人教版六年级数学下册第8讲鸽巢原理精讲练习试题及答案

【专题讲义】人教版四年级数学下册

第8讲鸽巢原理专题精讲（学生版）

知识要点梳理

模块一知识讲解

1、知识与技能：（1）初步了解“鸽巢原理”的含义，会用"鸽巢原

理”解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、

实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

课程目标

3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数

学、用数学的乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的

教育。（3）感受数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知

的良好品质。

课程重点引导学会把具体问题转化成"鸽巢问题"。并运用抽屉原理的知识解

决简单的实际问题。

课程难点理解"鸽巢原理"，找出"鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

教学方法建议探究证明T得出结论T巩固练习

“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材

相比，这部分内容是新增的内容。教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍"鸽巢

问题"，使学生在理解"鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模

型化"，会用"鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与"存在性”有关的问题。在这

类问题中，只需要确定某个物体（或某个人犯勺存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或

人）。这类问题依据的理论我们称之为"抽屉原理"。"抽屉原理"最先是19世纪的德国数

学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称"狄利克雷原理"，也称之为"鸽巢问题”。

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但"鸽巢问题”的应用却是千

变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽

巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

模块二方法归纳

鸽巢原理是一个重要又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用。

①什么是鸽巢原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放

法,如下表

放法盒子1盒子2

130

221

312

403

无论哪一种放法,都可以说"必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果"。这个结论是在

"任意放法”的情况下,得出的一个"必然结果"。

类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的

鸽子。

如果有6封信，任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的"苹果"、"鸽子"、"信”看作一种物体，把"盒子"、"鸽笼"、

"信箱”看作鸽巢,可以得到鸽巢原理最简单的表达形式

①利用公式进行解题：

物体个数一鸽巢个数=商……余数

至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多L

物体数=颜色数x（至少数-1）+1

②极端思想：

用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有

两个球是同色的。

③公式:

两种颜色：2+1=3（个）

三种颜色：3+1=4（个）四种颜色：4+1=5（个）

鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n,且n是非零自然数），

若m+n=b……余数，那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

鸽巢原理（二）：古国把kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0

的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。

模块三课堂精讲

例1（1）用枚举法证明。

由此发现，把4枝铅笔分配到3个文具盒中，总有一个文具盒中至少有()枝铅笔。

(2)把7枝铅笔放进3个文具盒中，至少有_______枝铅笔在同一个文具盒中。

(3)在10枝铅笔放进3个文具盒中，至少有枝铅笔在同一个文具盒中。

(4)把14枝铅笔放进3个文具盒中,至少有枝铅笔在同一个文具盒中。

例2某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（）。

A.至少有2名男生是在同一个月出生的B.至少有2名女生是在同一个月出生的

C.全班至少有5个人是在同一个月出生的D.以上选项都有误

【规律方法】主要考查用抽屉原理的知识解决实际问题。解析：一年有12个月，因为25・

12=2……1,2+1=3,所以至少有3名男生是在同一个月出生的；18+12=1……6,1+1=2,

至少有2名女生是在同一个月出生的；43+12=3……7,3+1=4,全班至少有4个人是在同一

个月出生的。

【变式训练1]

【难度分级】A

1、填一填：

（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）

名学生的生日是在二月份的同一天。

（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进

了（）个球。

（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1个鸡笼里。

（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书，才可以保

证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。

2.某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人,

计票一段时间后的统计结果如下：

候选人小华小红小明

得票数正正下正正正T

规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（）票才能当选？

A.6B.7C.8D.9

例3把一些苹果平均放在3个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表:

苹果个数12345621100

放辇果最多的抽屉至少放迸的个数11

【规律方法】主要考查简单的抽屉原理。解析：解决此类抽屉原理问题的一般思路为：放苹果

最多的抽屉至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）O

例4研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉"至少放入物体数的求法是用物体数除以（）

数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于（）；当除得的商有余数时，至少

放入的物体数就等于（）。

【规律方法】主要考查解决简单抽屉原理问题的一般思路。

例5箱子中有5个红球，4个白球，至少要取出（）个才能保证两种颜色的球都有，至少

要取（）个才能保证有2个白球。

蠢

【规律方法】主要考查灵活运用抽屉原理的知识解决问题。

【变式训练2】

【难度分级】A

1.在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少

有3种不同的颜色？

（三红五蓝四黄四绿）

例6某班同学为地震灾区小朋友捐献图书，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三

类，捐书的情况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才

能保证一定有两位同学所捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本）

【规律方法】主要考查考查综合运用排列组合、抽屉原理的知识解决实际问题。

例7"六一"儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以

任意选择两种水果，那么至少要有（）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果

每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有（）个小朋友才能保证两人拿的水

果是相同的。

【规律方法】主要考查排列与组合的知识；抽屉原理。

【变式训练3】

【难度分级】B

1.在下面的方格中，将每一个方格涂上红色或黄色，不论怎么涂，至少有几列的颜色是完全

相同的？

①两红②两黄③上红下黄④上黄下红

例8将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，

至少应取出（）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（）顶；要保证取出的

帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（）顶。

【规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决问题。

例9扑克牌里学数学：一副扑克牌(取出两张王牌)。

(1)在剩下的52张牌中任意抽出9张，至少有多少张是同花色的？

(2)扑克牌一共有4种花色，每种花色都有13张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一张

是红桃?

(3)至少要抽出多少张才能保证有5张牌是同一花色的？

【规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决实际问题。

模块四b讲练结合题

（一）填一填：

1、鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n,且n是非零自然数），

那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了（）个物体。

2、鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非

0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（）个物体。

（二）判断题：

1、三个同学一起做游戏，其中一定有两人性别相同。（）

2、六（1）班45个同学中至少有4个生肖属相相同。（）

3、有31只小兔，10个笼子，如果每只笼子最多放5只，那么不管你怎么放，一定会有三个

笼子里有一样多的小兔。（）

4、糖盒子里有外形一样的巧克力糖和水果糖各10颗，要想摸出2颗水果糖，至少要摸出3

颗。（）

5、有4种花色的扑克牌各13张，要取出2张花色相同的扑克牌，至少要取5张。（）

（三）选择题：

1、给一个正方体木块的6个面上分别画三种不同的平面图案，无论怎样画，至少有（）个

画面的图案相同。

A.2B.3C.4

2、刘阿姨给孩子1门买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子衣服的颜色

一样，至少给（）个孩子买衣服。

A.3B.4C.2

3、有红、黄、蓝、黑小球各10个，装在一个袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，

应至少摸出（）个小球。

A.7B.8C.9

4、10个孩子分进4个班，则至少有一个班分到的学生人数不少于（）个。

A.2B.3C.4

5、小东玩掷塞子游戏，要保证掷出塞子的点数至少有两次相同，他最少要掷（）次。

A.5B.6C.7

6、25人中至少有（）人属相是相同的。

A.2B,3C.13D.24

（四）解决问题：

(1)把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？

(2)一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有

1只？

(3)布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有3个

小球的颜色相同？

(4)有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。参加体操表演的学生

中是否一定有2名是在同年同月出生的？

(5)把280张卡片分给若干名同学，每人都要分到，但都不得超过10张。试说明至少有6

名同学得到的卡片数同样多。

模块五

1、一个小组13个人，其中至少有（）人是同一个月出生的。

2、6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

3、盒子里有同样大小的红球、黄球各3个，要想摸出的球一定有2个是同色的，最少要摸出

（）个球。

4、49名中年妇女在广场上载歌载舞，她们中至少有（）名妇女是同一个月出生

5、"世界水日”是每年的（）月（）日。

6、盒子里有红，黑，黄，蓝四种颜色的球各5个，想摸出的球一定有2个是同色的，最少

要摸出（）个球。摸出的球一定有2个是不同色的，最少要摸出（）个球。

7、一个由6个边长为2厘米的正方形组成的长方形，这个图形的周长是（）厘米。

8、一个长方形的周长是18米，如果它的长和宽都是整数米，那么这个长方形的面积多少种可

能值?请——列举。

9、有7个人住进5个房间，至少要有两个人住同一间房。为什么？（请你用图示的方法说明理

由）

10、把9本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少放进5本书，为什么?

11、希望小学有367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么?

12、把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（）枚。

B.7C.8D.9

13、小花猫钓到了鲤鱼、草鱼、鲫鱼三种鱼共12条，放在桶里提回家去，路上遇见了小白猫,

小花猫问小白猫："你最爱吃什么鱼？"小白猫说："我最爰吃的是鲤鱼。"小花猫说："好,

你只要从我的桶里随便拿出3条鱼来，就一定会有你最爰吃的鲤鱼，不过你得先告诉我，我一

共钓了几条鲤鱼？"小白猫说了一个数，并从桶里拿出3条鱼，果然有鲤鱼，小花猫把1条

鲤鱼送给了小白猫。那么，小花猫到底钓到了几条鲤鱼呢？

【专题讲义】人教版四年级数学下册

第8讲鸽巢原理专题精讲（解析版）

知识要点梳理

模块一、

1、知识与技能：（1）初步了解“鸽巢原理”的含义，会用"鸽巢原

理”解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、

实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

课程目标

3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数

学、用数学的乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的

教育。（3）感受数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知

的良好品质。

课程重点引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题"。并运用抽屉原理的知识解

决简单的实际问题。

课程难点理解“鸽巢原理"，找出"鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

教学方法建议探究证明一得出结论-巩固练习

“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材

相比，这部分内容是新增的内容。教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍"鸽巢

问题"，使学生在理解"鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模

型化"，会用"鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与"存在性”有关的问题。在这

类问题中，只需要确定某个物体（或某个人犯勺存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或

人）。这类问题依据的理论我们称之为"抽屉原理"。"抽屉原理"最先是19世纪的德国数

学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称"狄利克雷原理"，也称之为"鸽巢问题”。

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但"鸽巢问题”的应用却是千

变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽

巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

模块二方法归纳

鸽巢原理是一个重要又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用。

①什么是鸽巢原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放

法,如下表

放法盒子1盒子2

130

221

312

403

无论哪一种放法,都可以说"必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果"。这个结论是在

"任意放法”的情况下,得出的一个"必然结果"。

类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的

鸽子。

如果有6封信，任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的"苹果"、"鸽子"、"信”看作一种物体，把"盒子"、"鸽笼"、

"信箱”看作鸽巢,可以得到鸽巢原理最简单的表达形式

②利用公式进行解题：

物体个数一鸽巢个数=商……余数

至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多L

物体数=颜色数x（至少数-1）+1

②极端思想：

用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有

两个球是同色的。

③公式:

两种颜色：2+1=3（个）

三种颜色：3+1=4（个）四种颜色：4+1=5（个）

鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n,且n是非零自然数），

若m+n=b……余数，那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

鸽巢原理（二）：古国把kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0

的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。

模块三课堂精讲

例1（1）用枚举法证明。

由此发现，把4枝铅笔分配到3个文具盒中，总有一个文具盒中至少有（）枝铅笔。

答案解析

2

解：4+3=1（支）..1支，

1+1=2（支）.

答：总有一个文具盒至少放进2枝铅笔；

故答案为：2.

•解析

把4枝铅笔放进3个文具盒中，4+3=1（支）...1支，即平均每个文具盒放1支，还余1支,

根据抽屉原理可知，总有一个文具盒里至少放1+1=2支.

在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商十1（有余数的情况下）.

（5）把7枝铅笔放进3个文具盒中，至少有________枝铅笔在同一个文具盒中。

（6）在10枝铅笔放进3个文具盒中，至少有______枝铅笔在同一个文具盒中。

（7）把14枝铅笔放进3个文具盒中，至少有枝铅笔在同一个文具盒中。

解答

(2)把7枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进3枝。我们可

以这样想：如果每个文具盒中只放2枝，那么最多放进6枝铅笔，还剩1枝，这1枝还要放

进其中的一个文具盒中，所以至少有3枝铅笔放在同一个文具盒中。

(3)把10枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进4枝，我们

可以这样想：10+3=3……1,也就是每个文具盒中放3枝，还剩1枝，这1枝还要放进其中

一个文具盒中，所以至少有4枝铅笔放在同一文具盒中。

(4)把14枝铅笔放在3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进5枝，我们

可以这样想：14+3=4…2,也就是每个文具盒中放4枝，还剩2枝，这2枝最理想的情况是

各自放在其中的一个文具盒中，所以，至少有5枝铅笔放在同一个文具盒中。

例2某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（）。

A.至少有2名男生是在同一个月出生的B.至少有2名女生是在同一个月出生的

C.全班至少有5个人是在同一个月出生的D.以上选项都有误

【规律方法】主要考查用抽屉原理的知识解决实际问题。解析：一年有12个月，因为25・

12=2……1,2+1=3,所以至少有3名男生是在同一个月出生的；18+12=1……6,1+1=2,

至少有2名女生是在同一个月出生的；43+12=3……7,3+1=4,全班至少有4个人是在同一

个月出生的。

解答

男生：25+12=2……（人）

2+1=（人）

女生:18+12=1....6（人）

1+1=2（人）

全班：25+18=43（人）

43+12=3……（人）

3+1=4（人）

故答案为：B.

【变式训练1]

【难度分级】A

1、填一填：

（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）

名学生的生日是在二月份的同一天。

解答

考虑最差情况：每个抽屉都有1个元素，

30+28=1..2（名），剩下的2名，无论怎样分配都会出现一个抽屉有2人出现，

1+1=2（名），

答：至少有2名学生的生日是在二月份的同一天。

分析：

【考点提示】

本题是一道关于抽屉原理的题目，回想抽屉原理的知识；

【解题方法提示】

2月有28天，把这28天看做28个抽屉，把30个学生看做30个元素；利用抽屉原理,考

虑最差情况即可解答，试试吧!

（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进

了（）个球。

答案解析

16+3=5（个）......1（个）

5+1=6（个）

故答案为：6.

(3)把6只鸡放进5个鸡笼，至少有()只鸡要放进同1个鸡笼里。

解析

提示1:5个鸡笼，看做5个抽屉，6只鸡看做6个东西，把6个东西放进5个抽屉，即把6

只鸡放进5个鸡笼，至少有2只鸡要放进同一个鸡笼里.6+5=Ll，平均把鸡放进5个鸡笼里,

余下的1只放进任意一个鸡笼，1+1=2,至少有2只鸡要放进同一个鸡笼里.

提示2:此题考查了抽屉原理，抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先

是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理.

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果.这个人所皆知的

常识就是抽屉原理在日常生活中的体现.用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题.解：5

个鸡笼，看做5个抽屉，6只鸡看做6个东西，把6只鸡放进5个鸡笼，至少有2只鸡要放

进同一个鸡笼里.

6+5=Ll,平均把鸡放进5个鸡笼里,余下的1只放进任意一个鸡笼，1+1=2;

答：至少有2只鸡要放进同一个鸡笼里.

（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书，才可以保

证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。

解答

40+1=41（本）

故答案为：41

2.某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，

计票一段时间后的统计结果如下：

候选人小华小红小明

得票数正正下正正正T

规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（）票才能当选？

A.6B.7C.8D.9

答案

：Co

解析：根据题意一共48票，已经计了30票，还有48-30=18票没计。现在小华得了13票，

小红得了10票，只要小华得到的票数比小红多1票就能当选。（18-3”2=7……1,7+1=8,

所以小华至少还要得8票才能当选。

例3把一些苹果平均放在3个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表:

苹果个数12345621100

放苹果最多弼由屉至少放进的个数11

【规律方法】主要考查简单的抽屉原理。解析：解决此类抽屉原理问题的一般思路为：放苹果

最多的抽屉至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）。

答案：

苹果个数12345621100

放苹果最多的抽屉至少放进的个数111222734

放苹果最多的抽屉至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）。

例4研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉"至少放入物体数的求法是用物体数除以（）

数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于（）；当除得的商有余数时，至少

放入的物体数就等于（）。

【规律方法】主要考查解决简单抽屉原理问题的一般思路。

解析：重点考查学生的归纳概括能力，加深对已学知识的理解。根据简单的抽屉原理：把多于

起个的物体放到％个抽屉中，至少有一个抽屉里的东西的个数不少于2;把多于也〃（附乘以履）

个物体放到阀个抽屉中，至少有一个抽屉里有不少于（附+1）个物体。

解答

"抽屉”至少放的物体的求法是用物体数除以抽屉，当除得的商没有余数时，放的至少数就等

于商，当除得的商有余数时，放的至少数就等于商+L

故答案为：抽屉，商，商+1.

分析:

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽

屉里面放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.由此可知，"抽屉"至少放的物体

的求法是用物体数除以抽屉数，如n个苹果，要把这十个苹果放到m个抽屉里（nzm），用

苹果数除以抽屉数，如果n能整数m,则放的至少数就等于商，如苹果数为10,抽屉数为5,

至少数10+5=2（个）；如果当除得的商有余数时，放的至少数就等于商+1,如苹果数为10

个，抽屉数为9个，104-9=1.1,则至少数为1+1=2（个）.

例5箱子中有5个红球，4个白球，至少要取出（）个才能保证两种颜色的球都有,至少

要取（）个才能保证有2个白球。

霸

【规律方法】主要考查灵活运用抽屉原理的知识解决问题。

解析：把两种颜色分别看作2个抽屉，考虑最差情况，5个红球全部取出来，那么再任意取出

一个都是白球，所以至少取出6个才能保证两种颜色的球都有；要保证有2个白球，在取完

所有红球的情况下再取2个即可。

解答

建立抽屉：把两种颜色分别看做2个抽屉，

（1）根据抽屉原理：考虑最差情况，5个红球全部取出来，那么再任意取出1个都是白球，

5+1=6（个），所以至少取出6个球才能保证两种颜色的球都有；

（2）根据抽屉原理：考虑最差情况：取出5个红球和1个白球，那么再任意取出1个球，就

会出现2个白球，5+1+1=7（个），所以至少取出7个球才能保证有2个白球。

故答案为：6,7.

分析：把两种颜色分别看做2个抽屉，利用抽屉原理即可解答问题.

【变式训练2】

【难度分级】A

1.在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少

有3种不同的颜色？

（三红五蓝四黄四绿）

解答

至少要摸出10个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色。

【解析】

从最坏的角度考虑，摸出5个都是篮球，接着摸4个也是同一颜色的球，这时有2种不同颜

色的球，再摸一个，无论什么颜色，都能保证摸出的球是3种不同颜色。

5+4+1=9+1=10（个）

答：至少要摸出10个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色。

例6某班同学为地震灾区小朋友捐献图书，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三

类，捐书的情况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才

能保证一定有两位同学所捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本）

【规律方法】主要考查考查综合运用排列组合、抽屉原理的知识解决实际问题。

解答

根据题干分析可得，捐书情况一共有3+3+1=7（种），把这7种情况看成7个抽屉，要保证

有两位捐书的类型相同，因此捐书的人数要大于7,

7+1=8（人）

答：至少有8位同学捐书。

解析：

分析捐书的情况，捐一类的：故事书、科技书、教辅资料书共三种；捐两类的：故事书和科技

书、故事书和教辅资料书，科技书和教辅资料书共三种；捐三类的是一种；总共有7种不同的

捐法。把这7种情况看作7个抽屉，要保证有两位同学捐书的类型相同，只要8名同学即可。

例7"六一"儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以

任意选择两种水果，那么至少要有（）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果

每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有（）个小朋友才能保证两人拿的水

果是相同的。

【规律方法】主要考查排列与组合的知识；抽屉原理。

解答

3+2+1=6（种）

6+1=7（个）

6+4=10（种）

10+1=11（个）

故答案为:7,11

解析：在已知的四种水果中任意选择两种，共有6种不同的选择方法，那么至少要有7个小

朋友才能保证有两个人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么

共有10种不同的选择方法，至少要有11个小朋友才能保证有两人拿的水果相同。

【变式训练3】

【难度分级】B

1.在下面的方格中，将每一个方格涂上红色或黄色，不论怎么涂，至少有几列的颜色是完全

相同的？

①两红②两黄③上红下黄④上黄下红

答案:9+4=2......12+1=3（列）

答：不论如何涂色，至少有3列的颜色是完全相同的。

解析：每一列有四种不同的涂法（如下图），将9列看作9个物体，四种不同的涂法看成4

个抽屉，9+4=2......1,即每种涂色的方法各涂出2列后，还剩下1歹I」，所以至少有2+1=3

（列）的颜色是完全相同的。

①两红②两黄③上红下黄④上黄下红

例8将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，

至少应取出（）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（）顶；要保证取出的

帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（）顶。

【规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决问题。

解答

①5+1=6（顶）；

②2x5+1=11（顶）;

③3+1=4（顶）；

答：要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出6顶帽子，要保证三种颜色都有，则至少

应取出11顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出4顶；

故答案为：6,11,4.

解析：

解答此题的关键是从极端的情况进行分析。假设取出的前5顶都是同一种颜色的帽子（把一种

颜色取完），再取一顶就一定有两种颜色；（2）假设前10次取出的是前两种颜色的帽子（把

两种颜色的帽子取完），再取出一顶，就能保证三种颜色都有；（3）把三种颜色看作三个抽

屉，保证取出的帽子中至少有两个是同色的，至少应取4顶。

例9扑克牌里学数学：一副扑克牌（取出两张王牌）。

（1）在剩下的52张牌中任意抽出9张，至少有多少张是同花色的？

（2）扑克牌一共有4种花色，每种花色都有13张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一张

是红桃？

（3）至少要抽出多少张才能保证有5张牌是同一花色的？

【规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决实际问题。

答案：（1）9+4=2……12+1=3（张）

答：至少有3张是同花色的。

（2）13x3+1=40（张）

答：至少要抽出40张牌才能保证有一张是红桃。

（3）4x4+l=17（张）

答：至少要抽出17张才能保证有5张牌是同一花色的。

解析：（1）任意抽出9张牌，假设每种花色的各有2张，剩下的一张不管是什么花色，都可

以保证至少有3张是同花色的；（2）要保证有一张是红桃，考虑到最差情况，将不是红桃的

牌都抽光，只要再抽一张就一定是红桃；（3）要保证5张是同花色的，可以假设4种花色的

都抽取了4张，只要再抽一张即可。

模块四讲练结合题

（一）填一填：

1、鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n,且n是非零自然数），

那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了（）个物体。

解答

把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n,n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中

至少放进（m+n+l）个物体.

故答案为：

m-rn+1

分析：

根据用"抽屉原理”解决简单的实际问题的解题方法，在此类抽屉问题中，至少数=物体数除

以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）.

2、鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非

0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（）个物体。

解答

kn个物体任意放进n个空抽屉里，平均每个抽屉里放k个物体，

一定有一个抽屉里至少放进了k个物体。

故答案是k.

（=）判断题：

1、三个同学一起做游戏，其中一定有两人性别相同。（）

2、六（1）班45个同学中至少有4个生肖属相相同。（）

3、有31只小兔，10个笼子，如果每只笼子最多放5只，那么不管你怎么放，一定会有三个

笼子里有一样多的小兔。（）

4、糖盒子里有外形一样的巧克力糖和水果糖各10颗，要想摸出2颗水果糖，至少要摸出3

颗。（）

5、有4种花色的扑克牌各13张，要取出2张花色相同的扑克牌，至少要取5张。（）

解答

1、v

2.V

3.Vo前6个笼子分别放0、1、2、3、4、5只，共需要：（5+0）x6+2=15（只），还剩

31-15=16只，这16只无论怎么放在剩下的4个笼子里，总和前面有一个相同的，即一定会

有2+1=3只笼子里有一样多的小兔.

所以原题说法正确.

4.x。根据题干分析可得：10+2=12（颗）

答：要想摸出2颗水果糖，至少要摸出12颗.

故答案为x.

5.Ve4xl+l=5（张）;

（三）选择题:

1、给一个正方体木块的6个面上分别画三种不同的平面图案，无论怎样画，至少有（）个

画面的图案相同。

A.2B.3C.4

解答

6+3=2（个）

给一个正方体木块的6个面上分别画三种不同的平面图案，无论怎样画，至少有2个画面的

图案相同.

故答案为：A

分析：

回忆用抽屉原理解决简单实际问题的方法，利用正方体面的个数6个除以平面图案的种数3

种等于2,所以至少有2个面画的图案相同.

2、刘阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子衣服的颜色

一样，至少给（）个孩子买衣服。

A.3B.4C.2

答案解析

3+1=4（个）

答：张阿姨至少给4个孩子买衣服.

故答案为：B

3、有红、黄、蓝、黑小球各10个，装在一个袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，

应至少摸出（）个小球。

A.7B.8C.9

答案解析

我们可以认为摸出4个小球，每个色小球各一个为一套9+4=2（套）......1（个）

如果这恰好是两套零一个，就保证了摸出的小球有3个颜色相同

所以，应至少摸出9个小球.

故答案为：C

4、10个孩子分进4个班，则至少有一个班分到的学生人数不少于（）个。

A.2B.3C.4

解答

3+1=4（个）;

故答案应选：C.

分析：

把颜色的种类看作"抽屉"，把孩子的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出：孩子的个数

至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个孩子的颜色一样；

5、小东玩掷塞子游戏，要保证掷出塞子的点数至少有两次相同，他最少要掷（）次。

A.5B.6C.7

答案解析

解：6+1=7（次）

故选C。

解析

【解题方法提示】

回想抽屉原理的定义，若有n个抽屉和n+1个物体，所有的物体都被放在抽屉里，那么至少

有一个抽屉里有至少2个物体；

把骰子的出现的六种情况看作"抽屉"，把掷出的次数看作"物体的个数"；

要保证至少有两次相同，那么物体个数应比抽屉数至少多1,据此解答即可。

6、25人中至少有（）人属相是相同的。

A.2B.3C.13D.24

答案解析

解：25:12=2..1（人）

2+1=3（人）

答：至少有3人的属相相同.

故答案选B.

故答案为：B

•解析

把12属相看作12个“抽屉"，把25人"看作物体的个数"，根据抽屉原理可得:25:12=2...1

（人），至少有2+1=3人的属相相同.

（四）解决问题:

（2）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？

答案解析

解：16+（6-1）=3（个）..1（个），

答：把16支铅笔最多放入3个铅笔盒里，才能保证至少有一个铅笔盒里的笔不少于6支.

•解析

把需要的盒子数看做抽屉；根据“至少有一个铅笔盒里的笔不少于6支"，从最不利的情况去

考虑，假设只有一个盒子里有6支；那么每个盒子先放5（6-1）支，需要的盒子数是:

16+5=3（个）...!（个），那么还剩的1支，无论放到那一个盒子里都能保证至少有一个文

具盒子里有6支铅笔，则可以得出最多放进3个铅笔盒.

(2)一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有

1只？

答案解析

解：根据分析可得，

5+5+1=11(只);

答：一次至少取出11只才能保证每种颜色至少有一只.

解析

一个袋子里有红、黄、蓝袜子各5只，最差的情况是，取出10只中，只有2种颜色的，如红

色的和黄色的，此时袋中只剩下5只蓝袜子，只要再任取一只，就能保证取出的每种颜色至少

有一只，即至少要取5+5+1=11只.

(3)布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有3个

小球的颜色相同？

答案解析

解：4x(3-1)+1=9(个)

答：从中至少摸出9个球，才能保证摸出的球一定有3个球的颜色相同。

解析

【考点提示】

此题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，理解抽屉原理是解题的关键；

【解题方法提示】

把四种颜色看作四个抽屉，从极端考虑：先摸出的每种颜色的球各2个，共8个球；再摸出1

个球，则一定有三种球是同色的，据此列式解答，试试吧!

（4）有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。参加体操表演的学生

中是否一定有2名是在同年同月出生的？

答案解析

解：从8岁到11岁，出生的月份共有（11-8+1）x12=48个，假设每个月出生的人数相同，

则49+48=1….1（个），即至少有两个人在同一月份出生。

答：一定有两个同学是同年同月出生。

解析

【考点提示】

认真分析题意，明确本题属于抽屉原理类型的问题，解答的关键是构建合适的抽屉；

【解题方法提示】

回忆抽屉问题的解题思路：至少数等于物体数除以抽屉数的商，如果有余数，则结果再加1；

从最不利情况分析，当每个月出生的人数相等时，同一个月出生的人数最少，先求出从8岁到

11岁共有多少个月份，即抽屉的个数，再分析是否一定有两个人在同一月出生。

(5)把280张卡片分给若干名同学，每人都要分到，但都不得超过10张。试说明至少有6

名同学得到的卡片数同样多。

答案解析

解：假设没有6人以上分到的卡片数相同，那么最多就5人分得的卡片张数相等，根据题意,

那么1-10每个数字最多有5个人分到那分的卡片数最多为：

1x5+2x5+3x5+4x5+6x5+7x5+8x5+9x5+10x5=275张,

不到280张，说明此假设不成立，所以可得至少有6名同学分得的卡片张数相等.

答：至少有6名同学得到的卡片数同样多。

解析

本题考查知识点：推理

根据题干假设没有6人以上分到的卡片数相同那么最多就人分得的卡片张数相等根据题意,

因为每个人分到的卡片不能超过10张，所以分到卡片的数量可以是：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10张，每种数量都有人分得，那么卡片数最多为275张，不

到280张，说明此假设不成立，至少有6名同学分得的卡片张数相等

解答此题的关键是利用假设法进行推理少于6名同学的情况不成立，从而得出原命题成立.

模块五'

课后自测练习

1、一个小组13个人，其中至少有（）人是同一个月出生的。

答案解析

2

解:13+2=1…1,

1+1=2（人），

答：至少有2人是同一个月出生的.

故答案为：2.

解析

一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把13个人看做13个元素，由此利用抽屉原

理即可解答.

此题考杳了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况.

2、6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

答案解析

2

解：6+5=1（只）.....1只，

1+1=2（只）

答：至少有2只鸽子飞进同一个鸽巢.

故答案为：2.

解析

此题考虑最差情况：每个笼子飞回的鸽子尽量平均，由此利用抽屉原理即可解答.

此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况.

3、盒子里有同样大小的红球、黄球各3个，要想摸出的球一定有2个是同色的，最少要摸出

()个球。

答案解析

解：2+1=3(个);

答：至少要摸出3个球，摸出的球一定有2个同色的.

故答案为：3.

解析

盒子里有同样大小的红、黄两种颜色的球，最坏的情况是，当摸出2