专题04 分数的意义和加减法（教师版）五升六数学暑假衔接培优讲义（导图+知识点+易错点+真题卷）苏教版

知识点01：分数的意义1.一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。2.分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是1/2。3.举例说明一个分数的意义：3/7表示把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份；还表示把3平均分成7份，表示这样的1份。3/7吨表示把1吨平均分成7份，表示这样的3份；还表示把3吨平均分成7份，表示这样的1份。知识点02：分数与除法的关系：1.被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。被除数÷除数=被除数/除数如果用a表示被除数，b表示除数，可以写成a÷b=a/b(b≠0)2.4米的1/5和1米的4/5同样长。3.求一个数是(占)另一个数的几分之几，用除法列算式计算。方法：是（占）前面的数除以后面的数写成分数。男生人数是女生人数的3/4，则女生人数是男生人数的4/3。知识点03：真分数、假分数和带分数1.分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。2.真分数小于1。假分数大于或等于1。真分数总是小于假分数。3.能化成整数的假分数，它们的分子都是分母的倍数。反过来，分子是分母倍数的假分数，都能化成整数。(用分子除以分母)4.分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数是假分数的另一种形式。例如，4/3就可以看作是3/3(就是1)和1/3合成的数，写作1⅓，读作一又三分之一。带分数都大于真分数，同时也都大于1。知识点04：分数和小数的互化1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。2.把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就写成千分之几，……3.把假分数转化成整数或带分数的方法：分子除以分母，如果分子是分母的倍数，可以化成整数;如果分子不是分母的倍数，可以化成带分数，除得的商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。4.把带分数化成假分数的方法：把整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变。5.把不是0的整数化成假分数的方法：用整数与分母相乘的积作分子，母为指定的分母。6.大于3/7而小于5/7的分数有无数个；分数单位是1/7的分数只有4/7一个。知识点05：分数的基本性质1.分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变，这是分数的基本性质。它和整数除法中的商不变规律类似。2.分子和分母只有公因数1，这样的分数叫最简分数。约分时，通常要约成最简分数。知识点06：约分和通分1.把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。约分方法：直接除以分子、分母的最大公因数。2.把几个分母不同的分数(也叫做异分母分数)分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分过程中，相同的分母叫做这几个分数的公分母。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。3.比较异分母分数大小的方法：(1)先通分转化成同分母的分数再比较。(2)化成小数后再比较。(3)先通分转化成同分子的分数再比较。(4)十字相乘法。知识点07：异分母分数加、减法1.计算异分母分数的加减法时，要先通分，再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。2.分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相加，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的和。分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相减，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。3.分母分子相差越大，分数就越接近0；分子接近分母的一半，分数就接近2(1)；分子分母越接近，分数就越接近1。知识点08：异分母分数连加、连减和加减混合运算1.分数加减混合运算的运算顺序：计算分数的加减混合运算时，可以按整数加减混合运算的运算顺序计算。2.分数加减混合运算的计算方法：计算时可以逐步通分，依次计算出结果；也可以先找出几个分母的公分母（为了计算方便，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母），再采用一次性通分的方法进行计算。►分数的意义及分数与除法的关系1、用分数表示分得的结果时，一定要强调“平均分”。2、把一些物体看作一个整体时，分母与平均分的份数有关，与物体的数量无关。3、分母不同的分数，分数单位是不同的；分母相同的分数，分数单位是相同的。4、分数和除法既有联系，又有区别，两者之间的关系不是“等于”的关系，而只能是“相当于”的关系。►真分数和假分数及其互化1、带分数是分子不是分母倍数的假分数的另一种表示形式。2、分子大于分母或者分子和分母相等的分数叫作假分数。3、带分数是由整数和真分数组成的。4、把带分数化成小数时，不要丢掉整数部分。在把分数化成小数的过程中位数不够的要用“0”补位。5、分数与小数互化，数的大小不变。►分数的基本性质及约分的认识1、分子、分母只有公因数1的分数，才是最简分数。2、约分时，分子、分母要同时除以一个相同的公因数。3、把一个分数化成与它大小相等，但分母较大的分数时，分子、分母要同时乘一个相同的数（0除外）。►通分及分数大小的比较1、通分时，并不是只能选择分母的最小公倍数做公分母，只要是分母的公倍数就可以，但是选择最小公倍数做公分母计算起来比较简便。2、通分时，分数的分子、分母同时乘一个相同的数（0除外），分数的大小不变；约分时，分数的分子、分母同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。►异分母分数加减法1、计算异分母分数加、减法时，要先通分，再计算。2、计算结果能约分的要约成最简分数。►分数加减混合运算1、在进行分数混合运算时，一定要注意运算顺序、运算符号和计算的准确性。2、括号前是减号，去掉括号后，括号里的运算符号应发生变化；减号后面加括号也同样如此，括号里的运算符号应和原来的相反。一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2023春•诸城市期中）分母是12的最简真分数一共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．12个【思路引导】根据最简真分数的意义，分数分子小于分母且分子和分母只有公因数1的分数叫做最简真分数，据此解答即可．【规范解答】解：分母是12的最简真分数有：、、、，共4个．故选：B．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握最简真分数的意义及应用．2．（1分）（2023春•抚宁区期中）下列每组中的两个分数相等的是（）A．和 B．和 C．和【思路引导】先根据分数的基本性质化简，再进行比较即可．【规范解答】解：A、＝，和不相等；B、＝，和不相等；C、＝，和相等．故选：C．【考点评析】此题考查利用分数的基本性质约分和分数大小比较的方法．3．（1分）（2023春•惠州期末）用两根同样长的线段，第一根用去了，第二根用去了米，余下部分（）A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．不确定【思路引导】本题是一道答案不唯一的题目，我们可分为三种情况考虑，两根线段等于1米长时，大于1米时，小于1米时，（1）当等于1米长时，剩余的一样长；（2）当大于1米时，第二根剩余的长；（3）当小于1米时，第一根剩余的多．【规范解答】解：（1）当线段1米时，第二根余下部分：1﹣＝（米），第一根余下部分：1﹣1×＝（米），所以余下部分相等．（2）当线段大于1米时，如：7米．第一根余下部分：7﹣7×＝7﹣6＝1（米），第二根余下部分：7﹣＝6（米），所以第二根余下的比第一根长．（3）当线段小于1米时，如0.9米，第一根余下部分：0.9﹣0.9×＝﹣＝（米），第二根余下部分：0.9﹣＝﹣＝（米），所以第一根比第二根余下部分长．故选：D．【考点评析】本题是一道探讨文字题，对答案的可能性进行讨论式解答，用于答案不唯一的题目．4．（1分）（2022•湛江）下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加或相减的是（）A． B． C．4.78﹣2.3【思路引导】根据整数、小数、分数加法、减法的计算法则，计算整数加减法，相同数位对齐，从个位算起；计算小数加减法，把小数点对齐（也就是相同数位上的数对齐），从最低位算起，计算异分母分数加减法，先通分，把异分母分数分成化成与原来大小相等的同分母分数，然后按照同分母分数加减法的计算法则计算。据此解答。【规范解答】解：A.，分母不同，先通分才能分子相减，通分后分子3变成6，所以不能相减；B.7+，因为整数7表示，所以7和3不能直接相加；C.4.78﹣2.3，因为7和3都在十分位上，相同数位对齐，所以可以直接利用7﹣3。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握整数、小数、分数加减法的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算。5．（1分）（2021春•宁津县期末）下面的算式中，得数接近的是哪一个？（）A．1﹣ B．1﹣ C．﹣【思路引导】异分母分数相加减，先通分，变成同分母的分数相加减，再计算，据此先求出各个选项的结果，再分别与相减求差，差最小的则最接近；据此解答．【规范解答】解：A、1﹣＝，﹣＝；B、1﹣＝，﹣＝；C、﹣＝，﹣＝；＜＜，所以得数接近的是1﹣；故选：B。【考点评析】本题考查了异分母分数加减法的计算方法及分数大小比较方法的运用．二．认真填空（共8小题，满分17分）6．（2分）（2022秋•长沙县期末）一根绳子长m，如果剪去m，还剩m；如果剪去这根绳子的，还剩m。【思路引导】如果剪去m，米表示具体的数量，用绳子的长度减去剪去的长度，即可取出还剩多少米；如果剪去，是把这根绳子看作单位“1”，用绳子的长度乘（1﹣）即可求出还剩多少米。【规范解答】解：﹣＝（米）×（1﹣）＝×＝（米）答：如果剪去m，还剩m；如果剪去这根绳子的，还剩m。故答案为：，。【考点评析】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几。7．（1分）（2022春•岷县月考）＝。【思路引导】根据分数加法的计算法则进行计算即可。【规范解答】解：＝+＝＝故答案为：。【考点评析】此题主要考查了分数加法的意义，根据分数的加法法则计算即可。8．（2分）（2021秋•东平县月考）比米短米是米，米比米长米。【思路引导】（1）根据求比一个数的少几的数是多少，用减法解答。（2）根据已知比一个数的多几的数是多少，求这个数，用减法解答。【规范解答】解：（1）＝＝（米）答：比米短米是米。（2）＝＝（米）答：米比米长米。故答案为：；。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握异分母分数减法的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算。9．（2分）（2018•广州模拟）按要求填数：+＝（填两个分母小于12的分数）（填两个不同的整数）．【思路引导】（1）把11变成两个与12不互质的数，只有2和9，那么这两个数是和，化简这两个分数即可．（2）＝（a为大于0的自然数）这一规律求解．【规范解答】解：（1）＝；（2）因为：＝，所以：＝．故答案为：，；6，30．【考点评析】（1）可以根据同分母分数的加减法计算；（2）＝（a为大于0的自然数）是一个常用的规律，根据这个规律求解较简便．10．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）化简一个分数时，用2约了两次，用5约了一次后是。原来的分数是。【思路引导】根据题意可知：把一个分数用2约了两次，用5约了一次，相当于分子、分母都除以2，再除以2，除以5，根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘2，再乘2，乘5还原回去即可。【规范解答】解：答：原来的分数是。【考点评析】本题重点是考查学生对分数基本性质的灵活运用。11．（3分）（2022秋•奉节县期末）“白兔只数的刚好是黑兔只数”，这句话中把白兔的只数看作单位“1”，则白兔的只数×＝黑兔的只数。【思路引导】根据“白兔只数的刚好是黑兔只数”，可知：分率前面的数量是白兔的只数，所以把白兔的只数看作单位“1”；根据分数乘法的意义，列等量关系式是：白兔只数×＝黑兔只数，据此解答。【规范解答】解：“白兔只数的刚好是黑兔只数”，这句话中把白兔的只数看作单位“1”；白兔只数×＝黑兔的只数。故答案为：白兔的只数，白兔，黑兔。【考点评析】判断单位“1”的位置：一般在“是”、“比”与分率之间的量，当作单位“1”的量。12．（2分）（2022春•崇川区期末）在、、这三个数中，分数单位最大的数是，它再添上4个这样的分数单位，就是最小的质数。【思路引导】分母越小，分数单位就越大；最小的质数是2，也就是分数，据此分子相减即可。【规范解答】解：在、、这三个数中，分数单位最大的数是，2＝，6﹣2＝4，因此它再添上4个这样的分数单位，就是最小的质数。故答案为：，4。【考点评析】本题考查了分数单位的认识及大小比较。13．（3分）（2022春•建邺区期末）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”。＜＞30.625＝【思路引导】分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小，据此解答。【规范解答】解：＜＞30.625＝故答案为：＜，＞，＝。【考点评析】本题考查了分数大小比较的方法。三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2022秋•老河口市期末）因为7＞5，所以＞．×（判断对错）【思路引导】根据同分子分数大小比较的方法：分子相同的分数，分母大的分数值反而小进行比较即可．【规范解答】解：因为7＞5，所以＜．故答案为：×．【考点评析】本题主要考查了学生对同分子分数大小比较方法的掌握．15．（1分）（2022秋•两当县期末）一班的人数的与二班人数的相等，则一班的人数比二班的人数少．√（判断对错）【思路引导】设一班有x人，二班有y人，根据分数乘法的意义，一班的人数的是x人，二班人数的是y人，一班的人数的与二班人数的相等，由此可得：x＝y，根据比例的基本性质可知，一班人数：二班人数＝：＝5：6，即二班人数多．【规范解答】解：一班有x人，二班有y人由此可得：x＝y则一班人数：二班人数＝：＝5：6，即一班的人数比二班的人数少．故答案为：√．【考点评析】在此类题目中，如果甲数的等于乙数的，则甲数：乙数＝：．16．（1分）（2022春•郧阳区期末）表示时，两个括号里均填2。×（判断对错）【思路引导】计算出+，求出和，再与进行比较，即可解答。【规范解答】解：＝，＝≠所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】本题考查异分母分数的加法计算，熟练掌握异分母分数的加法计算法则是解题的关键。17．（1分）（2012春•咸安区期末）﹣＝0×．【思路引导】计算﹣时，先把算式改写成﹣进行简算；再进行判断．【规范解答】解：﹣，＝﹣，＝；故答案为：×．【考点评析】解答此题关键是把+和﹣交换位置时，要带着运算符号交换，不能只交换数，这是经常出现的错误．18．（1分）（2021秋•普陀区期中）从甲地到乙地，卡车用了小时，轿车用了小时，轿车的速度快…√．（判断对错）【思路引导】甲地到乙地，说明路程一定，路程相同用的时间的少的速度就快，所以只要比较用的时间即可求解．【规范解答】解：因为：小时＞小时；所以轿车的速度比卡车的速度快，题干的说法是正确的．故答案为：√．【考点评析】本题根据路程一定时，速度和时间的反比关系进行求解．四．计算能手（共3小题，满分20分）19．（8分）（2022春•邛崃市期末）直接写出得数。75÷5＝40×70＝360÷9＝100﹣17＝＝1﹣＝＝12+3×12＝【思路引导】结合题意，根据整数乘除法计算法则以及分数加减法计算法则解答即可。【规范解答】解：75÷5＝1540×70＝2800360÷9＝40100﹣17＝83＝1﹣＝＝12+3×12＝48【考点评析】本题考查了整数乘除法计算以及分数加减法计算知识，根据整数乘除法计算法则以及分数加减法计算法则解答即可。20．（6分）（2022春•南山区期末）用你喜欢的方法计算下面各题。【思路引导】（1）运用加法交换律和加法结合律进行计算即可；（2）去括号后按照从左到右的运算顺序进行计算即可；（3）运用减法的性质进行计算即可。【规范解答】解：＝＝1+1＝2＝＝＝＝＝＝【考点评析】本题考查了分数的加减混合运算，结合算式特点能简算的进行简便计算，结合题意分析解答即可。21．（6分）（2022春•隆阳区期中）把下面每组中的两个分数通分。和和和【思路引导】根据两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程。先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。【规范解答】解：（1）＝＝＝＝（2）＝＝＝＝（3）＝＝＝＝【考点评析】本题主要考查异分母分数的通分方法。五．动手操作（共2小题，满分8分，每小题4分）22．（4分）（2021秋•荣成市期末）涂一涂，填一填，表示计算过程。我发现：+＝+＝1【思路引导】根据题意，异分母分数相加减，首先要通分化成同分母分数，然后根据同分母分数加减计算解答即可。【规范解答】解：解答如下：我发现：+＝+＝1。故答案为：；；1。【考点评析】本题考查了异分母分数加减法计算知识，掌握通分的方法是解答关键。23．（4分）（2022春•郧阳区期末）连一连（把相等的数用线连起来）。【思路引导】小数化分数，原来有几位小数就在1的后面加几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后能约分的要约分；把假分数化成带分数，用分子除以分母，得到的整数商作带分数的整数部分，余数作分子，分母不变，能约分的要约分，据此解答。【规范解答】解：【考点评析】本题考查分数与小数的互化，假分数与带分数的互化。六．实际应用（共6小题，满分30分，每小题5分）24．（5分）（2022春•玉州区期末）如图，从学校到商场和从学校到医院的距离相等，都是km，医院距离小明家km。小明从家走到商场，要走多少千米？【思路引导】用商场到学校的距离加上学校到医院的距离，再加上医院到小明家的距离，就是小明家到商场的距离。【规范解答】解：＝＝（千米）答：小明从家走到商场，要走千米。【考点评析】此题是一道图文题，主要考查了分数加法的实际应用，找出题中所给的数据，根据数量关系用加法列式计算即可。25．（5分）（2022春•高邑县期末）妈妈买了kg的樱桃，爸爸吃了，楠楠吃了。还剩下这些樱桃的几分之几？【思路引导】根据分数减法的意义，用单位“1”减去爸爸、楠楠吃的占总数的分率，可求还剩下这些樱桃的几分之几。【规范解答】解：1﹣﹣＝﹣＝答：还剩下这些樱桃的。【考点评析】本题考查了学生完成简单的分数减法应用题的能力。26．（5分）（2022春•南海区期末）世界读书日是在每年的4月23日，其设立目的是推动更多的人去阅读和写作。这一天，某书店标价为25元一本的《中国民间故事》，售价为20元一本，每本书的售价是标价的几分之几？【思路引导】这本书的售价、标价已知，求每本书的售价是标价的几分之几，用每本的售价（20元）除以标价（25元）。【规范解答】解：20÷25＝答：每本书的售价是标价的。【考点评析】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。27．（5分）（2021秋•高新区期末）淘气、笑笑和奇思看一本同样的数学书。（1）他们三个谁看的页数多？请写出比较的过程。（2）这本数学书最少有多少页？你是怎么想的？【思路引导】（1）因为淘气、笑笑和奇思看的是同样的一本书，根据分数比较大小的方法，比较三个分数的大小即可；（2）要求这本书最少有多少页，就是求三个分数分母的最小公倍数。【规范解答】解：（1）4＝2×29＝3×38＝2×2×2所以4、9和8的最小公倍数是2×2×3×3×2＝72＝＝因为所以所以奇思看的页数最多。（2）这本书最少有72页，因为求出的页数必须为整数，所以最少页数就是三个分数分母的最小公倍数。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握异分母分数大小比较的方法及应用，通分的方法及应用，关键是掌握求最小公倍数的方法。28．（5分）（2022春•福鼎市期末）有红、黄、蓝三根彩棒，红棒比黄棒长m。（1）如果蓝棒比黄棒短m，那么红棒与蓝棒相差多少米？（2）如果蓝棒比黄棒长m，那么红棒与蓝棒相差多少米？【思路引导】（1）已知红棒比黄棒长米，如果蓝棒比黄棒短米，求红棒与蓝棒相差多少米，根据加法的意义，用加法解答。（2）已知红棒比黄棒长米，如果蓝棒比黄棒长米，求红棒与蓝棒相差多少米，根据减法的意义，用减法解答。【规范解答】解：（1）（米）答：红棒与蓝棒相差米。（2）（米）答：红棒与蓝棒相差米。【考点评析】此题考查的目的是理解分数加法、减法的意义，掌握分数加法、减法的计算法则及用。29．（5分）（2022春•元氏县期中）一个带分