2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（单元重点综合测试）（解析版）（北师大版）

第4章图形的相似（单元重点综合测试）一、单选题1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（

）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4C．a＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝，c＝2，d＝【答案】D【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解析】解：A、4×10≠6×5，故不符合题意，B、1×4≠2×3，故不符合题意，C、×3≠2×，故不符合题意，D、2×=2×，故符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．若且，，，均为正数，则下列结论不成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由四条线段、、、成比例，根据成比例线段的定义解答即可．【解析】由且，，，均为正数，可得：，故A正确，∴，故B正确，∴，故D正确，不能得出，故C错误，故选：C．【点睛】此题考查了成比例线段的定义，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．3．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米【答案】B【解析】如图：∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴AC：AB=CD：BE，∴1：4=1.5：BE，∴BE=6m．∴树的高度为6m．故选B.4．用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（

）①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍．A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】C【分析】根据相似形的性质，结合选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】解：①三角形的每个角不会变化，故错误；②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；③三角形的面积会扩大100倍，故错误；④三角形的周长会扩大10倍，故正确．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似形周长的比等于相似比，面积的比是相似比的平方．5．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠DC． D．且∠A=∠D【答案】B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【解析】解：、，，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；、，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；、且，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；故选：．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.【解析】设点的横坐标为，则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为，放大到原来的倍得到，，解得：.故选：A.【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.7．如图，已知直线l1l2l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解析】∵BC＝2AO＝2OB，∴OC＝3AO，∵直线l1∥l2∥l3，∴，∴＝，∵OD＝1，∴OF＝3，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段.8．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．【解析】解：∵DGBC，∴，故A选项错误；∵DGBC，∴，故B选项错误；∵EHAB，∴，故C选项正确；∵EHAB，∴，故D选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．9．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得，再由相似三角形的的性质得，再根据全等三角形的判定得，即，设，即，可得，根据线段边的关系得，，，即可得出最后的结果．【解析】如图：∵，为边上的高线，∴且，，，在和中，，，，∴，∴，又∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，设，∴，∴，∴，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：①∽；②；③平分；④，其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC=∠HEC=45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ•GD，从而说明④成立．【解析】四边形是正方形，．由折叠可知：，．，，，．，．，∽．故正确；过点作于，由折叠可得：，，，，在和中，，≌．，．，≌，，，不正确；由折叠可得：，，，，即平分．正确；连接，，，如图，≌，≌，，，，，．．由折叠可得：，．．由折叠可知：．．，，，，，，四点共圆，．在和中，，≌．，，，，．，∽，，，．正确；综上可得，正确的结论有：．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．二、填空题11．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为．【答案】【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：，解得．故答案是：．【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．12．已知线段，，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于．【答案】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．即c2=ab，则c2=4×8，解得c=±，（线段是正数，负值舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．13．两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为．【答案】/【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【解析】两个相似三角形的对应边上的中线之比，两个相似三角形的相似比为，两个相似三角形的面积之比为，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．14．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则．【答案】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，用分数表示为，据此解题．【解析】∵点是线段的黄金分割点，且，，．故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是以O为位似中心的位似图形，满足OA1=A1A，E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，则=．【答案】．【分析】依据OA1=A1A，可得四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为，再根据E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，即可得到=．【解析】：∵OA1=A1A，∴，即四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为，又∵E，F，E1，F1分别是AD，BC，A1D1，B1C1的中点，∴=，故答案为．【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握：对应点到位似中心的距离之比等于位似比．16．如图，点G是的重心，，交于点F，则，等于．【答案】2：13：1：2【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论．【解析】解：∵点G为△ABC的重心，∴E是AC的中点，D是BC的中点，又∵EF∥BC，∴，∴，∴DG=2FG，∵G为重心，∴AG=2DG=4FG，∴AF=3FG，∴AF：FG：GD=3：1：2，故答案为：2：1，3：1：2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键．17．如图，是的角平分线，于，的面积是，则．【答案】2cm【分析】过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．【解析】解：如图，过点D作，垂足为点F，∵BD是∠ABC的角平分线，，∴DE=DF，∵的面积是，∴，即，∴DE=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键．18．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为．【答案】0.5或1.25【分析】分两种情况：①∠BMG是直角，②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．【解析】解：①∠BMG是直角，如图，过O点作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴BH＝CH＝2，∴CO＝2.5，∴OH＝1.5，由折叠的性质可得∠OMH＝45°，∴MH＝OH＝1.5，∴BM＝BH﹣MH＝4﹣2﹣1.5＝0.5；②∠BGM是直角，如图，由折叠的性质可得OE＝OC＝2.5，∠ACB＝∠E，∵∠ABC＝∠EGO＝90°，∴△OEG∽△ACB，∴OG：OE＝AB：AC，即OG：2.5＝3：5，解得OG＝1.5，∴BG＝2.5﹣1.5＝1，∵∠ACB＝∠MBG，∠ABC＝∠MGB＝90°，∴△ABC∽△MGB，∴BM：BG＝CA：CB，即BM：1＝5：4，解得BM＝1.25．综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．故答案为：0.5或1.25．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．三、解答题19．已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【答案】（1）；（2）a=3，b=4，c=5【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．【解析】（1）∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），则；（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：9k-4k+5k=10，解得k=1．则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．20．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，∵AB=6，BC=8，∴，故的值为；（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．21．如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．

(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，即可求证；（2）根据平行四边形的性质可得，根据相似三角形的性质可得，即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，由（1）可得，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等；相似三角形对应边成比例．22．西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离为86米，小明眼睛到地面距离为1.5米，已知，，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度．（平面镜的大小忽略不计）

【答案】64.5米【分析】根据题意可得，，因此，根据相似三角形的性质即可解答．【解析】解：由题意得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴米，∴长安塔的高度为64.5米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．如图，已知O是坐标原点，点B、C两点的坐标分别为、．(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；(2)如果周长为m，则的周长为___________________；(3)若线段BC上有一点，请直接写出点P的对应点的坐标____________．【答案】(1)详见解析(2)(3)【分析】（1）根据位似图形的性质，画出即可；（2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结论；（3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标即可．【解析】（1）解：如图所示，即为所求；（2）∵以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到，∴，相似比为；∴的周长比为；∵的周长为m，∴的周长为；故答案为：．（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，∴．故答案为：．【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．24．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用已知条件证明即可；（2）通过证明得出，再根据，得出结论．【解析】（1）证明：，，，，，，，；（2）证明，点是边上的中点，，，，，，，，，，，，，即．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明．25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，交x轴于点C．(1)如图l，求点C的坐标；

(2)如图2，点D在线段的延长线上，过点D作轴于点H，设，的面积为，求S与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)如图3，在（2）的条件下，与交于点E，连接，且，延长交x轴交于点F，点M在线段的延长线上，连接交x轴于点N，若，求线段的长．

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用直线求出点B的坐标，再将点B的坐标代入，求出解析式，即可得到；（2）由轴于点H，得点D的纵坐标为t，进而求出，，利用三角形面积公式求出函数解析式；（3）设，得直线的解析式为，求出，直线的解析式为，令，得，证明，求出过E作于K，证明求出，作轴于L，则，得，求出，再求出直线解析式，得，由此求出线段的长．【解析】（1）解：令