2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十六章 二次根式（7个知识归纳+13类题型突破）（解析版）

第十六章二次根式（7个知识归纳+13类题型突破）1.掌握二次根式的概念和有无意义的条件；2.掌握二次根式的性质；3.掌握二次根式的化简与计算；知识点1．二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.知识点2.二次根式有无意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点3.二次根式的性质：（1），（双重非负性）．（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）知识点4.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．知识点5.二次根式的运算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0，b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.推广：（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

二次根式的加减步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

知识点6.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．知识点7.二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．题型一求二次根式的参数1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则正整数的最小值是（

）A．2 B．14 C．7 D．56【答案】B【分析】根据二次根式的性质得出，再求出答案即可．【详解】解：∵，∴若是整数，正整数n的最小值是，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确分解质因数是解此题的关键．2．（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：，∵是整数，n是一个正整数，∴n的最小值是5．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．3．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，根据题意逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵是整数，A.当时，，故该选项不正确，不符合题意；

B.当时，，故该选项不正确，不符合题意；

C.当时，，故该选项不正确，不符合题意；

D.当时，，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．巩固训练：1．（2023秋·九年级课时练习）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．【详解】解：，是整数，满足条件的最小正整数为5，故选：C．【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．2．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知是正整数，则实数n的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数，∴，解得，∴实数n最大值取，故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．3．（2023秋·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为．【答案】3【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．【详解】解：，且开方的结果是正整数，为某数的平方，又，是满足题意最小的被开方数，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则整数n的所有可能的值为．【答案】1，4，9，36【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．【详解】解：∵是整数，∴，且是完全平方数，∴①，即；②，即；③，即；④，即；综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．故答案是：1，4，9，36．【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键．5．（2022·全国·八年级假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值．【答案】n的最小值是15【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值．【详解】解：∵＝3，n是一个正整数，∴n的最小值是15．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．题型二二次根式有意义的条件4．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（

）A．且 B． C． D．且【答案】C【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数以及分式有意义的条件：分母不为0可得答案．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数、分母不为0是解题的关键．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】分子被开方式大于等于零，分母由开立方满足分母不为零，解不等式组即可．【详解】解：因式子在实数范围内有意义，，解得且，则的取值范围是且．故选择：B．【点睛】本题考查根式有意义的条件，掌握分子开偶次方，被开方式大于等于0，分母开立方，分母被开方式不等于0是解题关键．巩固训练1．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）若式子有意义，则m的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得，求解即可.【详解】解：由题意，得，∴,∴.只有D选项符合题意,故选：D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被告开方数为非负数是解题的关键.2（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）函数的自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解即可．【详解】解：由题意，得，解得：，故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”是解题的关键．3．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式有意义，熟练掌握二次根号下非负是二次根式有意义的条件是解题的关键．3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）函数中，自变量的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据零指数幂的性质以及被开方数进行作答即可．【详解】解：因为，所以且，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质，难度较小，正确掌握相关性质是解题的关键．5．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）先化简，再求值已知(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得的值，再代入求得的值；（2）代入数据，利用平方根的定义即可求解．【详解】（1）解：有意义，∴，解得：；∴，解得：；（2）解：由（1）知：，则，则的平方根是：．【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的有意义的条件求a的值，容易出错的地方是，计算步骤较多，容易忽略最后一步．题型三利用二次根式的性质化简7．（2023春·上海杨浦·九年级统考阶段练习）下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则求解即可．【详解】A.，错误，不符合题意；B.，正确，符合题意；C.，错误，不符合题意；

D.，错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2023春·湖南永州·八年级校考开学考试）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质，同底数幂的除法，分式的乘方，负整数指数幂以及幂的乘方，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项正确，符合题意；

D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，同底数幂的除法，分式的乘方，负整数指数幂以及幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．9．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则化简的结果为()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的意义，化简即可求解．【详解】解：∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质以及绝对值的意义是解题的关键．巩固训练1．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【详解】解：A、，故此选项计算错误，不合题意；B、，故此选项计算错误，不合题意；C、，故此选项计算正确，符合题意；D、，故此选项计算错误，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（2023春·江西宜春·八年级校考阶段练习）若，则等于（）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：由题意可得：且，解得：，故，则，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键．3．（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）若，化简：．【答案】/【分析】直接利用a的取值范围，再结合二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．正确化简二次根式是解题的关键．4．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）当时，化简．【答案】/【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质．5．（2023春·安徽宣城·八年级校考期中）已知，化简代数式．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简，根据，化简绝对值，再合并同类项，即可求解．【详解】解：原式，∵，∴，，∴原式．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型四复合二次根式的化简10．（2023春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（

）因为，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等，∴第②步推导错误．故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．11．（2023·上海·八年级假期作业）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵有意义，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．12．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x＜0∴故选：D．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．巩固训练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：，∴∴故选：C【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．【详解】解：由题意得：，解得：x>2，∴；故选D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2023春·天津宝坻·八年级校考阶段练习）当时，化简：．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．4（2023·上海·八年级假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．【答案】【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．【详解】解：∵，有意义，∴，则，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）观察下面的运算，完成计算：

(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）被开方数，据此即可开方；（2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可．【详解】（1）解：原式；（2）则原式【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．题型五化为最简二次根式13．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，B．是最简二次根式，故本选项符合题意，C．不是最简二次根式，故本选项不符合题意，D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．14．（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．，可化简，故A选项错误；B．，可化简，故B选项错误；C．，可化简，故C选项错误；D．不能化简，是最简二次根式，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．15．（2023春·河北保定·七年级统考期中）关于的叙述正确的是（

）A．在数轴上不存在表示的点 B．与最接近的整数是3C． D．是有理数【答案】B【分析】根据实数与数轴上的点一一对应可判断A，由无理数的估算可判断B，由化简二次根式可判断C，由无理数的含义可判断D，从而可得答案．【详解】解：数轴上存在表示的点，故A不符合题意；∵，，而，即，∴与最接近的整数是3，故B符合题意；，故C不符合题意；是无理数，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，化为最简二次根式，无理数的含义，熟记基础概念与基础运算是解本题的关键．巩固训练1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、，是最简二次根式，符合题意；故选D．【点睛】本题考查最简二次根式的识别．熟记定义，是解题的关键．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各式中是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答．【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不合题意；B、是最简二次根式，故本选项符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不合题意；D、，不是最简二次根式，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．3．（2023春·福建福州·八年级统考期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为.

【答案】9【分析】利用数轴确定a的取值范围，然后结合绝对值及二次根式的性质及整式加减运算法则进行化简求解．【详解】解：由题意可得，∴，，原式，故答案为：9．【点睛】本题考查二次根式的化简，整式的加减运算，理解二次根式的性质，利用数形结合思想解题是关键．4．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）把二次根式化成最简二次根式，则．【答案】【分析】被开方数的分母分子同时乘以即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查化简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（）被开方数不含分母；（）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行化简．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键．题型六已知最简二次根式求参数16．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，0【答案】A【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．【详解】解：∵是最简二次根式，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．．17．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（

）A．2021 B． C．2025 D．【答案】B【分析】最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，即被开方数相同，即，求解即可．【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，∴与是同类二次根式，∴．解得．故选：B．【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．18．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知若最简二次根式与是同类二次根式，即被开方数相同，由此建立方程求解即可．【详解】解：∵与都是最简二次根式，且可以合并，∴与是最简的同类二次根式，∴，解得．故选C．【点睛】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念．巩固训练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解．【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先化简，根据最简二次根式的定义可得，解方程组即可求解．【详解】解：∵，最简二次根式与二次根式可以合并成项，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键．3．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市暨华中学校校考期中）若最简二次根式与可以合并，则．【答案】1【分析】根据最简二次根式的定义，得关于参数的方程，求解即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，一元一次方程的求解；理解最简二次根式的定义是解题的关键．4．（2023春·吉林·八年级统考期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则．【答案】【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．【答案】1【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【点睛】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．题型七同类二次根式19．（2023秋·安徽合肥·九年级校考开学考试）下列各数中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把各项化简，再根据被开方数相同的即为同类二次根式．【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故错误；B、，与不是同类二次根式，故错误；C、，与是同类二次根式，故正确；D、，与不是同类二次根式，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟记同类二次根式的定义．20．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）下列根式化简成最简二次根式后，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：A、∵，∴不能与合并，故A不符合题意；B、∵，∴能与合并，故B符合题意；C、∵，∴不能与合并，故C不符合题意；D、∵，∴不能与合并，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若可以合并为一项，则可以是(

)A．9 B．18 C．27 D．54【答案】B【分析】根据同类二次根式进行逐项分析即可．【详解】解：∵可以合并为一项，∴与是同类二次根式，当时，；当时，；当时，；当时，．故选：B．【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题关键是理解能够合并成一项，即化简后它们的被开方数相同．巩固训练1．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】，A、与不是同类二次根式；B、，与是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与不是同类二次根式；故选：B．【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案．【详解】最简二次根式与是同类二次根式，，，故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解题的关键．3．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则．【答案】3【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义得到，然后解关于a的方程即可．【详解】解：∵与最简二次根式可以合并成一个二次根式，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，也考查了最简二次根式．4．（2023春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为．【答案】【分析】根据同类二次根式才能合并列式求解即可得到答案；【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，∴，解得：，故答案为：；【点睛】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由．【答案】不存在．理由见解析．【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可．【详解】解：不存在．理由如下：若与是同类二次根式，则，解得：，当时，，与都不是最简二次根式．故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．题型八二次根式的混合运算22．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，则的值为（

）A． B． C．14 D．【答案】D【分析】直接将，代入，根据平方差公式和二次根式的混合运算进行计算即可．【详解】解：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．23．（2023春·福建三明·九年级校考期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、完全平方公式、二次根式的混合运算分别化简，进而得出答案．【详解】解：原式．故选：A．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、完全平方公式、二次根式的混合运算法则，正确化简各数是解题关键．24．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】B【分析】首先根据二次根式的混合运算法则计算，然后估计无理数的大小即可．【详解】∵∵，∴，∴，∴，∴在5和6之间．故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．巩固训练1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）计算(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；（2）先算乘除法，再合并同类二次根式即可；（3）根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式和完全平方公式的应用．2．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)6(2)(3)5+(4)【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．3．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简，然后去括号，再合并同类项和同类二次根式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的运算法则和运算顺序，先算乘法及化简，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查的是二次根式的运算及乘法公式的运用，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．5．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)1(2)(3)(4)【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和立方根计算即可；（2）根据二次根式的性质和绝对值的性质以及二次根式的乘法计算即可；（3）根据二次根式的性质以及二次根式的乘除法进行计算即可；（4）根据二次根式的乘法公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了二次根式的计算，零指数幂，负整数指数幂等，熟练掌握这些知识是解题的关键．题型九分母有理化25．（2023春·四川南充·八年级校考期中）下列各式中，与的积为有理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出其有理化因式即可．【详解】解：∵，∴与的积为有理数的是．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握有理化因式的确定和平方差公式是解题的关键．26．（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据乘法公式，对作分母有理化变形，得，比较判断．【详解】解：∵∴．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，分母有理化，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．27．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）已知，则的值为（

）A．3 B． C． D．6【答案】B【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，然后把代入，即可求解．【详解】解：，∵，∴原式．故选：B【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算运算是解题的关键．巩固训练1（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）下列各式中，不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则和分母有理化的方法逐项判断即得答案.【详解】解：A、，计算正确，不符合题意；B、，计算错误，符合题意；C、，所以，计算正确，不符合题意；D、，计算正确，不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键.2．（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考开学考试）如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把b分母有理化，再比较．【详解】解：∵，，∴．故选：A．【点睛】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．3．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）计算的结果是．【答案】【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．4．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）化简：（的自然数）的结果为．【答案】【分析】利用分母有理化计算得出，，，，据此计算即可求解．【详解】解：∵，，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化的运算法则是解题的关键．5．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据分母有理化法则和二次根式的计算法则计算即可；（2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．题型十已知字母的值，化简求值28．（2023春·云南临沧·八年级校联考期末）若，则的值是（

）A．1 B．5 C． D．【答案】B【分析】先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．【详解】解：，当时，原式，故选：B．【点睛】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．29．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）当时，代数式的结果为（

）A． B． C．12 D．【答案】A【分析】代入数据，利用二次根式的性质和乘法法则计算即可．【详解】解：∵，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．30．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）设，则代数式的值为（

）A．6 B．5 C． D．【答案】B【分析】先利用已知条件得，两边平方后得到，再整体代入中，逐步计算和代换，即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．巩固训练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若，则代数式的值为

(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先将已知代数式变形，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：当时，原式故选：B．【点睛】本题考查了分母有理化，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2023·全国·八年级假期作业）已知，，则代数式的值为（

）A．7 B．14 C． D．【答案】B【分析】根据题意将x、y的值分别代入，求出和的值，最后计算可得答案．【详解】解：当，时，故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入．3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若，则代数式的值是．【答案】【分析】利用配方法得到，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法以及二次根式的运算法则．4．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）当，时，．【答案】5【分析】先将转化为，再代值计算即可．【详解】解：∵，∴；故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的运算法则，正确的计算．5．（2023春·江西南昌·八年级校联考期中）若，，求：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)5【分析】（1）直接把，的值代入进行计算即可；（2）把原式化为的形式，再把，的值代入进行计算即可．【详解】（1）解：，；（2），．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．题型十一已知条件式，化简求值31．（2023·上海·八年级假期作业）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键．32．（2023春·全国·八年级期末）已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系．33．（2023春·云南临沧·八年级统考期中）已知，，则的值为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】利用已知，代入求值即可．【详解】解：，当，时，，，原式．故选：D．【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减．巩固训练1．（2023春·广西玉林·八年级统考期中）已知，则代数式的值为（）A．2 B．6 C．4 D．【答案】A【分析】将代数式配方得，然后将，代入求解即可．【详解】解：．故选A【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，实数的计算是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）已知，则的值等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】C【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可．【详解】解：∵（x﹣1）2+＝0，∴x﹣1＝0，y+4＝0，解得：x＝1，y＝﹣4，∴＝＝＝4．故选：C．【点睛】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键．3．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若为的小数部分，则的值为．【答案】【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间．4．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）已知，则．【答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，则，由此求出，据此即可得到答案．【详解】解：∵有意义，∴，即，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到是解题的关键．5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）18；（2）【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．【详解】解：（1），，，，则；（2），，，，，．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．题型十二比较二次根式的大小34．（2023秋·全国·八年级专题练习）若，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式组的解集为，再求出，由此即可得到答案．【详解】解：解不等式得：，∴，∵，∴，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，比较二次根式的大小，正确求出不等式组的解集是解题的关键．35．（2023春·湖南益阳·七年级校联考期末）2、、15三个数的大小关系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜15【答案】A【分析】将分别化成，再进行比较即可．【详解】且即故选：A．【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．36．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（

）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】D【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．【详解】解：a=2021×2023-2021×2022=2021（2023-2022）=2021；∵20242-4×2023=（2023+1）2-4×2023=20232+2×2023+1-4×2023=20232-2×2023+1=（2023-1）2=20222，∴b=2022；∵，∴c＞b＞a．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．巩固训练1．（2023春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）的结果应在（

）A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．【详解】解：原式=∵∴故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）比较的大小，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较．【详解】解：，，即：；故选：A．【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．3．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）比较大小：；．（填“”“”或“”）【答案】【分析】①将、平方之后可得，。进而利用有理数大小比较的方法即可解答；②将、分母有理化，再利用作差发法即可解答．【详解】解：①∵，，∴，∴，故答案为；②∵，，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了二次根式大小比较的方法，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）比较大小：．【答案】【分析】首先分别求出、的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系．【详解】解：解：，，∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．5．（2023春