公考数量关系算术基础知识

公考数量关系算术基础知识本章主要讲解奇偶数、质数和合数、公约数和公倍数等基础的算术知识，部分知识在考试中会直接考查，比如质数与合数；部分知识是掌握各种解题技巧和各种题型的基础，比如整除的知识；还有些知识是快速解题（即所谓的秒杀）的重要突破口，比如奇偶数的知识。第一节奇偶数一、概念如果一个整数除以2，余数为0，那么这个整数就是偶数，比如2、4、6都是偶数；如果一个整数除以2，余数不为0，那么这个整数就是奇数，比如1、3、5都是奇数。注意：奇数和偶数必须是整数。特别注意：因为0除2的余数为0，所以0是偶数。二、奇偶律奇数和偶数相加、相减、相乘时，存在一定的规律，具体如下表。规律示例奇数奇数偶数偶数±偶数偶数奇数±偶数奇数规律总结：两个数相加减时，如果这两个数都是偶数或者都是奇数，那么结果一定是偶数；如果这两个数一个是奇数，一个是偶数，那么结果一定是奇数。1（奇数）+1（奇数）=2（偶数）；1（奇数）-1（奇数）=0（偶数）；2（偶数）+6（偶数）=8（偶数）；1（奇数）+2（偶数）=3（奇偶）；1（奇数）-0（偶数）=1（奇数）；奇偶偶数奇奇奇数偶偶偶数规律总结：两个数相乘时，如果这两个数都是奇数，那么结果一定是奇数；如果两个数中有一个数是偶数，另一个数无论是奇数还是偶数，结果一定是偶数。1（奇数）2（偶数）=2（偶数）；1（奇数）1（奇数）=1（奇数）；2（偶数）2（偶数）=4（偶数）；三、奇偶数在考试中的应用奇偶数的知识在考试中经常用于题目的快速求解，尤其是奇偶律用于秒杀题目有时非常有效。具体应用情况如下。1.用于方程的快速求解如果题干当中存在方程或者根据题干能列出方程，但是这些方程求解起来较慢或者较困难，那么就可以考虑使用奇偶数的知识，结合选项给出的数字，进行快速求解。注意：用奇偶数的知识求解方程，必须保证方程中的未知数都是整数！【例1】（2015年真题）每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵；去B地每人往返车费30元，人均植树3棵。设到A地员工有x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15，若往返车费总和不超过3000元，那么，最多可植树多少棵?A.498B.400C.489D.500解析：题目最终求的是“最多可植树多少棵”，而根据题干条件“A、B两地共植树y棵”，可知植树的棵数最多为y棵，且y=8x-15，并且未知数x和y都是整数。我们发现要解这个方程是比较困难的，所以考虑结合选项使用奇偶数的知识进行快速求解。根据奇偶性，8x中8是偶数，所以8x一定是偶数；8x-15中15为奇数，所以8x-15为奇数；所以最多可植的棵数y是一个奇数。选项中只有C项是奇数。所以正确答案为C项。点评：这道题如果用传统的方法求解速度可能较慢，但如果使用奇偶数的知识，尤其奇偶律，题目的解答达到了秒杀的效果。【例2】（补充例题）某国对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分（包括3000美元）按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分（包括6000美元）按照x%税率征收，超过6000美元的部分按y%税率征收(x，y为整数)。假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则y为多少?A.6B.3C.5D.7解析：根据题目可列出方程：3000×1%+3000×x%+500×y%=120。化简方程可得：6x+y=18。x、y都是整数。但是方程求解很困难，所以考虑使用奇偶数的知识。因6x中6为偶数，所以6x一定为偶数；y=18-6x中18是偶数，所以18-6x也是偶数，排除B、C、D，选择A。点评：很多题目都会存在列出方程，但因为题干条件不够充分，导致方程求解很困难。这时，如果方程中的未知量x、y、z等是整数，就可以考虑使用奇偶数的知识结合选项进行求解。2.如果题目中的条件基本上是关于某些量的和、差、平均，比如“甲与乙的和是...”、“甲与乙的差是...”、“甲和乙一共是...”、“甲比乙多（少）...”、“甲、乙、丙的平均值是...”。而且题目最后求的是其中某个量或者某几个量的和、差。对于这种情况的题目，也可以考虑使用奇偶数的知识进行求解。【例3】（补充例题）四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？A．177B．178C．264D．265解析：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人”可知题目条件基本上是关于人数的和、差，且最后求的是人数的和。所以考虑使用奇偶数的知识进行求解。因为“乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人”，设甲、丁两班的人数为x，甲、乙、丙、丁四个班总人数为2x-1,根据奇偶律，四个班总人数应该是奇数，排除B、C两项，又因为“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”，而131+134=265，其中重复计算了乙丙两个班的总人数，所以总人数≠265，排除D项。正确答案为A项。点评：通过奇偶数的知识，尤其奇偶律，对于解决题目条件基本是关于和、差的数学运算题有时候非常奏效。【例4】（补充例题）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分（）A．94B．95C．96D．97解析：由“外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分”可知题目条件基本上是关于整数的平均值、差，且最后求解的是其中某个人的分数。所以考虑使用奇偶数的知识进行求解。因为“语文94分，外语的得分等于语文和物理的平均分”,所以物理得分=2×外语得分-语文得分，因为2×外语得分为偶数，语文得分94为偶数，所以物理得分为偶数，排除B项和D项；又因为“数学的得分最高、化学得分第二高，物理得分等于五门的平均分”，所以物理得分不可能等于语文得分，即94分，所以排除A项。所以正确答案为C项。点评：本题中，如果物理得分等于94分，那么外语得分也为94分，则五门成绩的平均分大于94分，而五门成绩的平均分就是物理得分，前后矛盾，所以A项是错误的。通过本题我们发现，题目条件基本是关于平均值、差的情况，通过奇偶数的知识进行求解还是比较快的。第二节质数、合数一、概念质数：一个整数，如果只有1和它本身两个因数，则为质数。比如5=1x5，所以5只有1和它本身两个因数，5是质数。合数：一个整数，如果除了1和它本身两个因数外，还有其它因数则为合数。比如6=1x6=2x3，所以6除了1和它本身两个因数外，还有2和3两个因数，6是合数。二、性质1.偶数中只有2是质数，其它全是合数。2.1既不是质数也不是合数。3.0是自然数。三、质因数分解任何一个合数（比如30）都能分解成若干个质数相乘的形式（比如30=2x3x5），这些质数（2、3、5）称为这个数（30）的质因数，这个过程称为质因数分解。质因数分解可以通过短除法来实现，其基本步骤是：从最小的质数2开始，去除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续进行，直到得到一个质数为止。举例如下：462=2x3x7x11462=2x3x7x11四、质数与合数在考试中的应用质数与合数的相关知识一般会在考试中作为知识点直接考查。【例1】（补充例题）一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是多少？A.9B.8C.7D.6解析：由题可设两个质数分别为x和y，则可得3x+2y=20。根据奇偶律可知，和为20，则3x和2y必然是偶数，3x为偶数那么x必然是偶数，2y是偶数y可能是奇数也可能是偶数，又因为x和y都是质数，所以x既是质数又是偶数，则x必然等于2，则y等于7。所以正确答案为A项。点评：质数与合数作为直接考查的知识点，考生一定要清楚什么是质数什么是合数。否则遇到题干中提到质数、合数的情况会难以入手。【例2】（补充例题）设有三个自然数，分别是一位数、两位数和三位数，这三个数的乘积为2004，则三数之和为()。A.100B.180C.179D.178解析：因为2004是三个数相乘的结果，要求这三个数的和，首先得知道这三个数分别为多少。所以应用质数与合数的知识，对2004进行质因数分解，2004=2×2×3×167。因为乘数中有一个是两位数，所以这个两位数2×2×3=12，则一位数和三位数分别是1和167，2004=1×12×167。所以三个数之和为1+12+167=180。故正确答案为B。点评：本题考查了质因数分解，考生一定要清楚，质因数分解要说明的是任何一个合数（比如本题中的2004）都可以分解成多个质数相乘的形式。第三节公约数和公倍数一、最大公约数12除以2的余数等于0，我们就说2就是12的约数，同时，2也是18的约数，则2就是12和18公共的约数，简称公约数。同时，3、6也是12和18的公约数。在12和18的所有公约数中，最大的那个公约数即最大公约数。求两个或两个以上数的最大公约数一般使用短除法，下面举例说明其求解过程。用你能发现的公约数去作除数，进行除法，直到所得的两个商互质。最大公约数等于所有除数之积。所以12和18的最大公约数为：2x3=6。互质：1是任何整数的约数，则1是任意两个整数的公约数。当两个数没有比1大的公约数时，就称这两个数互质，比如3和8两个数就是互质的。二、最小公倍数6是2的倍数，6也是3的倍数，则6是2和3的一个公共倍数，简称公倍数。同时，12、18、24也是2和3的公倍数，即2和3有无限多个公倍数，其中最小的那个公共倍数即最小公倍数。求两个或者两个以上数的最小公倍数一般也使用短除法，下面举例说明其求解过程。用你能发现的公约数去作除数，进行除法，直到所得的两个商互质。最小公倍数等于所有除数及最后的商相乘之积。所以56和70的最小公倍数为：2x7x4x5=280。三、公约数与公倍数在考试中的应用公约数与公倍数的相关知识一般会作为知识点在考试中直接考查。【例1】（2011年真题）有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟,假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？A.11点整B.11点20分C.11点40分D.12点整解析：甲、乙、丙都是上午8:00同时出发，若下次同时到达公交站，则他们各自用的总时间是一样的，所以只需要求出40、25、50的最小公倍数即可。求解如下：最小公倍数是5x5x2x4x1x1=200。所以在200分钟时甲、乙、丙三车同时回到公交车站，即11点20分。所以正确答案为B项。点评：公约数与公倍数作为直接考查的知识点，考生首先一定要清楚公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数的概念，以及求最大约数和最小公倍数的方法。其次，考生要能辨别清楚题目是否在考查公约数与公倍数，要想能清楚的辨别，建议考生多做一些考查公约数与公倍数的题目，积累一定的辨别经验。【例2】（补充例题）有两种中药分别重25千克和15千克，将这两种中药分别平均分成若干份，并且两种药每份的重量也相等，那么请问至少分成多少份？A.3B.5C.8D.19解析：根据题目，每一份的重量应该既是25的约数，也是15的约数。要想分成的份数尽可能地少，每一份的重量应尽可能地大。即每一份的重量应是25和15的最大公约数，是5。总份数是（25+15）÷5=8。所以正确答案为C项。点评：本题考查了最大公约数，关键是要能辨别出题目考查了这个知识点，所以此类题目要多做练习，积累题目的辨别经验。第四节整除一、概念一个整数（比如20）除以另一个非零整数（比如5），商为整数（比如4），且余数为零，我们就说一个整数（比如20）能被另一个整数（比如5）整除。二、整除的重要结论1.如果，且如果c（比如3）与d互质（比如4），那么就可得到a能被c（比如3）整除，b能被d（比如4）整除或者可以说a是c（比如3）的倍数，b是d（比如4）的倍数。2.如果，且如果c（比如3）与d互质（比如4），那么就可得到a+b能被c+d（比如3+4）整除或者可以说a+b是c+d（3+4）的倍数。3.如果，且如果c（比如4）与d互质（比如3），那么就可得到a-b能被c-d（比如4-3）整除或者可以说a-b是c-d（4-3）的倍数。4.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则数a能被c整除。（传递性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。5.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。（可加减性）【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。三、整除的判定如果在具体计算之前，你预知正确答案可以被某个整除，那你只需要通过判断哪个选项可以被这个数整除即可。根据整除判定的规律，可以将整除判定分为以下几种情况：1.看尾数判定的情况能被2整除的判定依据末一位的数能被2整除能被5整除的判断依据末一位的数能被5整除能被4整除的判定依据末两位的数能被4整除能被25整除的判定依据末两位的数能被25整除能被8整除的判断依据末三位的数能被8整除能被125整除的判断依据末三位的数能被125整除能被整除的判定依据末n位的数能被整除能被整除的判定依据末n位的数能被整除2.看全部判定的情况能被3整除的判定依据所有数位上的数加和的结果能被3整除能被9整除的判断依据所有数位上的数加和的结果能被9整除在判断较大的数字能否被3或9整除时，我们可以采用“弃3、弃9“法来简化运算。所谓“弃3、弃9“是指任意数位的数字加和的结果如果为3或9，就可以先舍弃不要，看最后是否有任意数位的数字加和的结果，不是3或9，不能被3或9整除，是3或9则能被整除。【示例】519368204549276能被9整除吗？解析：如果按判定依据将所有数位上的数字相加运算量较大，则可以用“弃3、弃9“法。最终得到不能被9整除。3.看拆分判断的情况能被合数整除的判定依据将合数拆分为两个互质的数。则同时能被互质的两个数整除的数就能被合数整除能被6整除的判定依据同时能被2和3整除的数能被12整除的判定依据同时能被3和4整除的数能被35整除的判定依据同时能被5和7整除的数4.看差值判定的情况被7（11、13）整除的判定依据将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，差值能被7、11、13整除（包括差值为0）四、整除在考试中的应用整除在考试中应用的比较广泛，当题目中出现倍数关系、百分数关系、比列关系、分数关系、平均数关系、这五种关系时，可考虑使用整除这一节的知识。题目中常见的关键词有“倍”、“商”、“整除”、“平均”、“每”、“比”、“比例”、“百分数”、“分数”等。【例1】（2014年真题）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，刚好剩下4名党员未安排;如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排，问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人?A.16B.20C.24D.28解析：题目中出现了分组，即平均的关系。所以考虑使用整除的知识求解。由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可以设分成了x组，则党员的人数为（5x+2）名，入党积极分子为2x，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多（3x+2）名，即减去2是3的倍数，四个选项只有B项减去2后是3的倍数。所以正确答案为B项。点评：这道题目是比较典型的分组题，在这类分组的题目中因为每组人数和总人数都必须是整数，所以求人数时可以优先考虑使用整除的知识进行排除。【例2】（2016年真题）2014年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23倍，年龄之差是儿子年龄的1/5，5年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014年父亲的年龄是多少？（年龄都按整数计算）A．36岁B．40岁C．44岁D．48岁解析：题目中出现倍数关系，且要求年龄是整数，考虑使用整除的知识求解。由“2014年父母年龄之差是儿子年龄的1/5,”可得儿子年龄是5的倍数，而儿子5年后年龄也必然是5的倍数，而5的倍数且为平方数的只能为25，则可得到现在儿子的年龄为20岁，年龄差即为20×1/5=4岁，年龄和为4×23=92岁，则父亲年龄+母亲年龄=92，|父亲年龄-母亲年龄|=4，假设父亲年龄比母亲年龄大，则可得父亲年龄-母亲年龄=4，联立求解可得父亲年龄=48，母亲年龄=44，此时母亲年龄五年后为49岁，是平方数，满足条件。故父亲年龄为48岁。故正确答案为D。点评：这道题目中典型的体现了倍数关系存在时，用整除的知识求解非常方便快捷。【例3】（补充例题）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件（）A．48B．60C．72D．96解析：题目中出现了百分数关系，考虑使用整除的知识进行求解。由“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”可知，甲所受理的案件数应为100的倍数（根据整除结论（1）得），而总数为160，则甲所受理的案件数为100起，乙所为60起。乙所受理的非刑事案件数为60×80%=48（起）。正确答案为A项。点评：这道题目典型的体现了使用整除的结论对题目进行求解，几乎达到了秒杀的效果。第五节比例一、概念比例即数量之间的对比关系，就是用份数之比来代替两个相关联的实际量之比，以反映这两个关联量之间的关系。比如某校有男生333人，女生555人，则该校的男女比例为3:5，这个比例就是用3份和5份分别代替了男生人数和女生人数，即3份代表男生的人数，5份代表女生的人数，反映了男生和女生人数间的关系。二、比例计算的基础知识在比例计算中涉及比例量、差值量、总量和实际量。比例量是指两个有关联的量之间的比例，差值量是指两个比例之间做差的结果，总量是指两个比例求和的结果，实际量是指比例量、差值量、总量实际代表的数值。具体通过下面的例题来理解。【示例】甲的速度和乙的速度之比为5:3，甲的速度比乙的速度快4m/s，则甲的速度为多少？解析：首先列出甲和乙速度的比例量、差值量、总量和实际量如下：比例量差值量总量5:35-3=25+3=8实际量10m/s：6m/s4m/s16m/s因为差值量为2，即2份，这2份代表的实际值为4m/s，则1份代表2m/s。那么甲的比例量为5，即5份，则甲为10m/s；乙为3，即3份，则乙为6m/s；总量同理可得实际值为16m/s。三、比例的统一1.含义比例的统一是指将份数不一样的比例统一成份数一样的比例。比如已知甲：乙为2:3，乙：丙为5:6，则甲：乙：丙是多少？在这个问题中，乙在甲：乙和乙：丙中所代表的份数不一样，所以只有将份数统一才能求得甲：乙：丙是多少？2.核心思想和方法比例统一的核心思想就是比例量每一份所代表的实际量一样才能作比较。而要将比例统一，核心的方法就是先得找到不变的实际量作为桥梁，一般情况下通过求最小公倍数得到，然后将其它的比例量相应的做出变化即可。比如已知甲：乙为2:3，乙：丙为5:6，则甲：乙：丙是多少？在这个问题中，首先找到乙为公共量，即乙是不变的量，所以找出乙对应的3和5的最小公倍数，即15，然后甲和丙相应的扩大5倍和3倍，即可得甲：乙为10:15，乙：丙为15:18，则甲：乙：丙为10:15:18。四、比例在考试中的应用如果题目中出现了比例、分数、倍数、百分数、倍数等时，如果用整除的知识无法解决，那么就可以考虑用比例的知识。对于行程问题、工程问题、利润问题等题型有时也会用到比例的知识求解。【例1】（2014年真题）某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5:4:1。问该单位共有多少人参加了义务劳动?A.70B.80C.85D.102解析:由题目“只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5:4:1”，则参加的总人数为10份，即参加的总人数是10的倍数，可以排除C、D两项，但A项和B项都是10的倍数，所以考虑使用比例的知识求解。由于参加人数之比为5:4:1，则对应人次之比为5:8:3，即人次总共是16份，而总的人次是112人次，所以每一份代表112/16=7人次。所以只参加1次，参加2次和3次全部参加的人次分别为35、56、21，对应人数分别为35、28、7人，故总人数为70人。因此，答案选择A选项。点评：人次和人数在数学运算中不能混淆，以此题为例，只参加1次的人数等于只参加1次的人次，而参加2次的人次是参加2次的人数的2倍。【例2】（2014年真题）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600吨，问该公司镍的产量为多少吨?A.600B.800C.1000D.1200解析：由题目“金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4”考虑使用比例的知识求解。“金属总产量的1/5为铝，1/3为铜”，即铝的产量与金属总产量的比例为1:5，铜的产量与金属总产量的比例为1:3。金属总产量是两个比例共同的量，但在两个比例中的值不一样，所以进行统一，即铝的产量：金属总产量×，铜的产量：金属总产量×。所以金属总产量为15份，其中铝占了3份，铜占了5份。由“镍的产量是铜和铝产量之和的1/4”可得镍的产量为2份，则铅的产量为5份。最后，铅比铝多2份，且“铅的产量比铝多600吨”，则2份代表600吨，而镍占了2份，所以镍的产量为600吨。所以正确答案为A项。点评：本题的解析虽然较长，但是理解起来相对是比较容易的，最重要的是通过比例的知识使题目的求解更加快速、高效。第六节等差和等比数列一、概念数列从第二项起，每一项与前一项的差都相等，这个数列就叫作等差数列。这个相等的差叫这个等差数列的公差。比如：2,4,6,8,10就是一个公差为3的等差数列。等差数列第一项叫作首项，第n项用表示，前n项的和用表示。数列从第二项起，每一项与前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列，这个相等的比叫这个等比数列的公比。比如：2,4,8,16,32...就是一个公比为2的等比数列。等比数列第一项叫作首项，第n项用表示，前n项的和用表示。（注意：等比数列的公比不能等于0，首项也不能等于0）。二、公式1.等比数列的基本公式分类公式示例通项等比数列首项为3，公比为4，则=48求和等比数列首项为2，公比为3，则=802.等差数列的基本公式分类公式示例通项等差数列首项为2，公差为3，则=2+(5-1)x3=14公差等差数列第5项为24，第3项为14，则公差为（24-14）/(5-3)=5项数等差数列首项为15，末项为3，公差为4，项数为[（15-3）/4]+1=4平均数等差数列2，4，6，8，10，12