2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十七章 一元二次方程（5大知识归纳+10类题型突破）（解析版）

第十七章一元二次方程（5大知识归纳+10类题型突破）1.掌握一元二次方程的概念、一般形式；2.掌握一元二次方程的解；3、掌握一元二次方程的四大解法；4、掌握一元二次方程根与系数的关系；5、理解一元二次方程的应用问题；知识点一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).（3）熟练整理方程的过程一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解列出实际问题的一元二次方程知识点二：一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。知识点三：根的判别式的应用了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题知识点四：根与系数的关系如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理（根与系数的关系）：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷其他：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．若，则方程必有实数根．若，方程不一定有实数根．若，则必有一根．若，则必有一根．⑸韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．知识点五：一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键；②设未知数，注意单位;③根据题意找等量关系列出方程；④解方程；⑤检验解是否合理；⑥写出答案作答考点1数字问题数字问题有以下几种常见类型:(1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是.(2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是.(3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是.(4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是.(5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是.考点2多边形对角线问题利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数.考点3循环问题双方参与问题有以下几种常见类型:(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.考点4传播问题1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感.树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。考点5增减率问题增减率问题涉及的公式有:(1)(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.考点6面积问题利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形考点7利润问题利润问题常用公式如下:(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.(2)利润率=(3)销售额=销售价×销售量.(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量题型一一元二次方程的定义、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）下列是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】解：A、，化简得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；B、，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；

C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

D、，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2023秋·河北唐山·九年级统考阶段练习）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用整式乘法展开，化成的形式．【详解】，，故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的变形，掌握整式运算及等式性质是解题的关键．3．（2023秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）将方程化为一般形式后为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去括号，再移项，合并同类项，把方程互为一般形式即可．【详解】解：，∴，∴，故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握方程是一元二次方程的一般形式是解本题的关键．巩固训练：1．（2023秋·江苏无锡·九年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解．【详解】解：A.含有两个未知数、，不是一元二次方程，故不符合题意；B.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；C.符合一元二次方程的定义，故符合题意；D.时，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程是一元二次方程，则．【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴k−1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案】二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：；参数m的取值范围是【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件，即．可知它的各项系数分别是二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：．参数m的取值范围是．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．题型二一元二次方程的解1．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】把m代入方程整理得，再把所求整式变形后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，整体代入求值，把根代入方程进行变形是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）若是方程的一个解，则的值是（

）A．1 B．0 C．0或1 D．0或【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得的值．【详解】解：是方程的一个解，满足方程，，即．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．【详解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．巩固训练1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）关于x的两个一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（

）A． B．或2023 C． D．或【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：，，，，，，，，是方程的一个根，是方程的一个根，，，是方程的一个根，当时方程，即是方程的一个根，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．2．（2023秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为．【答案】2025【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后整体代入计算即可得到答案．【详解】解：是方程的解，，，，故答案为：2025．【点睛】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算．3．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中m是方程的根．【答案】；【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再根据一元二次方程解的定义，得出，再整体代入计算，即可得解．【详解】解：，∵m是方程的根，∴，即；【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．注意整体代入思想的运用．题型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信阳·九年级校联考阶段练习）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)；(3)(4)【分析】（1）直接开方法解方程；（2）因式分解法解方程；（3）配方法解方程；（4）因式分解法解方程．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴或，∴；（3）解：∴，∴，∴，∴，∴；（4），∴，∴，∴，∴或，∴．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法解一元二次方程．2．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)方程无实数根(4)，【分析】（1）先移项，再用直接开平方法求解即可；（2）先移项，再两边同时加上4，用配方法求解即可；（3）用公式法求解即可；（4）将右边进行因式分解，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，；（3）解：，，，∴原方程没有实数根；（4）解：，，，，，，；【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤．3．（2023秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）用适当的方法解下列方程．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：，移项得，，配方得，，开平方得，，∴，；（2）解：移项得，，分解因式得，，∴或，∴，；（3）解：整理得，，配方得，，开平方得，，∴，；（4）解：分解因式得，，即，∴或，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可；（3）用因式分解法解方程即可；（4）用公式法解方程即可．【详解】（1）由得则或解得，（2）由得得，（3）由得解得，（4），【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考阶段练习）解方程：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）先整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，；（2）解：解得：，；（3）解：即解得：，；（4）解：解得：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．3．（2023秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可；（3）根据配方法解一元二次方程即可；（4）运用因式分解法解一元二次方程即可【详解】（1）或解得，（2）或解得，（3）或解得，（4）【点睛】本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．题型四换元法解一元二次方程1．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程的两根．【详解】解：记，则即，∵方程的两根分别为，∴或，故，．故选：B．【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程．能根据已知方程的解得出或是解此题的关键．2．（2023秋·湖南邵阳·九年级校考阶段练习）若，则的值为（

）A．2或 B．或6 C．6 D．2【答案】D【分析】设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解．【详解】解：设，则有，∴，，或，∴，，∵，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用用因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意整体思想的运用．3．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）已知关于x的方程的两个根分别为，，则方程的两个根分别为（

）A．， B．，C．， D．，,【答案】C【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，，得或，即可求出方程的两个实数根．【详解】解：设，则方程变为，方程的两个实数根是，，∴方程的两个实数根是，，∴或，或，方程的两个实数根是，．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．巩固训练1．（2023春·安徽宣城·八年级校考期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5【答案】B【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解．【详解】解：设，则原方程换元为，，解得，（不合题意，舍去），的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是．【答案】，，【分析】根据关于x的方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵,∴,关于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案为：，．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键．3．（2023秋·四川内江·九年级校考阶段练习）阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分别是已知方程根的2倍，∴所求方程的两根为：，，∴所求方程为：．故所求方程为：．解法二：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程得：化简，得，故所求方程为：．请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：；(2)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；(3)已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；（2）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得；（3）解法一：求出已知方程的解为，从而可得所求方程的两根为，由此即可得；解法二：设所求方程的根为，则，所以．再将其代入已知方程即可得．【详解】（1）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分别为已知方程根的相反数，∴所求方程的两根为：，∴所求方程为：，故所求方程为：．解法二：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程得：化简，得，故所求方程为：．故答案为：．（2）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，∴所求方程的两根为：，，∴所求方程为：，故所求方程为：．解法二：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程得：化简，得，故所求方程为：．（3）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分别为已知方程根的倒数，∴所求方程的两根为：，∴所求方程为：，故所求方程为：．解法二：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程得：化简，得，故所求方程为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“换根法”．题型五配方法的应用1．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）对于任意实数x，多项式的值是一个（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定正负的数【答案】B【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，∴的最大值是，故多项式的值是一个负数，故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．任意实数的平方和绝对值都具有非负性，灵活运用这一性质是解决此类问题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值为，∴，∴故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．【详解】解：与为同族二次方程．，，∴，解得：．∴当时，取最小值为2016．故选：D．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．巩固训练1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）代数式的可能取值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解．【详解】解：原式，当，时，原式有最小值，此时最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键．2．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且这两根之差的绝对值为6，那么的值为．【答案】3【分析】设两根分别为和，则的最大值问题可转化为(x1-x2)2的最大值问题，展开并利用根与系数的关系将两根全部替换成a即可．【详解】解：设方程两根分别为和，则：，，，，，，∴，当时，可取最小值，∵6，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握配方法以及一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．3．（2023秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务.如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”.(1)判断一元二次方程是否为“方正方程”，请说明理由.(2)已知关于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.【答案】(1)该方程是方正方程，见解析(2)最小值为9【分析】（1）将1代入方程看左右两边是否相等即可得到答案；（2）将1代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案；【详解】（1）解：该方程是方正方程，理由如下，∵当时，方程左边，右边，∴左边=右边，∴是该方程的解，∴该方程是方正方程；（2）解：由题意得：，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为9；【点睛】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意中的新定义．题型六一元二次方程根与系数的关系1．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程的两根为，，则（）A． B． C．7 D．25【答案】D【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得：，，然后把原式变形为，再整体代入求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，∴，，∴．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、灵活应用整体的数学思想是解题关键．2．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，满足则（）A．和2 B．2 C． D．1和2【答案】B【分析】根据根与系数的关系可得，解出的值，再根据判别式，可得m的值．【详解】解：根据题意，得，解得或，，，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意判别式这个隐含的条件．3．（2023秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）若，是方程的两个实数根，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，是方程的两个实数根，得，，将所求式子变形后整体代入即可．【详解】解：，是方程的两个实数根，，，，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．巩固训练1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两个根，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，，，，则，，将其代入得，再将，代入即可得．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，，，∴，===∵，，∴原式=，故选：C．【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）已知方程的两个根为和，则=．【答案】1【分析】先根据根与系数的关系得到、的值，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系：对于方程，有、是解答本题的关键．3．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）阅读材料：材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，；则，；材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．解：一元二次方程的两个实数根分别为，；，；则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______；(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，，，，故答案为：，；（2）解：一元二次方程的两根分别为，，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．题型七根据判别式判断一元二次方程根的情况1．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断．【详解】解：A、，方程没有实数根；B、，方程有两个相等的实数根；C、，方程没有实数根；D、△，方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点睛】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．2．（2023秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；

②；

③．则正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】B【分析】根据根的判别式即可判断①；根据根与系数的关系得到，即可判断②；根据完全平方公式的变形得到即可判断③．【详解】解：由题意得：，∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，故①正确；由根与系数的关系可得，∴，故②正确；∵，∴，故③错误；故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．3．（2023秋·福建三明·九年级校考阶段练习）对于一元二次方程，有下列说法错误的是（

）A．若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；B．若，则方程一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数；C．若，则方程一定有实数根；D．若，则方程有两个不相等的实数根．【答案】B【分析】由方程有两个不相等的实根得，从得出方程的，所以方程有两个不相等的实根，可判定A；根据当，时，当，时，当，时，当，时，判定方程的根，即可判定B；由，得出方程必有一根为，可判定C；由，得，则方程有两个不相等的实根，可判定D．【详解】解：A、方程有两个不相等的实根，，方程的，方程有两个不相等的实根，故此选项不符合题意；B、若，则，当，时，方程有两相等实数根，并且这两个根互为相反数；当，时，方程没有实数根；当，时，x为一切实数，方程有无数根；当，时，方程没有实数根；故此选项符合题意；C、若，则方程必有一根为，故此选项不符合题意；D、若，则，∴方程有两个不相等的实根，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可．【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确；②若方程两根为和2，则：，∴，②正确；③若方程有两个不相等的实数根，则：，当时，，满足题意，但此时方程无实数解，故③错误；④若，则，即方程有两个不相等的实数根，④正确；正确的为：①②④，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．（2023秋·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考开学考试）已知关于一元二次方程，有下列说法：①若则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是．（填写序号）【答案】①②③④【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②．【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为，∴；故①正确；②若方程两根为1和2，则：，即：，∴；故②正确；③若方程有两个不相等的实根，则：，∴，∴方程必有实根；故③正确；④，则：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故④正确；故答案为：①②③④【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．3．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两实数根分别为和，且满足，求a的值．【答案】(1)证明见解析(2)不存在这样的的值使．【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可得证；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据题意可得，进而解方程，即可求解．【详解】（1）证明：∵；∴，∴该方程总有两个实数根；（2）∵，∴，即，∵，，∴，即，∴不存在这样的的值使．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．题型八根据一元二次方程根的情况求参数1．（2023秋·河北保定·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，，从而求得k的取值范围，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，解得，∴k的最小整数值是3，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根是解题的关键．2．（2023秋·贵州毕节·九年级校考阶段练习）已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（

）A．3 B．5 C．9 D．10【答案】A【分析】解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的范围，由方程有实数根知且，解得且，继而可得符合条件的整数和．【详解】解：解不等式得：，∵不等式组有且只有4个整数解，∴整数解为，，，0，∴，解得：，关于的一元二次方程有实数根，且，解得且，在且中，符合条件的整数和为，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．【答案】A【分析】根据关于的方程有实数根，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，当方程是一元一次方程时，方程有实数根；当方程是一元二次方程时，得到，求解，综合两种情况k的取值范围，即可得到答案．【详解】解：当方程是一元一次方程时，,则，方程有实数根；当方程是一元二次方程时，可得：，解得：，综上所述，，故选：A．【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，分类讨论、掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件“”，是解题的关键．巩固训练1．（2023春·福建泉州·八年级校考期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解．【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程，解得，符合题意；②当时，方程是一元二次方程，∵于x的方程有实数根，∴，∴，即，∴，∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且，综上所述：m的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为．【答案】【分析】根据当时，方程有两个相等的实数根；据此对方程进行求解即可．【详解】解：由题意得，，，，原方程有两个相等的实数根，，解得：，，，；故答案：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与根的关系是解题的关键．3．（2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）关于一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实数根，满足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可得到实数k的取值范围；（2）由根与系数关系得，利用得到，即可得到k的值．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；（2）由题意得，，∴，∵，∴，解得【点睛】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键．题型九一元二次方程的应用11．（2023秋·辽宁本溪·九年级统考阶段练习）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设米，则可列方程（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】可求长方形的长为（米），由长方形的面积即可求解．【详解】解：由题意得长方形的长为：（米），则可列方程为：；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．【详解】解：设宽为x步，则长为步，由题意得：，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．3．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（

）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456【答案】D【分析】设每月盈利的平均增长率为x，列方程解方程进而即可求解；【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，，解得：（舍去），五月份这家商店的盈利为（元）．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．巩固训练1．（2022秋·广东清远·九年级统考期末）春节快到了，为增进友谊，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份新春的祝福，小静同学所在的小组共写了42份祝福，该小组共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】D【分析】设该小组共有人，则每人需写份新春的祝福，根据小静所在的小组共写了42份祝福，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．【详解】解：设该小组共有人，则每人需写份祝福，依题意得：，解得：（不符合题意），故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月的720万元，连接两个月降至500万元，设平均每月降低率为x，则可列方程．【答案】【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次．(1)求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？【答案】(1)(2)【分析】（1）设年平均增长率为，根据题意得出等量关系求解即可；（2）设每碗售价定为元，店家才能实现每天利润元，根据题意得出等量关系求解即可．【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，解得，故，答：2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为；（2）解：设每碗售价定为元，店家才能实现每天利润元，依题意有，解得，由于规定每碗售价不得超过20元，，答：当每碗售价定为元时，店家能实现每天盈利6300元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．题型十一元二次方程的应用21．（2023秋·全国·