苏教版选择性必修第二册第6章空间距离的计算

空间距离的计算

课程

能用向量的方法解决点到直线的距离和点到平面的距离

标准

1.点到直线的距离

(DP为直线/外一点,A是I上任意一点，在点P和直线I所确定的平面内取一个与

IAP,n|

直线I垂直的向量2则点p到直线I的距离为公二n.

(2)P为直线/外一点,A是I上任意一点,e是直线I的方直向量，记0=<江,e>,则点

P到直线I的距离为^lAPIsin(p.

2.点到平面的距离

如图，已知平面«的法向量为垂足为Q,A为平面a内任一点，则平面外一

点P到平面«的距离为：

-nAP•n|AP•M|

PQ=In|=|n\=|n|

1.已知平面a的一个法向量为"=(221),点A(-l,3,0)在平面a内厕点P(-2,l,4)

到平面«的距离为()

A.10B.3C.-D.—

33

IPA・n|

【解析】选D.点尸到平面a的距离仁学

V4+4+13

2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直且满足B4=P5=PC=1厕点P到平面ABC

的距离是0

A.-B.-C.-D.-

6363

【解析】选D.分别以PA,PB,PC所在直线为％轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A(l,0,0)1(01,0),。(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为九=(1,1,1),

IPA•n|

,V3

则d=In|

3,

3.设A(2,3,1)旗4,1,2),。(6,3,7),0(-5,-4,8)厕点3到平面ABC的距离为

【解析】设平面A5C的一个法向量为“=(%,//).

所以n-AB=0,«-AC=0,

(x,y,z)-(2,-2,l)=0,

所以

(x,y,z)-(4,0,6)=0,

3

2%-2y+z=0x=--z,

即'所以2，

4x+6z=0,

令z=-2，则〃=(3,2,-2).又因为AD=(-7,-7,7),

IAD,n|

所以点D到平面ABC的距离为d=F~

_|3x(-7)+2x(-7)-2x7|_49V17

J32+22+(-2)217

口卡.17

4.在长方体OABC-OjAiBiCi中QA=2,A5=3A41=2*。到直线AC的距离.

【解析】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，

贝UA(2,0,0),0i(0,0,2),。(0,3,0),过01作OiD±AC于点D,

设。(%>0),贝1)舟=(%,》,-2),AD=(x-2,y,0).

因为AC=(-2,3,0),AC,AD//AC,

C~2x+3y=0,(x=—,

所以在2y解得

(-2-3，(/=石，

所以。借，H，。)，

所以1而H(W+(W+(02=等

即5到直线AC的距离为察.

方法二:连接A。,建立如图所示的空间直角坐标系，

贝UA(2,0,0),01(0,0,2),C(0,3,0),

所以记1=(-2,0,2),沃=(-2,3,0),

元

所以记广京=(20,2).(-2,3,0)=4,。=记户(-2,0,2),"=1谶HW，W，0)，

所以_______

所以。到直线AC的距离占加2一3〃)2=噜.

一、选择题

1.在长方体A5CDA1SGA中5A5=5C=aA4i=2a,则点A到直线AC的距离为()

A.V3aB.—aC.-D.—

232

【解析】选D.方法一:连接5DAC交于点0(图略),

则DiO=J(2a)2+(子。)为所求.

方法二:如图建立空间直角坐标系易得。3。,0),。(0,a,2a),

元

取a=CDI=(-Q,0,2a),M=IAC|=停,y,0),

则点。1到直线4。的距离为口^7=J5a2必2考a

2.RtAABC的两条直角边5C=3,AC=4,尸。，平面A5Gpet，贝［］点P到斜边AB的

距离是()

A.3B,9C.12D.2V3

【解析】选A.以点C为坐标原点,CA,C氏。尸所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立

如图所示的空间直角坐标系.

则A(4,0,0),JB(0,3,0),P(0,0,|),

所以百=(一4,3,0),AP=(-4,0,1).

所以点P到AB的距离d=

3.若正方体A5CD4向G功的棱长为1,则直线AC到平面ACDy的距离为()

A.1B.—C.—D.V3

36

【解析】选B.因为AiC］〃ACACu平面AC。15Alec平面ACA,所以ACi〃平面

4cA，则点Ai到平面ACDi的距离即为直线AC到平面ACD1的距离.建立如图

所示的空间直角坐标系，

易知AX=(0,0』),由题得ACLBD,ACLBBx,BD^BB^B,BD,BB\^^^BDBi,所以

AC±^^BDB>,

所以AC±DBi,|W|®ADiXDBi,

因为ACAADi^A,ACADICACDI,

所以。3_L平面AC。，

所以茄।是平面ACDi的一个法向量，

IAX•函|

所以平面ACA的一个法向量为防尸(1,-1,1),故所求的距离为।而।=*=岸

4.(2022.扬州高二检测)已知棱长为1的正方体A5CD43GA,则平面A3C与平

面4G。之间的距离为()

人遮D遮c2遮「V3

A.—r).—C.U.—

6332

【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，

贝114(1,0,0),G(0,l,0),0(0,0,1),4(101),

所以血=(1,0,一1),55^(0,1,-1),AD=(-1,0,0),

设平面AiCiD的一个法向量为m=(x,y,l),

严_1_DAi,

则1一访，

咽：0,

解瞰::;

故加=(1,1,1),显然平面ABC〃平面A1C1D,

IAD•m|1

所以平面A3。与平面AiCiD之间的距离1ml=*=字

5.在直三棱柱A5c45G中底面是等腰直角三角形,NAC5=90。侧棱AAi=2Q,E

分别是CCi与AiB的中点点E在平面ABD上的射影是及钻。的重心G,则点Ai

到平面ABD的距离为()

AV6^276„V5_2V5

A.—£).C.—U.

3333

【解析】选B.由题意，以C为坐标原点C4C5CC所在直线分别为兀y,z轴，建立

空间直角坐标系，

设G4=C5=a,则A(a,0,0)1(0,。,0),。(0,0,1),4(。,0,2),可得E(ppl),

G6，狷),皿杭，|),丽=(。,山),

因为点E在平面ABD上的射影是及45。的重心G,所以GEJ_平面ABD,

所以近.玩=0,

即:x0+R-*xl=0,

解得a=2,即GE=(m),

则点A1到平面ABD的距离为d=2|函=?

二、填空题

6.在棱长为1的正方体A5C»AiSG»中,MN分别是线段仍iBG的中点，则直

线MN到平面AC出的距离为;点D到平面ACDi的距离为.

【解析】如图，以点D为坐标原点QAQCQOi所在直线分别为％轴,y轴,z轴建立

空间直角坐标系.

则D(0,0,0),C(0,l,0),Di(0,0,l),M(l,l,|)4(l,0,0).

所以AC=(-1,1,O),AD>=(-1,0,1).

设平面ACD,的法向量为"=(%)/),

In•AC=0j

则L•血=。，即以汇；：

令％=1厕y=z=l,所以n=(l,l,l),

IAM•nIr-

所以点M到平面ACD\的距曷d—IM——.

又MNDjAD\故MN〃平面ACDi.

故直线MN到平面ACDi的距离为当又OA=(1,0,0),

IDA,n|广

所以点D到平面AS的距离为d=~^~吟号.

朱安W更

口木,23

7.(2022.如皋高二检测)已知直线I经过点A(2,3,l),且向量〃=(1,0,4)所在直线与I

垂直，则点尸(4,3,2)到/的距离为.

【解析】因为PA=(-2,0,-l),Xn与I垂直,

IPA,n|厂

所以点P到/的距离为=等专

答案日

8.如图，已知正方形ABCD的边长为平面A5CD且尸。=1,瓦尸分别为A5,5c

的中点

则点D到平面PEF的距离为直线AC到平面PEF的距离为.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系厕D(0,0,0),P(0,0,1)4(1,0,0),C(0,1,0),

£(1,1,0),FQ,1,0),PE=(1,I,-l),PF=Q,1,-1),而=(-1,0,1),DP=(0,0,l).

设平面PEF的法向量为〃=(%,y,z),

[n-PE=0,(i

一\x+-y-z=0,

则ln-PF=0,即

hx+y-z=0,

解得％=y,令％=y=2彳导〃=(2,2,3),

IDP•n|.—

因此点D到平面PEF的距离为=信=啜・

因为E,F分别为AB,BC的中点，

所以EF//AC5LEFu平面PEF,

所以AC〃平面PER

IAP•n|1—

所以直线AC到平面PEF的距离为=总=当

软安.3VI7V17

1=1木,1717

9.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点M,N分别是边

AB,CD的中点，则的长为.

【解析】设AB=p,AC=q,AD=r,

由题意可知,1川=0|=|厂|=1,

且p,q,r三个向量两两夹角均为60°,

--A--►--*1--A--*1--*1

MN=AN-AM=-(AC+AD)--AB=-(^+r-p),

所以|MN|2=MN-MN--(q+r-p')\q+r-p)--[q2+r1+p2+2(q-r-q-p-r-p)]--x2--,

4442

所以I函考即MN的长为.

套宏立

1=12

三、解答题

10.在三棱锥B-ACD中，平面平面AC。,若棱长AC^CD^AD^AB^1Z

24。=30。,求点D到平面ABC的距离.

【解析】如图所示，以AD的中点0为原点，以OD,

OC所在直线为％轴,y轴，过O作0"，平面ACD交AB于点M以直线OM为z

轴建立空间直角坐标系O-0z,则1,0,0),

W等。3。(0，今。)，。&。，。)，

所以无=&}骨。),癌=*

DC=造,0),

设"=(%,》*)为平面ABC的法向量,

贝U产-*z=-Gt,取n=(-V3,l,3),

IDC«n|Vs,Vs._

代入d-In|得仁士旦

'母V1313'

即点D到平面ABC的距离是等.

一、选择题

1.已知正方体A5CZK4向GA的棱长为1,若点尸满足AP=fAB+|通+；*，则点

534

尸到直线的距离为()

A.三B±C.兰D.叵

144122015

【解析】选B.如图，过点P作尸加，平面ABCD于点M过点M作NM1AB于点

N,

连接PN,则PN的长即为所求，

因为满足AP=|AB+|AD+iAA

534),

所以AN^MN/MP.

所以PNZMN?+MU*

2.如图，在四面体ABCD^,AB,BC,BD两两垂直方。=5。=2,点E是CD的中点，若

直线AB与平面ACD所成角的正弦值为点则点B到平面ACD的距离为()

A*.如吗^

2333

【解析】选B.在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直，以B为原点,BC所在直线

为x轴方。所在直线为y轴,5A所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,5。=瓦)=2,

点石是8的中点，

设BA=t,^]A(0,0,0,B(0,0,0),C(2,0,0),

D(0,2,0),AB=(0,0,-0,CA=(-2,0,r),

五=(-2,2,0),

设平面ACD的法向量"=(%,y,z),

In,CA=-2x-\-tz=0

则n•CD=-2rr+2y=0,

取X=1得

因为直线AB与平面ACD所成角的正弦值为点

IAB•几

21

所以IABIInI='

(-t产^^3

解得仁4(—4,舍),

所以平面ACD的法向量AB=(0,0,-4),

IAB,n|

所以点5到平面AC。的距离为七

13

3.在棱长为1的正四面体ABCD中"为AD上的一点，且AM^AD,N为AC的中

点，则点A到平面BMN的距离为()

AVlO^V5„Vio^Vs

A.--D.—C.----U.—

551010

【解析】选c.取BC的中点及连接AE交BN于点。连接DO.

因为四面体A5CZ)为正四面体,N,E分别为AC,BC的中点，

所以O为等边三角形ABC的中心，且平面A5C，以N为坐标原点建立如图

所示的空间直角坐标系，其中DO//Z轴,

因为正四面体A5CZ)的棱长为1,

所以A0=|4斤|xjl1罟，

所以。。

则A(0,-1,0),。住,0,,0,0),M0,0,0),

所以NB=^,0,0),

因为AM=-A。,即AM=-AD,

所以研区-冷)，3

所以丽=(小冷)，

设平面BMN的法向量为〃=(%,y,z),

--73

n•NB=-x=0»

V乙

贝U"丽咯T+"o，

令z=3,则x=0,y=V6,

所以H=(0,V6,3),

又标=(o1,o),

IAN,n\V6i—

所以点4到平面BMN的距离d=51=春=黑

V6+910

4.(多选题)在正方体ABCD-AiBiCiDi中，若棱长为1,点E,F分别为线段BD,BCi

上的动点,则下列结论正确的是()

A.DBi±®ACDi

B.面AC/〃面ACDi

C.点F到面ACDi的距离为定值?

D.直线AE与面BBQiD所成角的正弦值为定值:

【解析】选ABC.以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),

Ai(0,0,l),fii(t0,l),Ci(l,l,l),Di(0,l,l),

设E(x,y,l),彘=丸记，

即(%-13,0)=(-2儿0),

所以及1办,1),

设尸记，

即(0,旷/)=(0,〃,〃),所以4(1,〃,〃).

对于A,因为而=(1,一1,1),AC=(l,l,0),启=(0,1,1),

DBj.AC=0,

所以而•而=0,

所以DBi±AC,DBi±ADi,

又ACADiu平面ACDi,ACnADi=A,

所以。囱，平面ACDt,A正确；

对于B,因为平面ACA,所以防心(1,一1,1)为平面ACDi的一个法向量,

因为菽『(1,1,0),A^=(l,0,-l),

DBi•AiCi=0,

所以DB^•A7B=0,

所以

又AiG,4i_Bu平面A\C\B,A\C\C\A\B—A\,

所以。平面AC民

所以平面4G5〃平面ACA,B正确；

对于C,因为AF=(1,〃,〃)，

I埼•向I_

所以点F到面ACD1的距离d=I而/喘号，为定值,C正确；

对于D,因为几何体为正方体，所以AC_L平面BBiDiD,

所以元=(1,1,0)是平面BBiDiD的一个法向量，

又属=(L),

|元•西

设直线AE与平面BBiDiD所成角为仇则sin。=IAC|•IAE|=.；百,不是定

V2-v2Zz-2Z+2

值,D错误.

二、填空题

5.(2022.天津高二检测)已知点P(5,3,6),直线I过点A(2,3,l),且一个方向向量为

则点P到直线/的距禺为"

【解析】由题设，舒=(3,0,5),

立T—―

所以|cos<AP,/〉|=IAPIIII=鱼:旧=g，故sin<AP,/>=¥^,

所以P到直线l的距离为I画&n<正/>W^X岑=4立

答案：4鱼

6.已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上,B4,P氏PC两两互相垂直，且

205=B4=PC若球O的表面积为36兀,则球心O到平面ABC的距离为.

【解析】因为在三棱锥中PA,PB,PC两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长

方体的一部分，将该三棱锥补形，得到长方体出。。力及G,此长方体内接于球O,

长方体的体对角线为球的直径，球心O为长方体对角线的中点，设球O的半径为

%2+(2久)2x2

氏球O的表面积5=4兀尺2=36瓦,则H=3,设P5=%,则^一^——=3,解得X=2,即05=2,

所以B4=PC=4,以点P为坐标原点,分别以PA,PC,PB方向为％轴,y轴,z轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则0(2,2,1)44,0,0),。(0,4,0),尸(0,0,0),

5(0,_

所以嬴=(一4,0,2),AC=(-4,4,0),丽=(-2,-2,1),

设平面ABC的一个法向量为〃=(%,y,z),

/n_LAB9(n,AB=-4JC+2N=0,

贝InIAC即1"•AC=-4%+4y=0,

令％=1得〃=(1,1,2).

设球心0到平面ABC的距离为d,

_.IOA•n|乐

因为OA=(2,-2,-l),则d=Inl="+1+4==.

答案:日

三、解答题

7.如图，已知四棱锥S-ABCD,SA，底面ABCD,ZDAB=Z

45。=90。25=4,5。=35As=4乃是AB的中点，尸在BC上，且孑C,求点A到平面

SE下的距离.

【解析】以点A为坐标原点,分别以ADAB,AS所在的直线为％轴,y轴,z轴建立空

间直角坐标系A-盯z,如图所示，

则A(0,0,