2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第1章 特殊平行四边形（压轴题专练）（原卷版）

特殊平行四边形（压轴题专练）题型01：存在性问题1．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．(1)求直线的解析式；(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．(1)求点B的坐标．(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．题型02：动态问题5．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

(1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________；(2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：．(3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系．6．【证明推断】（1）如图1，在矩形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交于点E，连接．求证：①；②；③若，求的长；

【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形”改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在的内部，延长交于点E，连接．连接与交于点M，与交于点N．求证：四边形是矩形．7．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．（1）若，求的长；（2）作，垂足为G，当时，求的度数；（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．8．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB，求证：MB平分．（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．题型03：情景探究题9．综合与实践数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形与四边形都为正方形，P为的中点，连接，，如图1，当点E在上时，求证：．(1)独立思考：请你证明老师提出的问题；(2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；(3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，与交于点H．若，，请直接写出的值．10．已知四边形和都为正方形，连接，，，点，，分别是，，的中点．(1)观察思考如图①，点，分别在，上，线段和的数量关系和位置关系为______；(2)探究证明如图②，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中和的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由；(3)综合实践如图③，连接，取的中点，连接，.①判断四边形的形状，并说明理由；②若，，在旋转的过程中，四边形的周长的最大值为______.题型04：最值问题11．在Rt△ABC中，，，点D为直线上一点，连接．

(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，当时，求的长；(2)如图2，延长至点G，使，作的平分线交于点H，交的延长线于点K．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，连接、，当点D在直线上运动时，直接写出的最大值．12．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)直线与相交于点G．①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形；②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．13．在边长为的正方形中，点分别在上，，连接，过点作，垂足为．

(1)如图1，延长，交的延长线于，请完成画图并证明：；(2)如图2，点分别在的延长线上，连接．求的长；(3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）．题型05：解答证明题14．在四边形中，，，对角线平分．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；(2)如图2，点在上，点在射线上，连接，，的角平分线交于点，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，，，求线段的长．15．如图1，为正方形内一点，点在边上（不与端点，重合），垂直平分交于点，连接．过点作交射线于点．

(1)求的大小；(2)求证：；(3)如图2，连接，若，求的值．16．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以/秒的速度移动，点从点出发，向点以/秒的速度移动（不到点）．设点，同时出发移动秒．

(1)在点，移动过程中，连接，，，则的形状是，始终保持不变；(2)如图2，连接，设交移动，当时，求的长；(3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，当与的夹角为，求的值．17．如图，在边长为8的正方形中，点分别是边上的两动点（点不与点重合），以为邻边作矩形交于点，交于点．设，已知．

(1)证明：；(2)连接．①如图1，当时，求的大小；②如图2，当时，①中的结论是否成立？并说明理由．题型06：相似三角形在特殊平行四边形中的应用18．如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，连接平分，过点E作于M．(1)求证：；(2)若G是的中点，连接交于点H．①求证：；②若，求的长．19．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点G，A，B在一条直线上，连接，（如图1）．

操作发现（1）图1中线段和的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形中都变为矩形，且，，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．拓展探索（4）在（3）的条件下，若，，矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值．20．如图1，矩形的两条对角线交于点，点是边上一个动点，连接，作，，垂足分别是，连接．(1)求证：；(2)如图2，延长交于点，若，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，已知，，求的值．21．（1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．22．【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形的边长为6，E为对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作交于点G，探索线段、有何数量关系？

（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，