北师大版2019选择性必修第一册专题5.4二项式定理(5类必考点)(原卷版+解析)

专题5.4二项式定理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：二项展开式与通项】 1【考点2：二项式系数与项系数】 3【考点3：二项展开式中的系数和】 4【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 6【考点5：二项式定理的应用】 7【考点1：二项展开式与通项】【知识点：二项展开式与通项】二项展开式公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理二项式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk为展开式的第k＋1项[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤1．（2007·全国·高考真题（文））二项式(2+3A．6项 B．7项 C．8项 D．9项2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）化简x+14−4x+1A．x4 B．x−14 C．x+14 3．（2007·四川·高考真题（文））(1−2x)10展开式中的x4．（2007·四川·高考真题（文））x−1xn5．（2007·安徽·高考真题（理））若x+1x−2n的展开式中常数项为6．（2022·全国·高三专题练习）展开式x27．（2022·全国·高三专题练习）1−yx(x−y)8．（2022·全国·高三专题练习）5-3x+2y9．（2022·全国·高三专题练习）求展开式2x10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）记(2x+1x)n展开式中第(1)求bm(2)若n=6，求展开式中的常数项；(3)若b3=2b【考点2：二项式系数与项的系数】【知识点：二项式系数与项的系数】二项式系数二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(r,n)(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Ceq\o\al(r,n)an－rbr1．（2022·全国·高三专题练习）若2x−1A．−160 B．160 C．−1120 D．11202．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知1x+my2x−y5的展开式中x2A．-2 B．-1 C．1 D．23．（2007·全国·高考真题（理））ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数4．（2023·全国·高三专题练习）xx+1x4n的展开式中，第5．（2022·全国·高三专题练习）已知(x+m)(2x−1)6的展开式中x26．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中7．（2022·全国·高三专题练习）(x+y2x【考点3：二项展开式中的系数和】【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校高三期中（理））1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．−32．（2022·全国·高三专题练习）已知Cn3=Cn6，设A．−1 B．0 C．1 D．23．（2023·全国·高三专题练习）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（

）A．a0的值为2B．a5的值为16C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5D．a1＋a3＋a5的值为1204．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式ax−1A．若a＝1，则展开式中的常数项为15B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1C．若展开式中的常数项为60，则a＝2D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝25．（2022·广东佛山·高三期中）设(2x−1)5=aA．a0=1 C．a0+a6．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）若2x−110=a0+A．a1+aC．a2=160 7．（2023·全国·高三专题练习）设x−12+x3=a08．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知1+a9．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x10．（2022·上海市向明中学高一期末）已知对任意给定的实数x，都有(1−2x)100(1)a0(2)a111．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知3−2x11(1)a1(2)a1(3)a1【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-53762．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知x+2x2nA．3 B．4 C．5 D．63．（2022·全国·高二课时练习）已知m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a=7b，则m的值为（A．4 B．5 C．6 D．74．（2022·全国·高三专题练习）设(1+2x)10=aA．a0=1 C．a2=95．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知二项式x36．（2023·全国·高三专题练习）已知x+akk∈N∗,a∈R的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且7．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）在x+3(1)求正整数n的值；(2)求x+38．（2022·全国·高二课时练习）已知3x(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【考点5：二项式定理的应用】【知识点：二项式定理的应用】1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（

A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.9332．（2022·全国·高二单元测试）关于x−12021及其二项展开式，下列说法正确的是（A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2B．该二项展开式中第8项为−C．当x=100时，x−1D．该二项展开式中不含有理项3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1−2x)6=a0A．aB．aC．aD．f(5)被8整除余数为74．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（

）A．若(2x−1)10=B．1.0510精确到0.1的近似值为C．5555D．若1+2Cn5．（2007·全国·高考真题）91926．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数①0；②11；③12；④25．7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．第8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=(1)求a1(2)求f(20)−20被6整除的余数．专题5.4二项式定理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：二项展开式与通项】 1【考点2：二项式系数与项系数】 5【考点3：二项展开式中的系数和】 8【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 14【考点5：二项式定理的应用】 17【考点1：二项展开式与通项】【知识点：二项展开式与通项】二项展开式公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理二项式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk为展开式的第k＋1项[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤1．（2007·全国·高考真题（文））二项式(2+3A．6项 B．7项 C．8项 D．9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【详解】二项式的通项Tr+1若要系数为有理数，则25−r2∈Z，r3即r2∈Z，r故系数为有理数的项共有9项.故选：D2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）化简x+14−4x+1A．x4 B．x−14 C．x+14 【答案】A【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.【详解】x+1==故选：A.3．（2007·四川·高考真题（文））(1−2x)10展开式中的x【答案】−960【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3求出展开式中x3【详解】解:设求的项为Tr+1令r=3，∴T4=−C1032故答案为：−9604．（2007·四川·高考真题（文））x−1xn【答案】8【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为T4+1【详解】由题意知，(x−1Tr+1所以第5项为T4+1由第5项为常数项，得n−8=0，解得n=8.故答案为：8.5．（2007·安徽·高考真题（理））若x+1x−2n的展开式中常数项为【答案】3【分析】先凑二项式，再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数是0得常数项，列出方程即可求解.【详解】由题意得x+1x−2n=x−1∴展开式中的常数项为−1nC2nn故答案为：36．（2022·全国·高三专题练习）展开式x2【答案】12600【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中Tr+1=C10r【详解】x2+1x2+1y3+1若展开式中的常数项满足，则可得20−2r−3k=03r−4m=0r,k,m∈N故常数项为：C10故答案为：12600.7．（2022·全国·高三专题练习）1−yx(x−y)【答案】-84【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成x5【详解】解：由题知1−y将含x5y3项记为M故含x5故答案为：-848．（2022·全国·高三专题练习）5-3x+2y【答案】15625【分析】根据题意，令y的指数为0，得5-3xn，再令x=1，得5-3x+2yn【详解】5-3x+2yn展开式中不含y的项，即展开式中再令x=1，得5-3x+2yn展开式中不含y求5-3x+2y所以展开式中的常数项为C6故答案为：156259．（2022·全国·高三专题练习）求展开式2x【答案】−15【分析】原式可化为2x−3【详解】由题知：原式＝2x(x−1x)令3−3k2=32，得k=1即原式展开式中的常数项为：−2C10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）记(2x+1x)n展开式中第(1)求bm(2)若n=6，求展开式中的常数项；(3)若b3=2b【答案】(1)b(2)160(3)5【分析】(1)利用二项式定理写出(2x+1x)n展开式的第（1）由题意，(2x+1x)n=故bm（2）当n=6时，(2x+1x)令6−2r=0，即r=3，此时展开式中的常数项26−3即展开式中的常数项为160.（3）因为b32n−2Cn由组合数性质可知，n=5.【考点2：二项式系数与项的系数】【知识点：二项式系数与项的系数】二项式系数二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(r,n)(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Ceq\o\al(r,n)an－rbr1．（2022·全国·高三专题练习）若2x−1A．−160 B．160 C．−1120 D．1120【答案】A【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得n，由此可得展开式通项，令r=3即可求得常数项【详解】因为2x−1xn∴Cn1∴2x−令3−r=0，解得：r=3，∴该展开式中的常数项为C6故选：A2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知1x+my2x−y5的展开式中x2A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【分析】首先变形得1x+my2x−y5=【详解】由题意可得1x在1x2x−y5令4−r=2r=4无解，即1x2x−y在my2x−y5的展开式中，由令5−r=2r+1=4解得r=3，即my2x−y5的展开式中x2y4的项的系数为−13故选：B3．（2007·全国·高考真题（理））ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数【答案】1+【分析】利用二项展开式通项公式求得所需系数，再利用等差中项公式得到关于a的方程，求解即可得到a的值.【详解】因为ax+17=1+ax故x3的系数为a3C73=35a3，所以由题意可得21a2+35解得a=0或a=1±10因为a>1，所以a=1+10故答案为：1+104．（2023·全国·高三专题练习）xx+1x4n的展开式中，第【答案】4【分析】根据题中条件求出n的值，写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数值，即可得解.【详解】由题意可得Cn2−∵n∈N∗，解得xx+1由33−11k2=0，可得k=3，因此，展开式中的常数项是第故答案为：4.5．（2022·全国·高三专题练习）已知(x+m)(2x−1)6的展开式中x2【答案】8【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于x2的找出相加等于20即可求出m【详解】解:由题知,(x+m)(2x−1)所以展开式中x2系数是C解得：m=8故答案为：86．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中【答案】15【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出n，再根据二项式定理计算展开式中x3【详解】令x=1,得所有项的系数和为4n,二项式系数和为2n,所以4n2n=2n令5−r2所以x3项的系数是故答案为：157．（2022·全国·高三专题练习）(x+y2x【答案】7【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式(x+y2x令r=2，所以x2y2故答案为：7【考点3：二项展开式中的系数和】【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校高三期中（理））1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．−3【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取x=【详解】因为1+x4令x=−1故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知Cn3=Cn6，设A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a【详解】因为Cn3=所以2x−39令x=2，得2×2−39=a令x=1，得2×1−39所以a1故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（

）A．a0的值为2B．a5的值为16C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5D．a1＋a3＋a5的值为120【答案】ABC【分析】对于A，利用赋值法，令x=0即可求解；对于B，利用二项式展开式的通项进行求解；对于C，利用赋值法，令x=1得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再减去a0对于D，利用赋值法，分别令x=1与x=−1，得到两个式子联立即可求解.【详解】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项为Tr+1=C对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6

①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6

②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确.故选：ABC4．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式ax−1A．若a＝1，则展开式中的常数项为15B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1C．若展开式中的常数项为60，则a＝2D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2【答案】AB【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.【详解】二项式ax−1对于A，若a＝1，则x−1x6令6−32r=0，得r对于B，若a＝2，令x=1，则2x−1x6对于C，由通项Tr+1令6−32r=0故所求常数项为C64⋅对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为a−16由已知得，a−16=64，解得a＝﹣1或故选：AB．5．（2022·广东佛山·高三期中）设(2x−1)5=aA．a0=1 C．a0+a【答案】CD【分析】赋值令x=0,x=1,x=−1，代入整理运算，逐项判断.【详解】令x=0，则(−1)5=a令x=1，则15=a则a1令x=−1，则−35=a由①②可得：a0+a故选：CD.6．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）若2x−110=a0+A．a1+aC．a2=160 【答案】BD【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，2x−110令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1对选B，因为2x−110所以a0+a令x=1，则a0对选项C，a2x2对选项D，因为2x−110=a令x=12，则则a1故选：BD7．（2023·全国·高三专题练习）设x−12+x3=a0【答案】

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31【分析】a1即为x−12+x3又x−12+x3=x2+x3−=a1+2a2x+3【详解】因x−12+x则a1注意到x−1=a1+2a得a1+2a2+3a3故答案为：−4；31.8．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知1+a【答案】80【分析】先运用赋值法求出a的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.【详解】令x=1，可得1+ax2x−1x1+ax2x−1x故答案为：80.9．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x【答案】40【分析】根据题意，令x=1，求出a，再利用公式求出x2【详解】令x=1，则(a+1)5=243，得对于(2x+1)5，其展开式中x2项的系数为：故答案为：4010．（2022·上海市向明中学高一期末）已知对任意给定的实数x，都有(1−2x)100(1)a0(2)a1【答案】(1)1(2)1−【分析】（1）利用赋值法求解，令x=0可得结果；（2）利用赋值法求解，令x=−2可得结果；【详解】（1）因为(1−2x)100令x=0，则a0（2）令x=−2，则a0由（1）知a0两式相减可得a111．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知3−2x11(1)a1(2)a1(3)a1【答案】(1)1−(2)5(3)−22【分析】（1）利用赋值法即可得解；（2）先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解；（3）利用导数及赋值法即可得解.【详解】（1）因为3−2x11所以令x=0，得3−2×011=a令x=1，得a0所以a1（2）因为3−2x11的二项式展开通项为T所以a0,a故a1令x=−1，得a0−a又因为a0所以a1（3）令fx则f'x=11令x=1，则f'1=−22所以a1【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n∴展开式的通项为T则该展开式中各项系数a若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar∴系数的最小值为a故选：C.2．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知x+2x2nA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.【详解】x+2x则第3项的系数为Cn2⋅因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116所以Cn2⋅22所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a=7b，则m的值为（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据二项式系数的性质确定a,b，由关系13a=7b列方程求m的值.【详解】由题意可知C2mm=a,∴13C2mm∴13=7×2m+1m+1，解得故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）设(1+2x)10=aA．a0=1 C．a2=9【答案】AC【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出a1、a【详解】因为(1+2x)10=a0+令x=1得a0+a二项式(1+2x)10展开式的通项为T所以a1=C101因为二项式(1+2x)10展开式共11项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为C故选：AC.5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知二项式x3【答案】−160【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.【详解】由题意知，n=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.T4故答案为：-160.6．（2023·全国·高三专题练习）已知x+akk∈N∗,a∈R的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且【答案】−12【分析】根据二项式系数的性质求出k的值，再利用二项展开式的通项，结合已知条件求出a的值，即可得出答案．【详解】∵x+ak的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴二项展开式的通项Tr+1=C6∴x3项的系数为a3则a⋅k=−12．故答案为：−12．7．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）在x+3(1)求正整数n的值；(2)求x+3【答案】(1)3；(2)540【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值.(2)由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项.（1）∵在x+3x2n（2）由（1）小问可知n=3，∴x+3x2n故二项式系数最大的项为T48．（2022·全国·高二课时练习）已知3x(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)358；(2)【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出n.当n是偶数时，中间项的二项式系数Cnn2最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数C（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．（1）3x+123xn的展开式的通项Tr+1=Cnr3xn−r12（2）由（1）得展开式中系数为Cnr(12)r由C8r(12)r≥【考点5：二项式定理的应用】【知识点：二项式定理的应用】1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（

A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【分析】由二项式定理求解【详解】0.997故选：C2．（2022·全国·高二单元测试）关于x−12021及其二项展开式，下列说法正确的是（A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2B．该二项展开式中第8项为−C．当x=100时，x−1D．该二项展开式中不含有理项【答案】BC【分析】对于A，由二项式系数的性质，由公式可得答案；对于B，根据二项式定理的通项公式，令r=7时，可得答案；对于C，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；对于D，利用二项式定理通项，使x的指数为整数，可得答案.【详解】偶数项的二项式系数之和为22020展开式中第8项为T7+1当x=100时，x=100C∵C2021∴当x=100时，x−1x−12021的展开式的