苏科版九年级数学上册专题2.3弧、弦、圆心角【十大题型】同步练习(学生版+解析)

专题2.3弧、弦、圆心角【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆心角、弧、弦的概念辨析】 1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 2【题型3用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 4【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 5【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 6【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 7【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 8【题型8利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 9【题型9利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 10【题型10利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 11【知识点弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【题型1圆心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（

A．30° B．35° C．40° D．55°【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD=．

【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，A．100° B．110° C．120° D．130°【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（

）

A．37° B．74° C．53° D．63°【题型3用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（

）A．2 B．3 C．1 D．2【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC<CB，点D是弧ADB的三等分点BD<AD，若直径AB=12，则【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为

【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为．【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为9cm．【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为63π．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是．【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝25π2【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．2 B．3 C．3+224【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（

）A．56 B．58 C．60 D．62【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝．【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（

）A．当x1>x2时，dxC．当x1+x2=1时，d【题型8利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD

【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．

【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使

(1)求证：△DBC≅△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥

(1)求证：点C平分BD．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．【题型9利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB2【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（）cm．【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为．

专题2.3弧、弦、圆心角【十大题型】 【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆心角、弧、弦的概念辨析】 1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 4【题型3用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 7【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 12【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 15【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 19【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 23【题型8利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 26【题型9利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 30【题型10利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 34【知识点弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【题型1圆心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵在⊙O中，AB=∴AB=CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴AC=∴AC=BD，故②正确；∴∠AOC=∠BOD，故③正确；综上分析可知，正确的有4个．故选：D．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．【答案】真命题假命题真命题假命题【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为30°和330°所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【答案】B【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【详解】解：A、∵点A是CB中点，∴AB=∴AB=AC，无法得出AB=OC，故选项A错误；B、如图：连接BO，∵AB=∴∠BOA=∠AOC，∵BO=AO=CO，∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；C、∵AB=AC，∴BC≠2AC，故选项C错误；D、无法得出∠BAC+1故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（

A．30° B．35° C．40° D．55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=1故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD=．

【答案】70°【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．【详解】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【分析】先根据已知易得AB=BC=AC，从而可得【详解】解：∵半径OA，∴AB=∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠AOD=1∵∠AOE=1∴∠AOE=1∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（

）

A．37° B．74° C．53° D．63°【答案】D【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA=74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：如下图，连接OA，

∵A是劣弧DF的中点，即DA=∴∠DOA=∠FOA，∵∠EOD=32°，∴∠DOA=∠FOA=1∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD=1即∠CDA=53°．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．【题型3用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则【详解】解：如图所示，连接OC，∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得CG=∴CD=2CG=8，∵点C是BE的中点，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故选D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（

）A．2 B．3 C．1 D．2【答案】D【分析】延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算【详解】解：延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，∵C为折叠后AB的中点，∴AC=∴AC=BC，∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分线，∴AE=BE=1在Rt△AOE中，OE=∴DE=OD−OE=5−3=2，∵ADB沿AB折叠得到ACB，CD⊥AB，∴点C和点D关于AB对称，∴CE=DE=2，∴OC=OE−CE=3−2=1，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC<CB，点D是弧ADB的三等分点BD<AD，若直径AB=12，则【答案】2【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB=60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，则∠DEC=90°，∵点C是直径AB的三等分点AC<CB，直径∴AC=4，BC=8，OD=OA=OB=6，∴CO=2，∵点D是弧ADB的三等分点BD<∴∠DOB=1∴∠ODE=30°，∴OE=1DE=O∴CE=OE+CO=3+2=5，∴DC=D故答案为：213【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB=60°和半径的长度是解此题的关键．【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为

【答案】4【分析】过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，则AE=12AB=4，连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径．根据平行线的性质得到MN⊥CD【详解】解：过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，如图所示：

则AE=1连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CN∵CD∴CN∴CD∴AN=CD，在Rt△AOE中，OE=O∴ME=5−3=2，在Rt△AEN中，AN=A∴CD=AN=45故答案为45【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为．【答案】8πcm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【详解】解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴AD=∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．故答案为：8πcm．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．【答案】圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°.【分析】求弦所对的圆周角，要分情况考虑：当圆周角在优弧上或在劣弧上．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．【详解】如图，∵弦AB分圆周长为1：4∴弧AB＝15∴圆心角∠AOB＝72°，﹣圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦以及圆周角定理，要特别注意弦所对的圆周角应分两种情况．【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．故答案为：9cm．【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为63π．【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=∴BC=∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=1∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝33，∴⊙O的周长是2×π×33=63故答案为63π．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是．【答案】4【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积．【详解】解：连接EO，∵AB=BC=CD=2，∴∠AOB=180÷3=60°，∴△AOB是等边三角形，那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．∵E是AD的中点，∴AE=DE，∴EO⊥AD，∵EO=2，∴△ADE的面积=12故答案为4【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等．【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝25π2【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圆故答案为：25π2【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．【答案】（1）详见解析；（2）3【分析】（1）连接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分线定理可得CD=CE；（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得OD=12OC=1，由勾股定理可得CD=3，可得S△CDO【详解】（1）证明：连接OC．∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°．∵∠CDO=90°，∴∠OCD=30°，∵OC=OA=2，∴OD=1∴CD=O∴S△CDO同理可得S△CBO∴S四边形CDOE【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．2 B．3 C．3+224【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度数＝60°，又∵AB＝BC＝CD，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=2∴弧FD＝弧FA，∴△FAD为等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG在Rt△AGC中，CG＝AG=6∴S△ACF=12CF•AG=12×故选：D．【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=1可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故BC的度数是150°．故选：C．【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（

）A．56 B．58 C．60 D．62【答案】A【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到AM＝DC＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果．【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴AM＝DC＝62°，∴AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键．【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求【答案】50°【分析】连接CD，先根据三角形内角和计算出∠B=70°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∴∠B=∠BDC=70°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=40°，再根据直角的性质求出∠DCE=50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：如下图，连接CD，∵∠C=90°，∴∠B=90°−20°=70°，∵CB=CD，∴∠B=∠BDC=70°，∴∠BCD=180°−70∴∠DCE=90°−40°=50°，∴DE的度数为50°【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝．【答案】(1)75°(2)3【分析】（1）根据AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形底角相等得∠ODB=∠DEB=25°，再根据三角形的外角定理得到∠ODC，从而得到∠OCD=50°，再通过三角形外角定理即可得到∠AOC的度数．（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．【详解】（1）解：如下图所示，连接OD，由题意得AB=2OD，∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠ODB=∠DEB=25°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵∠ODC=∠ODE+∠DEO=50°,∴∠OCD=50°，∵∠AOC=∠OCE+∠CEO=50°+25°=75°,∴∠AOC=75°；（2）解：∵AC对应的圆心角∠AOC=75°，BD对应的圆心角∠BOD=25°，∴m=∠AOC【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较【答案】A【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P【详解】连接P1

∵点P1~P8∴P1P∴P又∵△P1P四边形P3P4∴b−a=P3=在△P1∴b−a=故选A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【答案】见解析【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得．【详解】PC=PD.连接OC、OD,则∵BC=BD,∴∠BOC=∠BOD,又OP=OP,OC=OD,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键.【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小【答案】D【分析】作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，根据题意，得出AE=BE=【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=∵AB=2∴AE=∴AE=BE=CD，在△ABE中，∵AE+BE>AB，∴AB<2CD，故选项C正确．故选：C【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（

）A．当x1>x2时，dxC．当x1+x2=1时，d【答案】D【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．【详解】解：A、当x1>x2时，B、当dx1>dx2C、当x1+xD、当x1=2x2时，故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．【题型8利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD

【答案】见解析【分析】在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，由D为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE−EF=BE−AE=CA，因此【详解】证明：在BA上截取BF=CA，连接DF，

∵D为BAC的中点，∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，在△DBF,△DCA中，DB=DC∠DBF=∠DCA∴△DBF≌△DCA(SAS∴DF=DA，∵DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE−EF=BE−AE=CA，在Rt△BDE,Rt△ADE∴BD2−A【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．

【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB=∴AB即AC=BD∴∠B=∠C，

∴BE=CE；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使

(1)求证：△DBC≅△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据SAS即可证明△DBC≅△ECB；（2）作DH⊥AC于点H，求出DC=47，再根据△DBC≅△ECB得DE=CD【详解】（1）∵BA=∴BA=CA，∵2CE=AC，∴BA=2CE，∵D为AB的中点，∴BA=2BD，∴BD=CE，∵CE∥∴∠DBC=∠ECB，∵BC=BC，∴△DBC≅△ECB（2）作DH⊥AC于点H，

∵BA=CA，∴∠ACB=∠ABC=30°，∵BA=CA=8，∴DA=4，HA=2，在Rt△DHC中，∵△DBC≅△ECB，∴BE=CD=47【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥

(1)求证：点C平分BD．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OB，因为AB∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因为半径相等，则∠OAB=∠OBA，即可证明点C平分（2）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交AB于一点即为AB的中点【详解】（1）证明：如图，连接OB，

∵OC∥∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DOC=∠COB，∴点C平分BD；（2）解：如图所示：点P为所求：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．【题型9利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】见解析【分析】根据题意，先找到圆心O，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，然后在OC的两侧分别作正方形，则MN=2MQ，矩形MNPQ即为所求．【详解】解：如图所示，①过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，②作∠AOC,∠BOC的角平分线，交⊙O于点Q,P，③作QM,PN垂直于AB，垂足分别为M,N，则矩形MNPQ即为所求．理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分线，OD⊥AB，∴∠AOQ=∠QOD=45°，又MQ⊥AO则△QMO是等腰直角三角形，四边形QMOD是矩形，∴QM=MO，则四边形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，又MO=OD=ON∴MN=2MQ．【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，正方形的性质，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB2【答案】=【分析】过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，根据【详解】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，∴AF=∵AB∴∠AOF=∠AOC