新课标高中数学必修一函数导学案

§2.1.1函数的概念与图象(1)

［自学目标］

1.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；

2.了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则；

［知识要点］

1.函数的定义：y=f(x),xeA.

2.函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则.

3.函数的相等.

［预习自测］

例L判断下列对应是否为函数：

2

(1)X—>一

x

(2)y,这里=%

补充：(1)A=R,B={xeR|x>0},.y=|［；

(2)A=B-N,f:x^>-y=\x-?\；

(3)A={xeR|x>0},B=R,于：xfy=±G；

(4)A={X|0^X^6},B={A|0^X<3},/:X—>y=y

分析：判断是否为函数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是

元素对应的存在性和唯一性。

例3.在下列各组函数中，/(x)与g(x)表示同一函数的是

］

A./(x)=l,g(x)=x°B.y=x与y=TP-

C.y=x?与y=(x+l)?D./*)=\x\,g(x)=E

3x—6(x20)

例4已知函数/(x)求/⑴及/"⑴]

x+5(x<0),

［课内练习］

1.下列图象中表示函数y=f(x)关系的有---------------------------------()

A.⑴⑵⑷B.⑴⑵C.⑵⑶⑷D.⑴⑷

2.下列四组函数中，表示同一函数的是-----------------------------------()

A.y-V4x~12x+9和y=|3-2x|B.y—x)和y=x|x|

C.y=x和>=5/?D.y=x和y=(6)

3.下列四个命题

(1)f(x)=Jx-2+y/1—x有意义；

(2)/(x)表示的是含有x的代数式

(3)函数y=2x(x$N)的图象是一直线；

x2,x>0

(4)函数尸｛2的图象是抛物线，其中正确的命题个数是(

-X,x<0

A.1B.2C.3D.0

%2_心>1)

,,则f(二)=

4.已知f(x)=«

1-x2(jc<1)3

5.己知f满足F(a6)=F(a)+f(b),且F(2)=p,/⑶=q那么/(72)=

[归纳反思]

1.本课时的重点内容是函数的定义与函数记号/(”的意义，难点是函数概念的理解和正

确应用；

2.判断两个函数是否是同一函数，是函数概念的一个重要应用，要能紧扣函数定义的三要

素进行分析，从而正确地作出判断.

[巩固提高]

1.下列各图中，可表示函数y=/(x)的图象的只可能是--------------------[]

2.下列各项中表示同一函数的是一一[]

1丫3

A.y=(x-l)°与y=lB.y=一/，y=——

22x

C.y=x—H与y=x-l,xeND./(x)=2x—1与g(r)=2f-1

3.若/(x)=Y+a(。为常数)，/(V2)=3,则。=-------------------------[]

A.-1B.1C.2D.-2

r4-1

4.设/(*)=--,x*±L则/(—x)等于一一[]

x-1

11

A.B.-f(x)C.------D./(x)

/(X)/(X)

5.已矢口/(x)=x2+l,则/(2)=/(x+l)=

6.己知/(x)=x-l,%及2且无€[—1,4],则/(x)的定义域是.

值域是

7.己知/(x)=[’Fl'则〃*)=_______________________

l-x2(|x|<l)3

8.设/(x)=d+i,求/""(0)]｝的值

19

9.已知函数/(X)=彳x+3,求使/(x)e(,4)的x的取值范围

28

10.若./•(》)=2/+1,g(x)=x-l,求Ag(x)],g"(x)]

§2.1.1函数的概念与图象(2)

［自学目标］

掌握求函数定义域的方法以及步骤；

［知识要点］

1、函数定义域的求法：

(1)由函数的解析式确定函数的定义域；

(2)由实际问题确定的函数的定义域；

(3)不给出函数的解析式，而由/(x)的定义域确定函数.f［g(x)］的定义域。

［预习自测］

例1.求下列函数的定义域：

(1)/(1)=Jl+x-x(2)f(x)=---r-j-(3)f(x)=—(4)/(X)=A/5-X+

i+2

X

1

2-x

分析：如果/(x)是整式，那么函数的定义域是实数集尺；如果/(x)是分式，那么函数的

定义域是使分母NO的实数的集合；如果/(X)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内

的表达式》0的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。

例2.周长为/的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底边长为2%,

求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域

例3.若函数y=/(x)的定义域为[-1,1]

(1)求函数/(x+1)的定义域；

(2)求函数y=3+的定义域。

44

[课内练习]

1.函数〃尤)=一^的定义域是-----------------------------------()

A.(-<x>,0)B.(0,+oo)C.[0,+oo)D.R

2.函数f(x)的定义域是则y=f(3-x)的定义域是------------------()

A[0,1]B[2,1]C[0,1]D(-℃,3)

3.函数/(力=(1一%)“+回二的定义域是：

4.函数/(x)=lg(x—5)的定义域是

5.函数f(x)='+log3(x+l)的定义域是____________________________

x-1

[归纳反思]

1.函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；

2.求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；

[巩固提高]

1.函数y=J1—X’+正—1的定义域是---------------------------[]

A.[-1,1]B.(-oo,-l]U[l,+oo)C.[0,1]D.{-1,1}

2.已知/(幻的定义域为[-2,2],则/(I—2x)的定义域为----------[]

133

A.[—2,2]氏一天目D.[-2,—]

3.函数y―乙的定义域是

州-X

A.{#>0}B.何冗<0}C.{x|x<0,xw-l}D.何光工0,"—1}

4.函数丫=虫里的定义域是

X

5.函数/(x)=|x+l|的定义域是:值域是.

6.函数＞的定义域是:

1Txi

7.求下列函数的定义域

/、yJl-X

(1)y=j2x+3；(2)y=-------------(3)-----

(l-2x)(x+l)x+5

8.若函数/（无）的定义域为xe［—3,l］,则R（x）=/（x）+/（—x）的定义域.

9.用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（5?）表示为矩形一边长x（cm）的函

数，并画出函数的图象.

10.已知函数若/(O)=O,/(x+l)=/(x)+x+l,求/(x)的表达

式.

§2.1.1函数的概念与图象（3）

［自学目标］

掌握求函数值域的基本求法；

［知识要点］

函数值域的求法

函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函

数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：

（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。

［预习自测］

例1.求下列函数的值域：

(1)y=2X+1,XG{1,2,3,4,5}；

(2)y=+1；

x

(3)

x+1

(4)y=

1+x2

(5)y=-x2-2x+3变题：y=-x2-2x+3(-5WXW-2)；

(6)y=x+J2x—1

分析：求函数的值域，一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形，通过观察或利用

熟知的基本函数（如一次函数、二次函数等）的值域，从而逐步推出所求函数的值域（观察

法）；或者也可以利用换元法进行转化求值域。

例2.若函数y=V—3x—4的定义域为［0,〃?］,值域为［-彳,-4］,求机的取值范围

［课堂练习］

2

1.函数y=，^（x>0）的值域为（）

A.[0,2]B.(0,2]C.(0,2)D.[0,2)

2.函数y=2x?-4x-3,0WxW3的值域为)

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D(-5,+°°)

2

3.函数y=的最大值是)

A.2c.—1D.-4

4.函数y=x?(xw-2)的值域为

5.求函数y=x+JP五的定义域和值域

［归纳反思］

求函数的值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用的方法,

如观察法、图象法、配方法、换元法等，在以后的学习中还会有一些新的方法(例如运用函

数的单调性、配方法、分段讨论法、不等式法等等)，可以逐步地深入和提高。

［巩固提高］

1.函数y=L(x>l)的值域是一一[]

x

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.RC.(0,1)D.(1,+8)走

2.下列函数中，值域是(0,+8)的是一一[]

A.y=ylx2-3x+lB.y=2x+1(x>0)C.=+x+lD.y='

X

3.已知函数的值域是[-2,2],则函数)=/(刀+1)的值域是------[]

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-2,2]D.[-1,1]

4.f(x)=x2-|4xe{±1,±2,±3),则f(x)的值域是:.

5.函数y=x—2,1—x+2的值域为:.

6.函数y=-..的..-值--域---为-:.

x--2x+2

7.求下列函数的值域

(1)y=Vx-1(2)y=-2x2-x-\(3)y=x2(-2<x<3)

x2-1,I--1+2x

(4)y=———(5)y=2x-yjx-l(6)y=--------

x+1l-3x

8.当xe［l,3］时，求函数/（x）=2x2—6x+c的值域

§2.1.1函数的概念与图象（4）

［自学目标］

i.会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；

2.通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解

决数学问题的能力.

［知识要点］

1.函数图象的概念

将自变量的一个值/作为横坐标，相应的函数值/（面）作为纵坐标，就得到坐标平面

上的一个点（//（X。））.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样

的点.所有这些点组成的集合（点集）为4},即{（x,刈y=,

所有这些点组成的图形就是函数y=/（£）的图象.

2.函数图象的画法

画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线.在画图过程中，

一定要注意函数的定义域和值域.

3.会作图，会读（用）图

［预习自测］

例1.画出下列函数的图象，并求值域：

（1）y=3x-\,XG［1,2］；⑵y=（-1）*,xw{0,1,2,3）；

⑶y=W；变题：y=|x-l|；（4）y=x2-2|A|-2

例2.直线片3与函数片|x?-6x|图象的交点个数为()

(/)4个(8)3个(O2个(。)1个

例3.下图中的A.B.C.D四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩

下的一个图象写出一件事。

离开家的距离(m)

离开家的距离(m)

(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本

再上学；

(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。

［课堂练习］

A、(1)B、⑴、(3)、(4)C、⑴、(2)、(3)D、(3)、(4)

2.直线x=a(aeR)和函数y=/+1的图象的交点个数()

A至多一个B至少有一个C有且仅有一个D有一个或两个以上

3.函数y=|x+l|+l的图象是()

4.某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是()(年增长率=年增长值/年产值)

A)97年B)98年

C)99年D)00年

5.作出函数y=f-2x-3(xW-l或x>2)的图

象:

［归纳反思］

1.根据函数的解析式画函数的图象，基本方法是描点法，但值得指出的是：一要注意函

数的定义域，二要注意对函数解析式的特征加以分析，充分利用已知函数的图象提高

作图的速度和准确性；

2.函数的图象是表示函数的一种方法，通过函数的图象可以直观地表示X与丁的对应关

系以及两个变量变化过程中的变化趋势，以后我们会经常地运用函数解析式与函数图

象两者的有机结合来研究函数的性质.

［巩固提高］

1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在

下图中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是

()

dddd

ABCD

2.某工厂八年来产品C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如下图，下列四种说法:

(1)前三年中，产量增长的速度越来越快；c

(2)前三年中，产量增长的速度越来越慢：

(3)第三年后，年产量保持不变；F―3t

(4)第三年后，年产量逐步增长.

其中说法正确的是()

A.(2)与(3)B.(2)与(4)C.(1)与(3)D.(1)与(4)

4.函数y=自+仇出?#0)的图象不通过第一象限，则上/满足-----------[]

A.k<0,Z?>0B.k<0,h<0C.k>0,b<0D.k>0,b>0

7.函数y=3x—1(1WXW2)的图象是

8.一次函数的图象经过点(2,0)和(-2,1),则此函数的解析式为

9.若二次函数y=—％2+2mx-m2+3的图象的对称轴为x=-2,则加=

10.在同一个坐标系中作出函数/(x)=(x—1尸与g(x)=|x-l|的图象

(1)问：y=g(x)的图象关于什么直线对称？

(2)己知内＜当＜1，比较大小：g(X|)g(*2)

§2.1.2函数的表示方法

［自学目标］

1.了解表示函数有三种基本方法：图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具

有内在的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.

2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.

3.了解简单的分段函数的特点以及应用.

［知识要点］

1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.

在表示函数的基本方法中，列表法就是直接列表表示函数，图象法就是直接作图表示函

数,而解析法是通过函数解析式表示函数.

2.求函数的解析式,一般有三种情况

⑴根据实际问题建立函数的关系式；

⑵已知函数的类型求函数的解析式；

⑶运用换元法求函数的解析式；

3.分段函数

在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数；

注意：

①分段函数是一个函数,而不是几个函数；

②分段函数的定义域是x的不同取值范围的并集;其值域是相应的y的取值范围的并集

［例题分析］

例1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图

象法将y表示X(XG{1,2,3,4})成的函数，并指出该函数的值域.

例2.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-l,求f(x)的表达式;

(2)已知f(2x-3)=x2+x+l,求f(x)的表达式；

例3.画出函数/(x)=|目的图象，并求，(一3),/(3),/(-I),/(I),/(/(-2))

变题①作出函数/(%)=,+1|/(x)=|x-2|的图象

变题②作出函数f(x)=Ix+1|+|x-2|的图象

变题③求函数f(x)=|x+1|+|x-2|的值域

变题④作出函数f(x)=Ix+1|+|x-2|的图象，是否存在/使得f(“o)=2&?

通过分类讨论，将解析式化为不含有绝对值的式子.

-2x+l,x<-l,

f(x)=|x+l|+|x-2|=*3,-l<x<2,

2x-l,x>2

作出f(x)的图象

由图可知，/(用的值域为［3,+8),而2行<3,故不存在%，使./1(不)=2拒

x+5,x<-l,

例4.已知函数/(x)=<J,-1<x<1,

2x,x>1.

(1)求f(-3)、f[f(-3)]；(2)若f(a)=!，求a的值.

2

［课堂练习］

1.用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S(C7??)表示为矩形一边长x(cm)的函

数，并画出函数的图象.

2.若f(f(x))=2x—l,其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式.

3.已知f(x-3)=/+2x+l,求f(x+3)的表达式.

4.如图，根据尸f(根(xwR)的图象,写出产f(根的解析式.

［归纳反思］

1.函数关系的表示方法主要有三种：解析法，列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺

点，千万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数；

2.函数的解析式是函数的一种常用的表示方法，要求两个变量间的函数关系，一是要求出

它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域；

3.无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不

同的定义范围内，函数有不同的对应关系，必须先分段研究,再合并写出函数的表达式.

［巩固提高］

1.函数f(x)=Ix+3|的图象是

-()

/(2x)=2x+3

，则/(x)等于----------------------------------------------------()

3x

A.xH—B.尤+3C.—F3D.2x+3

22

3.已知一次函数的图象过点(1,0)以及(()/)，则此一次函数的解析式为------()

A.y=-x+\B.y=x+iC.y=x-\D.y=-x-l

x+2(xW-1)

4.己知函数y=/(x)=<x2(—l<x<2),且/(a)=3,则实数a的值为——()

2x(x>2)

A.1B.1.5C.-\/3D.\/3

5.若函数/(力=%2-〃a+〃=则y(_5)=

6.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(奴)与其运费(元)

由如图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重

量为__________________________

xx>0,

7.画出函数f(x)={2八的图象，

xx<0,

并求f（石+2）+f（G—2的值.

8.画出下列函数的图象

x2+1,x<0

(1)y=x—|1—x|⑵、=

—2x,x>O

9.求函数y=l-|1-x|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积.

10.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,它沿着折线

BCDA由点B（起点）向A（终点）运动.设点P运动的路程为x,

△APB的面积为y._

（1）求y关于x的函数表示式，并指出定义域；

（2）画出y=f（x）的图象.

函数的单调性（一）

［自学目标］

1.掌握函数的单调性的概念

2.掌握函数单调性的证明方法与步骤

［知识要点］

1.会判断简单函数的单调性（1）直接法（2）图象法

2.会用定义证明简单函数的单调性：（取值，作差，变形，定号，判断）

3.函数的单调性与单调区间的联系与区别

［预习自测］

1.画出下列函数图象，并写出单调区间：

（1）y=-x2+2（2）y=-（xwO）

2.证明/(%)=—五在定义域上是减函数

3.讨论函数丁=/的单调性

［课内练习］

1.判断了(%)=%2_1在(0,+8)上是增函数还是减函数

2.判断/(x)=——+2x在(-8,0)上是增函数还是减函数

3.下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()

1

(A)y二一(B)y=2x-l(C)y=l-x(D)y=(2x-l)29

x

4.函数y='-i的单调递区间为

X

1

5.证明函数f(x)=-/9+x在(一，+00)上为减函数

2

［归纳反思］

1.要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性

2.函数的单调性是对区间而言的，它反映的是函数的局部性质

［巩固提高］

1.已知f(x)=(2k+lx+l在(-00,+oo)上是减函数，则()

1111

(A)k>-(B)k<-(C)k>——(Dk<——

2222

2.在区间(0,+8)上不是增函数的是()

222

(A)y=2x+l(B)y=3x+1(C)y=-(D)y=3x+x+1

X

3.若函数f(x)=/+2(a-1)x+2在区间(-00,4)上为增函数，则实数a的

取值范围是()

(A)a<-3(B)a>-3(C)a<3(D)a>3

4.如果函数f(x)是实数集R上的增函数，a是实数，则()

(A)f(a2)>f(a+1)(B)f(a)<f(3a)

(C)f(a2+a)>f(a2)(D)f(n2-l)<f(a2)

5.函数y=一二的单调减区间为__________

x+1

6.函数y=|x+l|+|2—X的增区间为减区间为

7.证明：/(x)='r在(0，+8)上是减函数

X

8.证明函数/(x)=x+4在(0,1)上是减函数

x

9,定义域为R的函数f(x)在区间(一8,5)上单调递减，对注意实数t都有

/(5+/)=/(5-/),那么f(—1),f(9),f(13)的大小关系是

10.若f(x)是定义在［-1,1］上的减函数，f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围

函数的单调性(二)

［自学目标］

1.理解函数的单调性，最大(小)值及其几何意义

2.会求简单函数的最值

［知识要点］

1.会用配方法，函数的单调性求简单函数最值

2.会看图形，注意数形语言的转换

［预习自测］

1.求下列函数的最小值

(1)y=—,xe［1,3］(2)y=ax+l,(awO),%e［1,3］

2.已知函数/(幻=_?+机％—1,且f(T)=-3,求函数f(x)在区间［2,3］内的最值。

3.已知函数y=f(x)的定义域是［a,b］,a<c<b,当x£［a,数时,f(x)是单调增函数；当

xe［c,b］时，f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值。

［课内练习］

1.函数f(x)=-2x+l在［-1,2］上的最大值和最小值分别是()

(A)3,0(B)3,-3(C)2,-3(D)2,-2

2.卜=!在区间(-2,—1］上有最大值吗？有最小值吗？

X

3.求函数y=x2—2x+3,xe［—2,0］的最小值

4.已知f(x)在区间［a,c］上单调递减,在区间［c,d］上单调递增,则f(x)在［a,d］上

最小值为______________

5.填表己知函数f(x),的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的xeG,

g(x)eF,试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。

f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)

增增

增减

减增

减减

［归纳反思］

1.函数的单调形是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中

起着十分重要的作用

1.利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一

［巩固提高］

1.函数y=-x2+X在［-3,0］的最大值和最小值分别是()

1I

(A)0,-6(B)-,0(C)-6(D)0,-12

44

2.已知二次函数f(x)=2x2-mx+3在(一叫一2］上是减函数，在［-2,+8)上是增函数，

则实数用的取值是()

(A)-2(B)-8(C)2(D)8

3.已知函数f(x)=aX?-6ax+l(a>0),则下列关系中正确的是()

(A)f(V2)<f(V3)(B)f(V5)<f(3)(C)f(-l)<f(l)(D)f(2)>f(3)

4.若f(x)是R上的增函数，对于实数a,b,若a+b>0,则有()

(A)f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)(B)f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

(C)f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)(D)f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

5.函数y=-2+l在［1,3］上的最大值为最小值为

X

6.函数y=-x?+2x-l在区间［0,3］的最小值为

7.求函数y=-2X?+3xT在［-2,1］上的最值

8.求/(x)=x2-2ax—l,xe［0,2］上的最小值

9.已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x?+x)>f(a-x)对一切xGR都成立,

求实数a的取值范围

10.已知二次函数/(x)=x2+0x+c(b、C为常数)满足条件：f(0)=10,且对任意实数X,

都有f(3+x)=f(3-x).

⑴求f(x)的解析式;

(2)若当f(x)的定义域为［m,8］时，函数y=f(x)的值域恰为［2m,n］,求m、n的值。

函数的奇偶性

［自学目标］

1.掌握奇函数、偶函数的定义

2.会判断和证明函数的奇偶性

［知识要点］

1.奇、偶函数的定义

2.奇偶函数的图象与性质(等价性)

3.函数奇偶性的判断方法和步骤

［预习自测］

例L判断下列函数是否具有奇偶性

⑴=羽⑵/(X)二=(X-1)2

(3)/(x);=0(4)/(%)=-X1-l,XG(0,l)

(5)/(x)=-A/X—1+J1—X⑹/(x)==x5+2x3+3x

例2.已知函数/(x)=x-L

x

⑴判断奇偶性

⑵判断单调性

⑶求函数的值域

例3.若f(x)为奇函数，且当x>0时,f(x)=x|x-21,求x<0时f(x)的表达式

［课内练习］

1.奇函数y=f(x),x£R的图象必经过点()

、1、

A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))C.(~a,-f(a))D.(a,f(—))

a

2.对于定义在R上的奇函数f(x)有()

A.f(x)+f(-x)<0B.f(x)-f(-x)<0C.f(x)f(-x)WOD.f(x)f(-x)>0

3.已知/(x)=/+。丁+"x—8且f(-2)=0,那么f(2)等于

4.奇函数f(x)在1WXW4时解吸式为人>)=炉—叙+5,则当-4WxWT时，f(x)

最大值为_______________

5.f(x)=x3+”x为奇函数，丫=，+”*+3在(-8,3)上为减函数，

在(3,+8)上为增函数，则m=n=

［归纳反思］

1.按奇偶性分类，函数可分为四类：(1)奇函数(2)偶函数

(3)既是奇函数又是偶函数(4)既非奇函数又非偶函数

2.在判断函数的奇偶性的基本步骤：(1)判断定义域是否关于原点对称

(2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)

3.可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性

［巩固提高］

1.已知函数f(x)在［-5,5］上是奇函数，且f(3)Vf(l),则()

(A)f(-l)<f(-3)(B)f(0)>f(l)

(C)f(-l)<f(l)(D)f(-3)>f(-5)

2.下列函数中既非奇函数又非偶函数的是()

11

(A)y=—(B)y=

xx2+1

(C)y=0,xe［-1,2］(D)y=----

x~+1

3.设函数f(x)=」「"一"是奇函数,则实数a的值为()

(A)-1(B)0(C)2(D)1

4.如果奇函数f(x)在区间［3,7］上是增函数且最小值为5,那么f(x)在

区间［-7,-3］上是()

(A)增函数且最小值为-5(B)增函数且最大值为-5

(C)减函数且最大值为-5(D)减函数且最小值为-5

5.如果二次函数y=ax2+bx+c(a¥0)是偶函数，则b=

6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=

7.已知函数f(x)在(0,+8)上单调递增，且为偶函数，则f(-乃)，

f(3)之间的大小关系是

3

8.f(x)为R上的偶函数，在(0,+8)上为减函数，则p=f(一二)与q=f(a~9-〃+1)

的大小关系为

9.已知函数f(x)=x?+mx+n(m,n是常数)是偶函数，求f(x)的最小值

10.已知函数f(x)为R上的偶函数，在［0,+8)上为减函数，f(a)=0(a>0)

求xf(x)<0的解集

映射的概念

［自学目标］

1.了解映射的概念，函数是一类特殊的映射

2.会判断集合A到集合B的关系是否构成映射

［知识要点］

1.正确理解“任意唯一”的含义

2.函数与映射的关系，函数是一类特殊的映射

［预习自测］

例题1.下列图中，哪些是A到B的映射？

例2.根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素

⑴f:xf2x+l(2)f：xfx-l

例3.(1)己知f是集合A={a,b}到集合B={c,d}的映射，求这样的f的个数

(2)设11={-1,0,1},N={2,3,4},映射f：M-N对任意xGM都有x+f(x)是奇数，这

样的映射的个数为多少？

［课内练习］

1.下面给出四个对应中，能构成映射的有()

(1)(2)

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

2.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射？

(1)A={x|-lWxWl},B={y|OWy这1},对应法则是“平方”

(2)A=N,B=N+,对应法则是“f:xf|x-3|”

(3)A=B=R,对应法则是“f:x-3x+l”

(4)A={x|x是平面a内的圆}B={x|x是平面a内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”

3.集合B={-1,3,5),试找出一个集合A使得对应法则f:xf3x-2是A到B的映射

4.若A={(x,y)}在映射f下得集合B={(2x-y,x+2y)},己知C={(a,b)}在f下得集合

»={(-1,2)},求41)的值

5.设集A={x|0<x<2},B={y|lWyW2},在下图中能表示从集A到集B的映射的是()

［归纳反思］

1.构成映射的三要素：集合A,集合B,映射法则f

2.理解映射的概念的关键是：明确“任意”“唯一”的含义

［巩固提高］

1.关于映射下列说法错误的是()

(A)A中的每个元素在B中都存在元素与之对应

(B)在B存在唯一元素和A中元素对应

(0A中可以有的每个元素在B中都存在元素与之对应

(D)B中不可以有元素不被A中的元素所对应。

2.下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是()

(A)A={0,2},B={0,1},f:x—>y=2x

(B)A={-2,0,2},B={4},f:xfy=2x

,1

(0A=R,B={ry|y<0},f:x-y=-7

x~

(D)A=B=R,f:x—>y=2x+l

3.若集合P={xI0WxW4},Q={yI0WyW2},则下列对应中,不是

从P到Q的映射的()

,、,、1(C)y=：x,、

(A)y=y1x(B)y=-x(D)y=2yx

o

4.给定映射f：(x,y)f(x+2y,2x-y),在映射f作用下(3,1)的象是

5.设A到B的映射3：x-2x+l,B到C的映射fz：yfj—1,则从A至!JC的映射是f：

6.已知元素(x,y)在映射f下的原象是(x+y,x—y),贝ij(l,2)在f下的象

7.设A={—1,1,2},B={3,5,4,6),试写出一个集合A到集合B的映射

8.已知集合人={1,2,3},集合B={4,5},则从集合A到B的映射有个。

9.设映射f：A->B,其中A=B={(x,y)|x£R,yGR},f：(x,y)r(3x-2y+l,4x+3y-l)

(1)求A中元素(3,4)的象

(2)求B中元素(5,10)的原象

(3)是否存在这样的元素(a,b)使它的象仍然是自己？若有，求出这个元素。

10.己知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},aGN*,k£N*,x£A,y£B,f：x—>y=3x+l

是定义域A到值域B的一个函数，求a,k,A,Bo

2.2.1分数指数累(1)

【自学目标】

i.掌握正整数指数幕的概念和性质；

2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；

3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

【知识要点】

1.方根的概念

若x2=a,则称x是a的平方根；若x3=a,则称x是a的立方根。

一般地，若一个实数x满足x"=a(n>l,neN*),则称x为a的n次实数方根。

当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时

a的n的次实数方根只有一个，记作x=或；

当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方

根用符号或(a>0)o

注意：0的n次实数方根等于0。

2.根式的概念

式子或叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。

求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。

3.方根的性质

(1)(Va)n=a；

(2)当n是奇数时，VF=a,当n是偶数时，VF=|a|

【预习自测】

例1.试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。

(1)25的平方根；⑵27的三次方根:

⑶一32的五次方根；(4)a6的三次方根

例2.求下列各式的值：

(1)(V5)2；(2)#(-2)3；

⑶((-21：(4)7(a-b)2。

例3.化简下列各式:

(1)两；⑵!^32；

(3)Va2b4；

例4.化筒下列各式：

(1)J5-2A/6+77-473-16-4人；

3+V3

⑵

V2-72-V3

【课堂练习】

1.填空：

⑴0的七次方根；⑵X”的四次方根

2.化简：

(1)](3—兀尸；(2)V(-x)6:

(3)Va2+2ab+b2；(4)Vx7。

3.计算：小5-2折+J5+2后

4.若10'=3,10'=4,求10的值

5.75+276+77-473-76-472

【归纳反思】

1.在化简叱时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；

2.配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是

不可忽视的数学思想。

【巩固提高】

1.的值为()

A.-4-aB.-4aC.4-aD.4a

2.下列结论中，正确的命题的个数是()

①当a<0时，(/族=“3；②痂小小

③函数y=(x-2户-(3x-7)"的定义域为(0,+«))；④若(布)"与灯相同。

A.0B