人教版七年级数学上册举一反三4.11几何图形初步章末八大题型总结(培优篇)(学生版+解析)

专题4.11几何图形初步章末八大题型总结（培优篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 1【题型2根据线段间的关系判断结论】 2【题型3根据线段间的关系求线段长度】 3【题型4钟表中的角度计算】 4【题型5根据角与角之间的关系判断结论】 5【题型6根据角与角之间的关系求角度】 7【题型7线段中的分类讨论思想问题】 8【题型8角度中的分类讨论思想问题】 10【题型1直线、射线、线段、角的相关概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有(

)（1）线段AB就是A、B两点间的距离；（2）画射线AB=10cm；（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是．【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.【题型2根据线段间的关系判断结论】【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（

）A．若BE−DE=0，则AE−CD=7 B．若BE−DE=2，则AE−CD=7C．若BE−DE=4，则AE−CD=7 D．若BE−DE=6，则AE−CD=7【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：①图中的点D，P，C，E都是动点；②AD>BE；③AB=2DE；④当AC=BC时，点P与点C重合．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3根据线段间的关系求线段长度】【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．

(1)求线段AM的长；(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．

解：设AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C为AB的中点，∴AC=______=______，∴EC=______−AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、

【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；

（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=【题型4钟表中的角度计算】【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是．

【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【题型5根据角与角之间的关系判断结论】【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12

【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（）A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=D．∠COD=【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（

）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF【题型6根据角与角之间的关系求角度】【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．

(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90

(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．

甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线AB上，∴∠AOB=°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=°．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．【题型7线段中的分类讨论思想问题】【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为．【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm

(1)图中共有___________条线段；(2)求AD的长；(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．(1)若线段BC=1，则线段AD=；(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．

（1）若AC=BC，点D与重合（填A、B、C）；（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为【题型8角度中的分类讨论思想问题】【例8】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．

(1)求∠AOD的度数；(2)作射线OE，使∠BOE=23∠COE(3)在（2）的条件下，作∠FOH=90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接写出∠AOH的度数．【变式8-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，则∠BOC的度数是．【变式8-2】（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度数．【变式8-3】（2023上·广东珠海·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)在图1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；(2)在图1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=32专题4.11几何图形初步章末八大题型总结（培优篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 1【题型2根据线段间的关系判断结论】 4【题型3根据线段间的关系求线段长度】 8【题型4钟表中的角度计算】 12【题型5根据角与角之间的关系判断结论】 18【题型6根据角与角之间的关系求角度】 22【题型7线段中的分类讨论思想问题】 29【题型8角度中的分类讨论思想问题】 34【题型1直线、射线、线段、角的相关概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年级河南省实验中学校考期中）下列语句正确的有(

)（1）线段AB就是A、B两点间的距离；（2）画射线AB=10cm；（3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是线段AB；（4）在直线上取A，B，C三点，若AB=5cm，BC=2cm，则AC=7cm．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据两点之间距离的定义可以判断A、C，根据射线的定义可以判断B，据题意画图可以判断D．【详解】∵线段AB的长度是A、B两点间的距离，∴（1）错误；∵射线没有长度，∴（2）错误；∵两点之间，线段最短∴（3）正确；∵在直线上取A，B，C三点，使得AB=5cm，BC=2cm，当C在B的右侧时，如图，AC=5+2=7cm当C在B的左侧时，如图，AC=5-2=3cm，综上可得AC=3cm或7cm，∴（4）错误；正确的只有1个，故选：A．【点睛】本题考查了线段与射线的定义，线段的和差，熟记基本定义，以及两点之间线段最短是解题的关键．【变式1-1】（2023上·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可．【详解】由题意得m=7，n=8故n−m=8−7=1故答案为：D．【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键．【变式1-2】（2023上·天津北辰·七年级统考期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是．【答案】①③【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；③射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；④直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故④说法错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．【变式1-3】（2023上·七年级单元测试）如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；（3）连接AC，与BD的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；（2）如图所示：∠CDB即为所求；（3）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．【题型2根据线段间的关系判断结论】【例2】（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（

）A．若BE−DE=0，则AE−CD=7 B．若BE−DE=2，则AE−CD=7C．若BE−DE=4，则AE−CD=7 D．若BE−DE=6，则AE−CD=7【答案】D【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明AE−CD=CE,再逐一分析即可得到答案.【详解】解：∵C为AD的中点，∴AC=CD=1∵BE−DE=0，则BE=DE=1∴AE−CD=AC+CD+DE−CD=AC+DE=CD+DE=CE=1故A不符合题意；∵BE−DE=2，则BE=DE+2,∴2CD+DE+DE+2=20,∴CD+DE=CE=9,同理：AE−CD=CE=9,故B不符合题意；∵BE−DE=4，则BE=DE+4,∴2CD+DE+DE+4=20,∴CD+DE=CE=8,同理：AE−CD=CE=8,故C不符合题意；∵BE−DE=6，则BE=DE+6,∴2CD+DE+DE+6=20,∴CD+DE=CE=7,同理：AE−CD=CE=7,故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系即中点的含义证明AE−CD=CE”是解本题的关键【变式2-1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：①图中的点D，P，C，E都是动点；②AD>BE；③AB=2DE；④当AC=BC时，点P与点C重合．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；③由题意及中点的性质可知正确；④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合．【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；②∵AD=∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC<BC，∴AD<BE，本选项错误；③由题意可知：DC=1∴DE=1④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．【变式2-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点，则下列结论：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．【详解】解：∵E是BC的三等分点，BC=3AB，∴EC=13BC∴AB=EC，∴AB+BE=EC+BE，∴AE=BC，∴EC=1故①正确；∵EC=1∴AE=3EC，∵AB=EC，∴AE=3AB，∵D是线段AB的中点，∴AD=BD=1∴DE=AE−AD=3AB−1∴DE=5故②正确；∵BE=2AB，AE=3AB∴1∵BE=AE−AB=3AB−AB=2AB，∴BE∴BE=2故③正确；∵BC=3AB，AD=1∴6∵AE=3AB，∴AE=6故④正确；综上，正确的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．【变式2-3】（2023上·福建泉州·七年级校联考期末）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据AB=30，BC比AC的4倍少20可分别求出AC与BC的长度；分别表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N为QM的中点得NQ=12【详解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，∴AC=10，BC=20，∴BC=2AC，①正确；∵P、Q两点的运动速度分别为2单位/秒和1单位/秒的速度，∴BP=30-2t，BQ=t，∵M为BP的中点，N为QM的中点，∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，∴运动过程中，QM的长度保持不变，AB=4NQ，②③正确；∵PB=30-2t，BQ=t，当BQ=PB时，，∴30-2t=t，解方程得：t=10，④错误；∴①②③项结论正确．故选C．【点睛】本题考查线段中点的性质，两点间的距离，解题的关键是运用数形结合的思想推出相关线段之间的关系式.【题型3根据线段间的关系求线段长度】【例3】（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．

(1)求线段AM的长；(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．【答案】(1)4(2)MN的长度是10【分析】（1）根据线段的和差关系，可得AC=8，根据点M是AC的中点，可得AM=1（2）由CN:NB=2:3，求得CN=6,根据点M是AC的中点，求得MC，根据MN=MC+NC即可求解．【详解】（1）解：线段AB=23，BC=15，∴AC=AB−BC=23−15=8，又∵点M是AC的中点．∴AM=12AC=12（2）解：∵BC=15，CN:NB=2:3，∴CN=2又∵点M是AC的中点，AC=8，∴MC=1∴MN=MC+NC=4+6=10，即MN的长度是10．【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，数形结合是解题的关键．【变式3-1】（2023上·河北承德·七年级统考期末）根据题意，补全解题过程．如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE:EB=2:5，若EC=3，求线段AB的长度．

解：设AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C为AB的中点，∴AC=______=______，∴EC=______−AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【答案】5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；【分析】根据线段之间的关系按照推理过程即可解答．【详解】设AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=5x，∴AB=AE+EB=7x，∵C为AB的中点，∴AC=BC=3.5x，∴EC=AC−AE=1.5x，∵EC=3，∴x=2，∴AB=7x=14，故答案为：5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；【点睛】本题考查了两点间的距离以及推理过程的完整书写，解题的关键是正确理解题干中的信息和把握图中的线段关系．【变式3-2】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、

【答案】48【分析】根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵BD=1∴AB=3BD，CD=4BD．∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，AM=BM=12AB=∵BN=DN−BD=2BD−BD=BD，BC=CD−BD=4BD−BD=3BD，∴MN=BM+BN=3解得BD=8．∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48cm【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，熟练的利用线段的和差倍分关系建立方程解题是关键．【变式3-3】（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=12，AC=8，求MN的长；

（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=②若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=【答案】（1）6；（2）①23a【分析】（1）由中点的定义可得MC=12AC,CN=（2）由AM=13AC，BN=13（3）仿照（2）的过程求解即可．【详解】解：（1）∵M，N分别是AC，BC的中点∴MC=∵AB=12∴MN=MC+CN=（2）①∵AM=∴MC=∵AB=a∴MN=MC+CN=2②∵AM=∴CM=∴MN=CM+MN=CM+CN=∴AB=a∴MN=n−1【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【题型4钟表中的角度计算】【例4】（2023上·浙江金华·七年级统考期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分钟或960【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．【详解】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，2.5×30°=75°，即分针与时针所夹的锐角的度数是75°．（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，8×30°=240°，由题意，6x−0.5x=240，解得x=480即8：00开始48011（3）解：设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240−6m，解得m=480如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m−240解得m=960如图③，当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，∴6m−240=2×0.5m，解得m=48；综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．【变式4-1】（2023上·福建宁德·七年级统考期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是．

【答案】720【分析】根据题意可得当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走30°60°=12°，根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，经过m【详解】解：

∵3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，分针在秒针的左侧，秒针不动，∴当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走360°60°=6°，时针每分钟走根据题意得：∠AOB=∠BOC=45°，经过m分钟后，∠AOA1=360°−6°×m∵OB平分∠A∴∠A∴∠A∴360−6m+45=45+1解得：m=720故答案为：72013【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，正确理解题意列出方程是解题的关键．【变式4-2】（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（(1)当t=3秒时，求∠AOB的度数；(2)当OA与OB第三次重合时，求∠BOM的度数；(3)在OA与OB第四次重合前，当t=___________时，直线MN平分∠AOB．【答案】(1)120°(2)45°(3)18或54秒【分析】（1）根据∠AOB=180°−∠AON−∠BON，求出∠AON、∠BON即可．（2）设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=360×2+180，解方程求出t，进一步即可求出∠BOM的度数．（3）先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后根据∠BON=∠AON求出t的值，即可得到答案．【详解】（1）解：当t=3秒时，∴∠AOM=15°×3=45°，∠BON=5°×3=15°，∴∠AOB=180°−45°−15°=120°；（2）解：设t秒后第三次重合，由题意得15t+5t=360×2+180，解得t=45，5°×45−180°=45°．答：∠BOM的度数为45°；（3）解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；在OA与OB第一次重合后第二次重合前，∠BON=5t°，∠AON=依题意有5t=15t−180，解得t=18；在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；在OA与OB第三次重合后第四次重合前，∠BON=360−5t°，依题意有360﹣解得t=54．故当t=18或54秒时，直线MN平分∠AOB．故答案为：18或54秒．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式4-3】（2023上·山东济南·七年级统考期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【答案】(1)30°(2)20°(3)8011【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可．【详解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM=1（2）当射线OC在∠AOB内部时，如图所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM−∠BON=30°−10°=20°；当射线OC在∠AOB外部时，如图所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；综上所述，∠MON的度数为20°或（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴∠AOB=2∠BOM=100°设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°，∵分针OB的运动速度为每分钟转动：360°60时针OA的运动速度为每分钟转动：360°12×60∴6°x−0.5°x=100°−60°，解得x=80所以经过8011分钟后，∠BOM【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键．【题型5根据角与角之间的关系判断结论】【例5】（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12

【答案】①②④【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE，进而得到∠AOE=∠BOC，根据OD是∠AOB的平分线，得到∠AOD=∠BOD=1【详解】解：∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，∴∠AOB=∠COE，∴∠AOB+∠BOE=∠COE+∠BOE，∴∠AOE=∠BOC，∴∠AOE=3∠COE，∠AOE=3∠AOB，∴∠COE=1∴∠BOE=2∠AOB，∵OD是∠AOB的平分线，∴∠BOD=∠AOD=1∴∠BOE=2∠AOB=4∠BOD，∴∠DOE=5∠BOD，故②正确；∵∠AOE=3∠AOB，∠BOC=3∠AOB，∴∠AOE+∠BOC=6∠AOB，∴12∵∠BOE=2∠AOB，∴∠BOE≠1∵65∠BOC−∠AOD=∴∠AOE=6故答案为：①②④．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．【变式5-1】（2023上·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（）A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=D．∠COD=【答案】C【分析】根据角平分线的定义和角的和差逐一进行判断即可．【详解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD，故正确；B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正确；C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=23∴∠BOC=23D、∵∠AOB=∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，∴∠COD=12故选C．【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键．【变式5-2】（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（

）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【答案】B【分析】先求解2∠BON=180°−2∠AOM,利用角平分线的定义再求解∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,从而可得答案.【详解】解：∵∠MON=90°,∴∠AOM=90°−∠BON,∴2∠BON=180°−2∠AOM,∵OC平分∠BOM,∴∠MOC=∠BOC=1∴∠AOM=180°−2∠BOC=180°−2∠BON−2∠CON,∴∠AOM=180°−(180°−2∠AOM)−2∠CON,∴∠AOM=2∠CON.故选B【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解本题的关键.【变式5-3】（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，现给出以下4个结论：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF−∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF【答案】①②④【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE③无法证明∠AOD=∠BOC；④根据∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD【详解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC∠AOF=∠BOF=1∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=1即∠DOE=1∴∠DOE=∠AOF，故①正确；②∵∠DOF=∠DOE−∠EOF======∠AOF−∠COF=∠BOF−∠COF=∠BOC，∴2∠DOF=∠AOF−∠COF，故②正确；③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，∠DOF=1∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COF+∠DOF=∠COD，∵∠COF+∠BOF=∠COF+∠AOF=∠AOC=2∠COD，∴∠EOF=1综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF=1【题型6根据角与角之间的关系求角度】【例6】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．

(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α．①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由见解析(2)①40°②∠COE=【分析】（1）根据∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，即可确定两个角的大小；（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE=2∠AOC=2α，∠COD=∠COE+∠DOE=3α，根据∠COD=60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOD计算即可；②分两种情况：当0°<α<60°时，当60°<α<120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．【详解】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：∵∠COD=60°，∠AOD=90°，∴∠AOC=∠AOD−∠COD=30°，又∵∠AOB=120°∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=30°，∴∠BOD=∠AOC；（2）①∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC=∠EOC=α，∴∠AOE=2∠AOC=2α，∵OE为∠AOC的平分线，∴∠DOE=∠AOE=2α，∴∠COD=∠COE+∠DOE=3α，∵∠COD=60°，∴3α=60°，∴α=20°，∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=120°−4α=40°；②分情况讨论：当0°<α<60°时，

∵∠BOD=∠AOB−∠COD−∠AOC=60°−α，∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOE−∠AOC=1∴∠COE=1当60°<α<120°时，

∵∠BOD=∠AOC+∠COD−∠AOB=α−60°，∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD的平分线，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOC−∠AOE=α−1∴∠COE=1综上所述，∠COE=1【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度数．【答案】85°【分析】由余角的定义可求得∠BOD=50°，再由角平分线的定义可得∠DOE=25°，即可求∠COE的度数．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠AOD=40°，∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=50°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1∵∠COD=110°，∴∠COE=∠COD−∠DOE=85°．【点睛】本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．【变式6-2】（2023下·山东泰安·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90

(1)如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE=25∘时，(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系．【答案】(1)40°(2)∠BOD=2∠COE【分析】（1）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分线定义得出∠EOC=12∠AOC（2）由已知得出∠AOC=90°−∠BOD，由角平分线定义得出∠AOE=12∠AOD=【详解】（1）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵OE为∠AOC的角平分线，∴∠COE=1∴∠AOC=25°×2=50°，∴∠BOD=90°−∠AOC=90°−50°=40°；（2）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠AOC=90°−∠BOD，∵OE为∠AOD的角平分线，∴∠AOC+∠COE=12∠AOD=45°+∴90°−2∠COE=90°−∠BOD，即∠BOD=2∠COE．【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．【变式6-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD．当∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数．

甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线AB上，∴∠AOB=°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=°．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“∠BOC=40°”的条件改成“∠BOC=α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD=∠BOE成立？请直接写出此时α的值．【答案】(1)180，140，70，160(2)正确，理由见解析，∠DOE=60°或160°(3)α=120°或144°【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；（2）由题意，还有∠AOD在∠AOC的外部时的情况，根据平角定义求解即可；（3）由题意，∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，分∠AOD在∠AOC的内部和∠AOD在∠AOC的外部，由∠AOC=2∠AOD求出α即可．【详解】（1）解：∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=1∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=160°，故答案为：180；140；70；160；（2）解：正确，理由如下：当∠AOD在∠AOC的外部时，如图所示：

∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°，∵∠AOC=2∠AOD，∴∠AOD=70°，∵∠COE=90°，∴∠BOE=50°，∴∠DOE=∠AOB−∠AOD−∠BOE，∴∠DOE=60°，综上所述，∠DOE=60°或160°；（3）解：∵∠BOC=α，∠COD=∠BOE，∴∠BOE=∠COD=α−90°，∠AOC=180°−α，当∠AOD在∠AOC的内部时，如图，

∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD，即∠AOC=2∠COD∴180°−α=2α−90°解得：α=120°；当∠AOD在∠AOC的外部时，如图，

∵∠AOC=2∠AOD，∴∠AOD=1∵∠COD=∠AOC+∠AOD，∴α−90°=180°−α+1解得：α=144°，综上，α=120°或144°．【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．【题型7线段中的分类讨论思想问题】【例7】（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为．【答案】6或10或16【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：

∵AB=8，BC=3，CD=5，∴AD=AB+BC−CD=8+3−5=6，II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：

∴AD=AB+BC−CD=8+3+5=16，III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：

∴AD=AB−BC−CD=8−3−5=0，点A、D重合，不合题意，IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：

∴AD=AB−BC+CD=8−3+5=10，点A、D重合，不合题意，综上所述：AD的长为6或10或16故答案为：6或10或16．【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度．【变式7-1】（2023上·山西晋城·七年级统考期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB=9cm

(1)图中共有___________条线段；(2)求AD的长；(3)若点E在直线AB上，且EA=3cm，直接写出DE【答案】(1)6(2)6.75cm(3)3.75cm或9.75cm【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；（2）根据线段的中点和两条线段的和的定义，求出结果；（3）由于点E在直线AB上的具体位置不确定，故应分点E在点A的左边和点E在点A的右边两种情况分别求解．【详解】（1）图中有6条线段，它们是线段AC，AD，AB，CD，CB，DB．故答案为：6．（2）∵点C是线段AB的中点，AB=9cm∴AC=CB=1∵点D是线段CB的中点，∴CD=DB=1∴AD=AC+CD=6.75（3）当点E在点A的左边，EA=3cm∴DE=AE+AD=9.75cm当点E在点A的右边，EA=3cm∴DE=AD−AE=3.75故答案为：3.75cm或9.75cm．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义和线段和差的定义，熟练掌握各线段之间的和差以及倍数关系是解本题的关键．【变式7-2】（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知，直线l上线段AB=6、线段CD=2(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)．(1)若线段BC=1，则线段AD=；(2)如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；(3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN=2DN，求线段CD运动的时间．【答案】(1)7或9(2)PQ=2；(3)线段CD运动的时间为2s或18【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论；（2）设BC=x，则AD=AB+BC+CD=8+x，根据线段中点的定义得到PD=12AD=4+（3）线段CD运动的时间为t，则AM=2t，BC=t，列方程即可得到结论．【详解】（1）解：①当点C在点B的左侧时，∵AB=6，∴AC=5，∴AD=AC+CD=7；②当点C在点B的右侧时，∵AB=6，∴AD=AB+BC+CD=9，∴线段AD=7或9；故答案为：7或9；（2）解：设BC=x，则AD=AB+BC+CD=8+x，∵点P、Q分别为AD、BC的中点，∴PD=12AD=4+∴PQ=PD−CD−CQ=4+1（3）解：线段CD运动的时间为t，则AM=2t，∴BM=AB−AM=6−2t或BM=AM−AB=2t−6，BD=BC+CD=t+2，∵点N是线段BD的中点，∴DN=BN=1∵MN=2DN，∴6−2t+12t+1=2解得：t=2或t=18．故线段CD运动的时间为2s或18【点睛】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键．【变式7-3】（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．

（1）若AC=BC，点D与重合（填A、B、C）；（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为【答案】C6或14【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得CD=0，即可确定答案；（2）分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．【详解】（1）解：由折中点含义得：AD=CD+BC，而AC=BC，AD=AC−CD，∴AC−CD=CD+AC，∴CD=0，即点D与点C重合；故选：C；（2）解：当点D在线段AC上时，则CD+BC=AD=AC−CD，∴BC=A