列的通项公式为.【小问2详解】解：由（1）知，可得，因为对于任意成立，所以恒成立，设，则，当，即时，当，即时，所以，故，所以，即实数的取值范围为.18.如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.【小问1详解】易知抛物线焦点，准线方程为；设直线的方程为联立得，可得，所以；不妨设在第一象限，在第四象限，对于；可得的斜率为所以的方程为，即为令得直线的方程为，令得．又，所以即得证．【小问2详解】方法1：由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，所以过点的的垂线的方程为，即，如下图所示：联立，解得的纵坐标为要证明，因为四点共线，只需证明（*）．，．所以（*）成立，得证.方法2：由知与轴平行，①又的斜率为的斜率也为，所以与平行，②，由①②得，即得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到，解出点的坐标，从而转化为证