2023年北京市中考数学备战测评试卷

第1页（共1页）2023年北京市中考数学备战测评试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）如图，下列图形属于柱体的是（）A． B． C． D．2．（2分）据报道北京市已经累计建成并开通5G基站73000个，将73000用科学记数法表示应为（）A．0.73×104 B．7.3×103 C．7.3×104 D．73×1033．（2分）下列命题中，属于假命题的是（）A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等4．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠55．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）A． B． C． D．6．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜07．（2分）为响应“书香校园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，则本次调查中阅读时间的众数和中位数分别是（）A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.258．（2分）初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上（）A．甲＞乙＞丙＞丁 B．丙＞甲＝丁＞乙 C．甲＝丁＞乙＞丙 D．乙＞甲＝丁＞丙二．填空题（共8小题，满分18分，每小题2分）9．（2分）若，则xy＝．10．（2分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝．11．（2分）方程＝+1的解是．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CO＝2，则阴影部分的面积为．13．（2分）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P，OP＝6，则OC的长为．14．（2分）如图，小强自制了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为15cm，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒点O处多远的地方．15．（3分）一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点的中点，则∠ABE＝．三、解答题17．（5分）（1）|1﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1；（2）解不等式组：．18．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．19．（5分）已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝12cm．（1）求圆心O到弦AB的距离．（2）若弦AB恰好是△OCD的中位线，以CD中点E为圆点，R为半径作⊙E，求R的值．20．（6分）（1）已知4m+3•8m+1÷24m+7＝16，求m的值；（2）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝1．21．（10分）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．22．（8分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，∠C＝60°．（1）求∠APB的大小；（2）若PO＝20cm，求△AOB的面积．23．（6分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，延长AD到E，BE是⊙O的切线（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC＝，AC＝5，求sin∠CBA．24．（6分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，满分100分．整理分析过程如下：【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在79.5≤x＜89.5组的具体数据如下：82，82，82，82，84，85，86，86，86，88．【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下组别49.5≤x＜59.559.5≤x＜69.569.5≤x＜79.579.5≤x＜89.589.5≤x＜100.5A市26a1413B市19151312不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示：A市知识竞赛频数分布直方图【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：特征数平均数众数中位数方差A市80.982b118.79B市80.89580109.95根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查是调查（选填“抽样”或“全面”）；（2）统计表中，a＝，b＝；（3）补全频数分布直方图；（4）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是市（选填“A”或“B”）；（5）按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中人．25．（5分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是，若BC＝a，则CD的长为；（用含a的式子表示）（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；（2）点M的坐标为（﹣1，0），①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，求k的取值范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直接写出b的值．

2023年北京市中考数学备战测评试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）如图，下列图形属于柱体的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、有一个是三棱锥；B、有一个是不规则的多面体；C、分别是一个圆柱体；D、有一个是圆台．故选：C．2．（2分）据报道北京市已经累计建成并开通5G基站73000个，将73000用科学记数法表示应为（）A．0.73×104 B．7.3×103 C．7.3×104 D．73×103【解答】解：73000＝7.3×105．故选：C．3．（2分）下列命题中，属于假命题的是（）A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等【解答】解：A、两直线相交，所以A选项为真命题；B、平行于同一条直线的两直线平行；C、相等的角不一定为对顶角；D、等角的余角相等；故选：C．4．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠2，故A正确；B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠6＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠7+∠5，故C错误；D．∵∠2是△BOC的外角，∴∠7＞∠5；故D错误；故选：A．5．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．三角形的内角和为180°；B．四边形的内角和为360°；C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故选：D．6．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，不符合题意；a＜﹣2，7＜b＜1，故B结论正确；a＜0，b＞3，a+b＜0，不符合题意；a＜0，b＞6，故D结论错误．故选：B．7．（2分）为响应“书香校园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，则本次调查中阅读时间的众数和中位数分别是（）A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25【解答】解：由统计图可知众数为1小时；共有：8+19+10+3＝40人，中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．故选：C．8．（2分）初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上（）A．甲＞乙＞丙＞丁 B．丙＞甲＝丁＞乙 C．甲＝丁＞乙＞丙 D．乙＞甲＝丁＞丙【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴甲、丁两级部的优秀人数相同，∵点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，∴乙级部的xy的值最大，即优秀人数最多，即优秀人数最少，故选：D．二．填空题（共8小题，满分18分，每小题2分）9．（2分）若，则xy＝．【解答】解：∵，∴，解得：x＝，故y＝1，则xy＝×1＝．故答案为：．10．（2分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝a（a﹣2）2．【解答】解：a3﹣4a2+4a，＝a（a2﹣3a+4），＝a（a﹣2）8．故答案为：a（a﹣2）2．11．（2分）方程＝+1的解是x＝3．【解答】解：去分母得：x（x+1）＝4+x7﹣1，解得：x＝3，检验：当x＝8时，（x+1）（x﹣1）≠4，∴分式方程的解为x＝3．故答案为：x＝3．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CO＝2，则阴影部分的面积为π．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB，在△OCE和△BDE中，，∴△OCE≌△BDE（ASA），∴S阴影＝S扇形OCB＝＝π，故答案为：π．13．（2分）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P，OP＝6，则OC的长为6．【解答】解：∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB＝90°，∴∠POC＝45°，∴OP＝CP＝6，∴OC＝＝6，故答案为6．14．（2分）如图，小强自制了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为15cm，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒点O处多远的地方60cm．【解答】解：如图，AB＝20cm，CD＝4cm，∵AB∥CD，EF⊥AB∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，∴，即，解得OE＝60cm．答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．故答案为：60cm．15．（3分）一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x﹣＝3．【解答】解：设原来这组学生人数为x人，那么原来这组学生每人可摊费用是元元，根据题意可列方程﹣＝3．故答案为﹣＝3．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点的中点，则∠ABE＝13°．【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．三、解答题17．（5分）（1）|1﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）|1﹣|﹣（2﹣π）0+2sin60°+（）﹣1＝﹣1﹣1+6×＝﹣1﹣1+＝2+2；（2），解第一个不等式得x＜2，解第二个不等式得x≥﹣3．故不等式组的解集为﹣1≤x＜2．18．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．【解答】解：（x+1）2+x（x+7）+（x﹣3）（x+3）＝x5+2x+1+x8+4x+x2﹣5＝3x2+3x﹣8，∵x2+7x﹣1＝0，∴x4+2x＝1，∴原式＝3（x2+2x）﹣4＝3×1﹣3＝3﹣8＝﹣7．19．（5分）已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝12cm．（1）求圆心O到弦AB的距离．（2）若弦AB恰好是△OCD的中位线，以CD中点E为圆点，R为半径作⊙E，求R的值．【解答】解：（1）过O作OF⊥AB于F，交CD于E，∵OA＝OB，∴AF＝BF＝AB＝cm＝3，在Rt△OAF中，由勾股定理得：OF＝（cm），即圆心O到弦AB的距离是4cm；（2）∵OF＝AF＝6cm，∴∠OAB＝45°，∵AB是△OCD的中位线，∴CD＝2AB＝24cm，∴OF＝EF＝5cm，即ME＝OE﹣0M＝5+6﹣12）cm，分为两种情况：当两圆外切时，半径R＝ME＝（12，当两圆内切时+12）cm．20．（6分）（1）已知4m+3•8m+1÷24m+7＝16，求m的值；（2）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝1．【解答】解：（1）4m+3•2m+1÷28m+7＝27m+6•23m+3÷23m+7＝27m+6+3m+3﹣4m﹣7＝3m+2，∵16＝26，∴m+2＝4，解得，m＝8；（2）（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣2xy3）÷2xy＝（x6﹣y2）﹣（4x3y﹣8xy3）÷3xy＝x2﹣y2﹣（4x2﹣4y6）＝x2﹣y2﹣7x2+4y3＝﹣x2+3y5，当x＝﹣1，y＝1时4+3×17＝2．21．（10分）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．【解答】证明：（1）在等边三角形ABC中，∵DE⊥BC，GF⊥BC，∴∠DEF＝∠GFC＝90°，∴DE∥GF，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∴△BDE≌△CGF，∴DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）如图，连接AF，在平行四边形DEFG中，∵∠DEF＝90°，∴平行四边形DEFG是矩形，∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC，∴∠GAF＝15°，在△CGF中，∵∠C＝60°，∠GFC＝90°，∴∠CGF＝30°，∵∠CGF＝∠GAF+∠GFA＝30°，∴∠GFA＝15°，∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B＝60°，∴△DAG是等边三角形，∴GA＝GD，∴GD＝GF，∴矩形DEFG是正方形．22．（8分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，∠C＝60°．（1）求∠APB的大小；（2）若PO＝20cm，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝60°；（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝×60°＝30°，∴P在AB的垂直平分线上，∵OA＝OB，∴O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线，即OD⊥AB，AD＝BD＝，∵∠PAO＝90°，∴∠AOP＝60°，在Rt△PAO中，AO＝×20＝10（cm），在Rt△AOD中，AD＝AO•sin60°＝10×（cm）＝4（cm），∴AB＝2AD＝10cm，∴△AOB的面积为：AB•OD＝×5＝252）．23．（6分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，延长AD到E，BE是⊙O的切线（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC＝，AC＝5，求sin∠CBA．【解答】（1）证明：连接OB，如图1所示：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBD＝∠BAD，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：设圆的半径为R，连接CD交OB于F，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，即＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴△ODF∽△OEB，∴＝，即＝，解得：R＝8，∴AD＝2R＝6，∵∠CBA＝∠CDA，∴sin∠CBA＝sin∠CDA＝＝．24．（6分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，满分100分．整理分析过程如下：【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在79.5≤x＜89.5组的具体数据如下：82，82，82，82，84，85，86，86，86，88．【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下组别49.5≤x＜59.559.5≤x＜69.569.5≤x＜79.579.5≤x＜89.589.5≤x＜100.5A市26a1413B市19151312不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示：A市知识竞赛频数分布直方图【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：特征数平均数众数中位数方差A市80.982b118.79B市80.89580109.95根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查是抽样调查（选填“抽样”或“全面”）；（2）统计表中，a＝15，b＝82；（3）补全频数分布直方图；（4）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是B市（选填“A”或“B”）；（5）按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中4160人．【解答】解：（1）∵教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，∴采用的是抽样调查；故答案为：抽样；（2）a＝50﹣2﹣6﹣14﹣13＝15，数据排序后，第25个数据和第26个数据均为82，∴；故答案为：15，82；（3）补全直方图，如下：（4）∵B市的方差小，∴竞赛成绩波动较小的是B市；故答案为：B；（5）由题意可知：A市成绩不低于8（6分）的人数为：14+13＝27（人），∵B市成绩的中位数为80，∴B市成绩不低于80分的人数为：25（人），（人）．答：估计两个城市了解共青团知识（不低于80分）的团员共有4160人．故答案为：4160．25．（5分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离．【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），6），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）8+4，解得：a＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）∵y＝﹣（x﹣6）2+4，∴令y＝5得：0＝﹣（x﹣3）6+4，解得：x1＝4，x2＝5，∵起跳点A坐标为（3，3），∴x1＝6，不符合题意，∴x＝5，∴运动员落水点与点C的距离为5米．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，∵b＝2a，∴x＝﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（2）①当a＝1时，抛物线y＝x4+bx+b2﹣b，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴b＜0，∵该抛物线顶点的纵坐标为4，∴，解得：，b4＝2，又∵b＜0，∴．②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，∴抛物线的对称轴为直线，∵点（﹣8，y1），（﹣1，y4），（3，y3）在抛物线上，且y8＞y3＞y2，∴＜﹣＜，∴﹣2＜b＜0．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是互相垂直，若BC＝a，则CD的长为a；（用含a的式子表示）（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系【解答】解：（1）当点E与点C重合时，∠DAE＝∠DAC，∵∠DAE+∠ACD＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥CB'，即AD与CB'的位置关系是互相垂直，若BC＝a，过点A作AM⊥BC于点M则∠AMC＝90°＝∠ADC，∵AB＝AC，∴CM＝BM＝BC＝a，在△ACD与△ACM中，，∴△ACD≌△ACM（AAS），∴CD＝CM＝a，即CD的长为a，故答案为：互相垂直；a；（2）①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N则∠AMC＝∠ANC＝90°，∴∠CAN+∠ACB'＝