中考数学讲解

中考数学专题1动态几何问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，在梯形，火<。中，ADBC,"）=3,7XSffF=10,梯形的高为4.动点V从

。点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点「运动；动点',同时从「点出发沿线段（。以每

秒1个单位长度的速度向终点/）运动.设运动的时间为，（秒）.

（1）当\<\时,求，的值；

（2）试探究：，为何值时，.为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能

就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之

间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M,N是在动，意味

着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是

给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN〃AB时，就变成了一个静止问题。由

此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】

解：（1）由题意知，当"、''运动到，秒时，如图①，过门作/>/交团于点,则四边形

JW是平行四边形.

villDI：,HiVV.

・•./"（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题

转化成平行时候的静态问题）

（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

10-2/t50

.•.III—，、.解得‘I7.

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可,

于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要

忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成;为了较为简单的解三角形问题，于

是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当"时，如图②作."1此交”于作则有做2/（即.（利用等腰三角形底边高也

是底边中线的性质）

蹴卷9鬻搀

V雪幕,

静，

25

解得'x.

AD

/二

BMFC

②当1八城时，如图③，过”作!///1（。于H.

则t'、n”,

60

t=一

・・17.

AD

/\JV

H

BMC

③当：'，时,

则||>>，•.

IQ

_256010

综上所述，当'X、1或；时，为等腰三角形.

【例2】在△ABC中，ZACB=455.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以

AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证

明你的结论.

(2)如果ABWAC,如图，，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4&,仇一3,

CD=J求线段CP的长.(用含，的式子表示)

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静

止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方

形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：

(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：,:AB=AC,ZACB=45°,.•.NABC=45之

由正方形ADEF得AD=AF,vzDAF=ZBAC=90°,

AZDAB=ZFAC,・•.△DAB=AFAC,AZACF=Z.ABD.

.-.ZBCF=ZACB+ZACF=90Q.BPCF±BD.

A

【思路分析2］这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是

从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然

后一样求解。

(2)CF±BD.⑴中结论成立.

理由是：过点A作AGLAC交BC于点G,••.AC=AG

可证：△GAD2ACAF••ZACF=ZAGD=45。

ZBCF=ZACB+ZACF=90.即CF_LBD

【思路分析3］这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所

以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-Xo分类讨论之后利用相似三角形的比例关

系即可求出CP.

(3)过点A作AQ，BC交CB的延长线于点Q,

①点D在线段BC上运动时，

力

6BDC•zBCA=45。，可求出AQ=CQ=4.DQ=4-x,

CPCDCPX

易证△AQDDCP,.•.预X。，4-x4,

/.CP=--+x

4

②点D在线段BC延长线上运动时，

vzBCA=45。，可求出AQ=CQ=4,DQ=4+x.

过A作4G1“交CB延长线于点G,则MGDzMCF.CFXBD,

乌•出4J焉帝

△AQDDCP,%,A4+x4,P

：.CP^—+x

4

【例3】已知如图，在梯形中，AD〃BC,AD=2,BC=4,点”是，4。的中点，△M8C是等

边三角形.

(1)求证：梯形是等腰梯形；

(2)动点P、。分别在线段8c和上运动，且/凡?。=60。保持不变.设PC=x,MQ尸求

，与K的函数关系式；

(3)在(2)中，当>'取最小值时，判断△尸。。的形状，并说明理由.

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，

所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定乙MPQ=60。，这个度数的意义在哪里?

其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自

然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)证明：•・•是等边三角形

...MB=MC,NMBC=NMCB=60°

•••M是4D中点

AM=MD

AD〃BC

...ZJJWB=Z.W8C=60°,

ZDMC=Z.WCB=60°

:.AAMB乌ADMC

...AB=DC

梯形/BCO是等腰梯形.

(2)解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=NMCB=60。,

NMP0=6O。

/8MP+/BPM=N8PM+/QPC=120。(这个角度传递非常重要，大家要仔细揣摩)

...NBMP=/QPC

...

PCCQ

~BM-~BP

...PC=x,MQ=y...BP-4-QC=4-y

-=------y=-x-x+4

・•.44-x4（设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子）

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以

求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求^PQC形状”的问题了。由已知

的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。

（3）解：△尸。。为直角三角形

'+3

4

・•・当I取最小值时，》=PC=2

P是的中点，MP18C,而/=60。，

...NCPQ=30。，

4PQC=90°

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某

角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条

件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道

题.

【例4】已知正方形小"中，”为对角线上一点，过广点作匚；初交/“.于“，连接”，

/为"中点,连接八，（（；.

（1）直接写出线段入，与㈠，的数量关系；

（2）将图1中\斯丁绕H点逆时针旋转：',如图2所示，取//中点（，，连接

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）将图1中\切下绕"点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否

仍然成立？（不要求证明）

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考

生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将4

BEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味

着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，

抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题

中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

(1)((；/：(；

(2)(1)中结论没有发生变化，即(o

证明：连接《，过(，点作I八'f〃于"，与/的延长线交于''点.

在与UN匕中,

ADCD.^AIX,优二凶,

th(3.

在SI"；与中,

•.一/)(；”A./-(；/>(...\fix>ZV/-G',

\/)”(，XI\(i.

X!(iX(t

在矩形\v中，I\t?■?.

在Ri\11"；与Hi中，

•.­iif小nmNG,

CCMX(i.

f(1-/.().

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步

于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量

不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思

路供参考：在^BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从

而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个

等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

(3)(1)中的结论仍然成立.

图3

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,

将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.

HE

(1)当C:-1时，CF=cm,

BE

(2)当Ci=2时，求sinZDAB'的值;

BE

(3)当l，=x时(点C与点E不重合)，请写出△ABE翻折后与正方形ABCD

公共部分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程).

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是

朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从

一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变

化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要

利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC

上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

(1)CF=6cm；(延长之后一眼看出，EAZY)

(2)①如图1,当点E在BC上时，延长AB'交DC于点M,

RE

•.t：=2,CF=3.

VAB||CF,.-.zBAE=ZF.

又2BAE=ZB'AE,NB'AE=zF.MA=MF.

设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.

在RtAADM中，由勾股定理得：

②如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交B'E于点N,

同①可得NA=NE.

设NA=NE=m,则B'N=12-m.

在Rt^AB'N中，由勾股定理，得

15Q

m22+62,解得m=AN=:.B，N=2.

BN3

sinNDAB'=；\5.

IXx

（3）①当点E在BC上时，y=、

（所求△AB'E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）

②当点E在BC延长线上时，y=■，.

【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可

能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考生拿到题以后不要慌张，

因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析，一个个

将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松了.为更好的帮助考生，笔者总结这种问题

的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何

运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关

系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没

有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有

讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关

系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分发散思考

【思考1】已知：如图（1）,射线射线阶,"，是它们的公垂线，点”、C分别在M

，八’上运动（点八与点」不重合、点（与点〃不重合）,，.是I"边上的动点（点八与」、〃不重

合），在运动过程中始终保持瀛，且徵密嬲口畿

（1）求证：

（2）如图（2）,当点“为边的中点时，求证：避^酶口蠹；

（3）设请探究：的周长是否与，〃值有关？若有关，请用含有，”的代数式表示

\阴（的周长；若无关，请说明理由.

ADMADM

BCNBCN

第25题(D第25题(2)

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形,

所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转

化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就

无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】AABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA,若“YNPBC<180。，

且ZPBC平分线上的一点D满足DB=DA,

(1)当BP与BA重合时(如图1),ZBPD=°；

(2)当BP在ZABC的内部时(如图2),求ZBPD的度数；

(3)当BP在乙ABC的外部时，请你直接写出ZBPD的度数，并画出相应的图形.

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有NPBC,以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分

线并且DB=DA,从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就

是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下〜

【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC,DC±BC,已知AB=5,BC=6,cosB=.

点0为BC边上的一个动点，连结0D,以。为圆心，B0为半径的。0分别交边AB于点P,交线段

0D于点M,交射线BC于点N,连结MN.

(1)当BO=AD时，求BP的长；

(2)点0运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当B0为多长时BP=MN；若不

存在，请说明理由；

心，CN为半径作OC,请直接写出当OC存在时，。0与OC的位置关系，以及相应的OC半径

CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，

时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计

算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定

要记得分类分情况讨论。

【思考4】在nABCD中，过点c作CE，CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转9()得到线段

EF(如图1)

(1)在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1

判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转伏)'得到线段

EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

4

(2)若AD=6,tanB=5,AE=1,在①的条件下，设CPl=x,s°卜(；=)',求)'与x之间的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就

在于如何把握这个旋转90。的条件。旋转90。自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是

证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记

分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结

的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

(1)证明：:蹑AM,”.

又•:蜃口幽口爵，=90=.

AHEC=Z.EDA...MDE〜.

AD

第25也(2)证明:如图，过点/•:作〃”交")于点”,

/：/-1(I/)HC\

!是的中点，容易证明

在融嬲解中.•・・/)“(.”，严W翻

由（1）知A/MC,

A1/比•的周K\1）翻s_"+，〃

:.ABl-ClF'jM；t</?/,.go®12u.

A/MC的周长at切w:的周长-2a,

••.(的周长与"/值无关.

【思考2答案】

解：(1)ZBPD=30°；

(2)如图8,连结CD.

解一：•••点D在ZPBC的平分线上，

：•z1=z2.

・・・△ABC是等边三角形,

限S.・.BA=BC=AC,ZACB=60°.

・・BP=BA,

・・BP=BC.

・•BD=BD,

•.△PBD=ACBD.

•・ZBPD=Z3.--------------------------3分

・・DB=DA,BC=AC,CD=CD,

•・△BCD=△ACD.

Z3=Z4=-ZJCa=30<,

・・・ZBPD=30°.

解二：・・・△ABC是等边三角形，

・・・BA=BC=AC.

•・・DB=DA,

・・・CD垂直平分AB.

•••

•・•BP=BA,

・・.BP=BC.

・・•点D在NPBC的平分线上，

・・.△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.

:.ZBPD=Z3.

・・・ZBPD=30°.

(3)乙BPD=30。或150°.

图形见图9、图10.

【思考3解析】

解：(1)过点A作AE，BC,在RtAABE中，由AB=5,cosB=、得BE=3.

CD±BC,AD//BC,BC=6,

：.AD=EC=BC-BE=3.

当BO=AD=3时，在OO中，过点0作OH，AB,则BH=HP

BP=v.

(2)不存在BP=MN的情况-

假设BP=MN成立，

•••BP和MN为O0的弦，则必有ZBOP=zDOC.

过P作PQ，BC,过点。作OH，AB,

•••CDXBC,则有△PQO八DOC-

-x

设BO=x,则PO=x，由龌S,得BH=5,

6

—X

・・・BP=2BH=5.

1824

—x——x

:.BQ=BPxcosB=、,PQ=、.

•»0

_29629

当‘八时，BP='=、＞5=AB,与点P应在边AB上不符,

不存在BP=MN的情况.

（3）情况一：00与0（：相外切，此时，0VCNV6；---7分

情况二：00与。C相内切，此时，OVCNV、——8分

【思考4解析】

解：（1）①直线与直线CO的位置关系为互相垂直.

证明：如图1,设直线/6与直线的交点为〃.

...线段EC、分别绕点E逆时针旋转90。依次得到线段EF、EG、,

.NREG=NCEF=90°,EG,=3，EF=EC

..NG、EF=90°-2REFZPyEC=90。-ZF\EF

.NGFF=NREC

.△〃£1(7

.NG"=NRCE

ECLCD,

.N[CE=90°

.ZG,FE=90°

:.AEFH=90°.

...ZFWC=90°.

.FG,±CD

②按题目要求所画图形见图1,直线GQ?与直线CO的位置关系为互相垂直.

(2)•四边形4BCD是平行四边形，

4B=ZADC.

4

力。=6,AE=Ltan/?=—

"3,

4

DE=5.tanZ.EBC=tan=—

3.

可得C£=4.

由(1)可得四边形EEC”为正方形.

①如图2,当4点在线段CH的延长线上时,

..FCJ}=CPX=x,PXH=x-4

c]"nuX(X-4)

S&RFG、-QXFGtxPtH--

y=—x2-2x(x>4)

②如图3,当《点在线段。，上(不与。、，两点重合)时,

vFGt=CP,=x,I]H=x-4

力百弓股x[〃=若立

y=—x2+2x(0<x<4)

2•

③当6点与〃点重合时，即》=4时，△[6"不存在.

y=—x2-2x(x>4)

综上所述，y与％之间的函数关系式及自变量x的取值范围是’2或

y=+2x(0<x<4)

中考数学专题2多种函数交叉综合问题

【例1】将直线’沿『轴向下平移后，得到的直线与「轴交于点与双曲线眄轴%

于点H.

⑴求直线小的解析式；

⑵若点仃的纵标为，“，求人的值(用含有"，的式子表示).

【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是

这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简

单，看看就行.

【解析】将直线「卜沿，轴向下平移后经过x轴上点A(4°),

设直线AB的解析式为14x♦b

则感

解得b9.

・•・直线AB的解析式为I八

图3

(2)设点白的坐标为一一”,

•••直线M经过点〃，

...，…49.

二”点的坐标为k翻』，

A

•・•点〃在双曲线‘一tC'川上,

【例2】如图，一次函数1,一’的图象与反比例函数’，的图象相交于A、B两点.

(1)求出这两个函数的解析式;

(2)结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，:一

【思路分析】第一问直接看图写出A,B点的坐标(-6,-2)(4,3),直接代入反比例函数中求m,建

立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是

事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求'的区间，考生是否依然能反映到用图像

来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。

【解析】

m

解：(1)由图象知反比例函数」，的图象经过点B(4,3),

3=-

•••।m=12.-

・••反比例函数解析式为..

由图象知一次函数,卜,’的图象经过点A(-6,—2),B[4,3),

Ja+〃=-2.

...'解得II...

_I

一次函数解析式为‘二'.

(2)当Ovx<4或xv—6时，

【例3】已知：如图，正比例函数「小的图象与反比例函数"，的图象交于点1日」

MD

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象回答，在第一象限内，当丫取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

(3)，，，是反比例函数图象上的一动点，其中一”，：，过点u作直线”3，轴，交「轴于点

N；过点i作直线-f!，轴交：轴于点「，交直线I传于点I).当四边形的面积为6时，请判

断线段0”与。”的大小关系，并说明理由.

【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分

析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四

边形0ADM的面积是何用意，另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四

边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分，直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形

的面积如何求解而没能拉出来看，从而没有想到思路，失分可惜.

【解析】

k

解：(1)将"二吩别代入，中；一

2」

得2"~3

・••反比例函数的表达式为:

正比例函数的表达式为

(2)观察图象得，在第一象限内，当H一；时,

反比例函数的值大于正比例函数的值.

3)A'U

理由：•••,

VAC10(',

嘲嬲穗崛.(很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积)

【例4】已知：tQ与」，两个函数图象交点为“孙”I,且州-，加一，是关于：的一元二次

方程崎曲海岸>&理赧的两个不等实根，其中r为非负整数.

(1)求人的值；

(2)求.」「的值；

(3)如果「小训与函数;工和、交于」」>两点(点；在点打的左侧)，线段’2,

求，的值.

【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直

接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m,n,继

而求得解析式。注意题中已经给定m<n,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表

示出来，然后利用:构建方程即可。

【解析】(1)A(式7>'

49

*<--

4。

•・・£为非负整数，

...葡曲翘力^愿题为一元二次方程

卜I

(2)把；.代入方程得、、一4U,解得<Ll4

,:n

・・・阳I•〃J

hI3

把m=L〃=4代入；心与

可得u—I.A—I

(3)把।，代入‘“.与'，

(c\J4134(-3

可得Z"I由L可得，42

解得，、■'J经检验，''为方程的根。

...I；2,1.8

曲v1

【例5】已知：如图，一次函数尸量配镯与反比例函数’、的图象在第一象限的交点为彳山卬).

(1)求，”与n的值；

(2)设一次函数的图像与：轴交于点H,连接(U,求，「，」的度数.

【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面

的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。

第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问

题，利用勾股定理发现OB=OA,从而NBAO=zABO,然后求出乙BAO即可。

解：(1)•••点"I㈤在双曲线'x上,

又••・”一在直线护期班上,

E

(2)过点A作AM_Lx轴于点M.

・••直线/仁萼与:轴交于点

解得、

.,•点!(的坐标为':

二""

,・,点；的坐标为3；”,

在RtA中，期幽姿潮

AMl

Z40W、'3

AIan()M

由勾股定理，得"I

OAOil.

£BA()-ZJ0.W-3<r

【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：

1、给交点求解析式；2,y的比较，3,夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需

要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一

个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取

得全分。

第二部分发散思考

y=—(x>0)

【思考1］如图，A、B两点在函数.x的图象上.

(1)求的值及直线AB的解析式；

(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包

括边界)所含格点的个数。

【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上,

哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。

m

一次函数I-4♦>的图象与反比例函数■X的图象交

蜃翻5蝉幽于两点，直线.46分别交」轴、，轴于儿(.两点.

(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式;

AI)

(2)求(”的值.

【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需

要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A

引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。

【思考3】已知：关于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k—3=0有两个不相等实数根(k<0).

(1)用含k的式子表示方程的两实数根；

。：)设方程的两实数根分别是工，X2(其中1:工)，若一次函数y=(3k—l)x+b与反比例函数y

b

=『的图像都经过点(xl,kx2),求一次函数与反比例函数的解析式.

【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。

第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算

就可以。

【思考4］如图，反比例函数,t的图象过矩形OABC的顶点B,OA、0C分别在x轴、y轴的正

半轴上，0A：0C=2：1.

(1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标；

(2)若直线)-+用平分矩形OABC面积，求用的值

【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过

比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积

意味着一定过B点，代入即可。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

(1)由图象可知，函数(-r>0)的图象经过点4L6),

可得"7=6.

设直线AB的解析式为.V:K+b.

...4(1,6),5(6,1)两点在函数.y=H+6的图象上,

k+b=6,[Zr=L

«*

6k+b=l.解得[b=7.

・••直线4?的解析式为.”-x+7.

(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3.

【思考2解析】

(1)把.i-3,J7代入3K,得：，“一-工

3

把i-工(-1；A2,――二分别代入

-34+6=1

,k2k♦h°

「心+人得2,(第16题答图)

『■T1

3

I酶―厂I《I

解得片喝，一次函数的解析式为'2'2.

(2)过点4作(£1)轴于点E.

•・T点的纵坐标为1,球I.

v-1|0.

由一次函数的解析式为’22得(点的坐标为•，

/.0(=-

2.

在和哪豳幽嬲中./((〃)/.1//)15,.(IX)-.ADE,

ADAE

CDCO

【思考3解析】

解：(】),kx2+(2k—3)x+k—3=0是关于x的一元二次方程.

,

&A»(2i-3)-4*(*-3)=9

由求根公式，得

•・一次函数的解析式为「l6r8,反比例函数的解析式为'-r

【思考4解析】

(1)由题意，设贝!J

・•・B在第一象限，

u2.B(4,2)

・•.矩形OABC对角线的交点E为!"­•>

(2)•.•直线-2,x+州平分矩形OABC必过点S3

・•・l=2x2+m

m=-3

专题3.归纳与猜想

一、知识综述

归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理

和结论。猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一

种思维方法。

猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化

的特殊性中寻找出不变的本质和规律。

二、理解掌握

例1、用等号或不等号填空：

(1)比较2x与x2+1的大小

①当x=2时，2xx2+1；

②当x=l时，2xx2+1；

③当x=ll时，2xx2+1.

(2)可以推测：当x取任意实数时，2xx2+1.

分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。

解：(1)V,=,V；(2)<0

例2、观察下列分母有理化的计算：

分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下

的是什么。

(-=—B4—=——+—=—­=+…+广—^^»XV2002+1)

解：s'+V2、4+、2<2002+<2001

_-<1+-T2+、4-、、+…+2002—<2001乂、'2002+1)

=IH\'0(1?♦1)

=2002—1

=2001。

例3、观察下列数表：

1234...第一行

2345...第二行

3456...第二行

4567...第四行

第一列第二列第三列第四列

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为,第n行与第n列交叉点上

的数应为o（用含正整数n的式子表示）

分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然

后利用此规律解题。

解：11,2n—1.

例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成

四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。

操作的123...10…n……

次数

正方形4710……

个数

分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。

解：操作的次数是10时，正方形个数为31；操作的次数是n时，正方形个数为l+3n.

例5、下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n>l）盆花，每个图

案花盆总数为S,按此规律推断，S与n的关系式是o

n=2n=3n=4

S=3S=6S=9

分析：题目给出了“每条边(包括顶点)有n(n>l)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花

盆数量为3n,但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。

解：S=3n—3o

三、拓宽应用

例6、⑴如下表：方程1,方程2,方程3,......,是按照一定规律排列的一列方程，解方程1,并将

它的解填在表中的空白处：

序号方程方程的解

1"」一=|.V―X,-

xx-2

2再-4、、6

3雪旦战田=5-8

⑵若方程腐斯榭刈"的解是t3L。，求a,b的值，该方程是不是⑴中所给出的一

列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？

⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。

分析：通过解方程不难求出：xl=3,x2=4,将t847°代入方程易求a=12,b=5。

本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特

别是每个变化的数与序号的关系。

L-i

解：(1)解方程XX2得，X1=3,x2=4；

(2)将th,r'”代入方程霭蛔吗易求得a=12,b=5；

一.一豳趣L,它的解是：微勇雌隰雕观

（3）第n个方程是:

例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直放行上的边长均为b）：

•在图1中，将线段•1；向右平移1个单位到“/」，得到封闭图形41从〃（即阴影部分）

•在图2中，将折线匕I1向右平移1个单位到层"也,得到封闭图形LiI，"从〃（即阴影部分）

AlB1AlB1

BO9E

A2B2A3B3

（图1）（图2）（图3）

⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形,

并用斜线画出阴影；

⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

⑶联想与探索：

如图4,在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你

猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。

分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和

（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它

的两边长分别是a—l,b,这样面积就不难求了。

解：（1）

(2)'=ab--b；=ab-b；'=ab-b;

（3）空白部分表示的草地面积是ab—b。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形,

这时它的两边长分别是a—l,b）

例8、阅读下列材料，按要求解答问题。

⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：zA=2zBo我们由此出发来进行思考。在图a中，作

b_h

斜边上的高CD,由于ZB=3O。，可知c=2b,zACD=30°,于是AD=2,BD=2,由△CDB

aBD

ACB，可知。“，即，/一(•/")，同理力’-(.41),于是

a'-h=c(HD-ADf=c(c—)—二c(c-h)=alb-b)=hc

图a图b图c

对于图b由勾股定理有u：=&+<,，由于b=c,故也有J-3‘二板；这两块三角尺都具有性质

a-A,在^ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。

两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：

如图c,在AABC中，若NCAB=2/ABC,则j-汇-庆，在上述由三角尺的性质至广猜测”这一认识

过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（）

1分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一