2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十六章 二次根式（5类压轴题专练）（解析版）

第十六章二次根式（5类压轴题专练）压轴题型一分母有理化1．（2022秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：所以，因为，,所以.故选C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.2．（2019·湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.3．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）不正确；正确，故（2）正确；由=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知，故（4）不正确；根据分母有理化的意义，可知，故（5）正确.故选B.4．（2023春·重庆江津·八年级统考期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则；．下列选项中正确的有（

）个．①若a是的小数部分，则的值为；②若（其中b、c为有理数），则；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．【详解】解：由题意得：，∵，是的小数部分，∴，则，故①正确；∵，∴，即∴，即，∵b、c为有理数∴，解得，∴，故②正确；∵，∴，故③正确，故正确的有①②③，共3个，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．5．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理，……从计算结果中找出规律．【答案】2022【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．【详解】解：原式．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键．6．（2022春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）满足不等式的整数的个数是．【答案】4【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：，，∵，∴，∵，，∴，故1.6与5.24之间的整数有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的估值，能熟练化简二次根是式解决本题的关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）化简＝．【答案】【分析】先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．【详解】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，∴＝，∵2+＝＝，∴原式＝＝＝．故答案为．【知识点】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算，适当的把有关式子变成完全平方的形式是解题关键．8．（2022秋·八年级课时练习）已知，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则a-b=【答案】【分析】先把x分母有理化求出x=，求出a、b的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．9．（2021春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)计算：．(2)已知m是正整数，，，，求m．(3)已知，则的值为?【答案】(1)(2)504(3)9【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；（2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；（3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求．【详解】（1）解：；（2），，，，，，，，；（3）设，，则，，，，，，，．（舍去），．【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．10．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考请你阅读下列材料，并完成相应的任务．裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．(3)利用根式裂项求解：．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可；（2）根据题中材料进行总结，即可得出答案；（3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可．【详解】（1）解：；故答案为：．（2）解：；故答案为：．（3）解：原式．故答案为：2022．【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．压轴题型二二次根式的化简求值1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组和使得；②只存在两组和使得；③不存在和使得；④若只存在三组和使得，则的值为49或64A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，，，当时，故该选项①正确；②，当，则当则．故选项②正确；③，当时，，所以不存在，故该选项③正确；④，，当时，，，，有无数和满足等式，故该选项④错误．故选：C．【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．2．（2023春·八年级单元测试）已知，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．【详解】解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故选：C【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．3．（2020秋·湖北武汉·九年级华师一附中初中部校考期中）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【详解】，，，，，，，，，故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决．4．（2023春·全国·八年级专题练习）当时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=将代入得，原式.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．5．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设，则．【答案】【分析】利用和，推得，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【详解】解：∵，∴，又∵，即，整理得，，将代入原式可得．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是通过完全平方公式得到，借助该式将原多项式进行降幂化简．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）a，b为有理数，且，则．【答案】2【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．【详解】解：a，b为有理数故答案为：2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．7．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）已知为实数，记，（1）当时，的值为．（2）的最小值为．【答案】【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案；（2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案．【详解】解：（1）当时，，故答案为：；（2），设，，，，根据题意画出图如图所示：

，作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键．8．（2023·上海·八年级假期作业）设，，当t为时，代数式．【答案】2【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．【详解】，，，解得（舍去），．故答案为：2【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．9．（2023春·河南周口·八年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)16【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解；（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，二次根式的化简，是解决问题的关键．10．（2023·江苏南京·统考二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有．(1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．

(2)推导该结论的其他思路还有：①利用，，，再配方，……②利用，使用平方差公式，……．③利用，……上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．【答案】(1)①，②，③，④，⑤(2)见解析【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤；（2）根据题目所给思路，进行推理论证即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，根据三角形三边之间的关系可得：，∴，∴，即；（2）解：①∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，则；②∵，∴，则，，∵，∴，则，∴将左边除以，右边除以得：，即；③∵，∴，则，∴，∴，∴，即；【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中．压轴题型三二次根式的混合计算1．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）若，，则a与b的大小关系是（

）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定【答案】B【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）与最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解．【详解】解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为-4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．【详解】解：①当时，．故①正确；②若值为2，则，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②错误；③若a＞-2，则a+2＞0，∴===≥0．∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．故③正确．综上，正确的有①③．故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．4．（2019·八年级单元测试）已知，是大于1的自然数，那么的值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到，，，进而得到的值，代入即可得到结论．【详解】令，从而，，，∴=，∴原式=．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）若的积是有理数，则无理数m的值为．【答案】（答案不唯一）【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．【详解】解：的积是有理数，m是无理数，是有理数，令，（是有理数）解得：，当即，时，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则的值为．【答案】/【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．7．（2023春·八年级单元测试）已知，则的值为．【答案】【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．【详解】解：∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．8．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）已知，且，则．【答案】．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．9．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算(1)；(2)（）．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：＝＝－＋．（2）解：＝·．【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．10．（2023秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab，yab，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．(1)计算：；(2)m是正整数，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)m=2(3)【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出再由进行变形再求值即可；（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果【详解】（1）原式，（2）∵a，b，∴，∵，∴，∴，∴，∴2，∵m是正整数，∴m=2．（3）由得出，∴，∵，∵，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．压轴题型四几何图形中的二次根式的计算1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（

）．A．①②③④ B．①② C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】证明，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①符合题意；由是等边三角形，可知结论②符合题意；在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论③符合题意；由，故结论④不符合题意；如图②，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论⑤符合题意．【详解】解：如图所示：∵为正三角形，，，∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，，，，，又，，，又，可以由绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①符合题意；连接，，，是等边三角形，，故结论②符合题意；，，在中，，，，是直角三角形，，，故结论③符合题意；四边形的面积，过点O作，是等边三角形，，，，，∴四边形的面积，故结论④不符合题意；如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点O旋转至，连接，，，是等边三角形，，，，是直角三角形，且，同结论④证明过程可得：，，，故结论⑤符合题意；综上所述：结论①②③⑤正确．故选C．【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，二次根式的化简，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x==3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（

）A．－1 B．+1 C． D．－1【答案】A【分析】把方程变形得到x(x+m)=n，设图中长方形长为x+m，宽为x，则图中小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2，然后进行计算即可．【详解】解：∵x2+mx－n=0，∴x(x+m)=n，∴长方形的长为x+m，宽为x，∴小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2，∴x=－1，∴方程的正数解为－1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决此题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（2023春·全国·八年级专题练习）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（

）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根据题意得出，进而可得出EF⋅GF＝AG⋅BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．【详解】因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里，由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立．故选D【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．4．（2021春·辽宁朝阳·八年级统考期中）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件的公式计算即可；【详解】根据题意可知：a＝，b＝，c＝，∴S＝，＝，，，，∴，∴；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．5．（2023春·八年级单元测试）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是．【答案】16cm【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为，根据题意得：x＝－2，则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2，宽分别为：2和4－x＝6－，∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）．故答案为：16cm．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．6．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出；若一个三角形的面积是，则它是第个三角形．【答案】20【分析】①根据题中给出的规律即可得出结论；②若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；【详解】解：①根据题意，∵OAn2=n，∴OA10=．故答案为：；②若一个三角形的面积是，∵Sn=，∴，∴它是第20个三角形．故答案为：20．【点睛】本题考查了二次根式的应用，图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图形的变化规律进行解题．7．（2022春·黑龙江佳木斯·七年级桦南县第四中学校联考阶段练习）有若干个面积为2的正方形，根据下列拼图的启示填空：(1)计算：＋＝3；(2)计算：＋＝6；(3)计算：＋＝.【答案】12【分析】（1）根据图形可得＋为三个小正方形的边长．（2）＋=两个小正方形的边长+4个小正方形的边长．所以（3）是4个小正方形的边长+8个小正方形的边长．【详解】解：由图形可得：＋＝12【点睛】本题考查二次根式的加减运算，注意理解图形的含义．8．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是．

【答案】【分析】根据题意，设小长方形长为，宽为，则由盒子底部大长方形长为，宽为，可得大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；；从而列式求两块阴影部分的周长和即可得到答案．【详解】解：设小长方形长为，宽为，盒子底部大长方形长为，宽为，大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；且；两块阴影部分的周长和，将代入上式，原式，故答案为：．【点睛】本题考查整式的加减的应用，读懂题意，设未知数表示出图形中相关线段长是解决问题的关键．9．（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．(1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【答案】(1)长方形的周长为米(2)购买地砖需要花费元【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．【详解】（1）解：

（米）．答：长方形的周长为米．（2）（平方米）．（元）．答：购买地砖需要花费元．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．10．（2023春·江西上饶·八年级统考期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时，，当，即时，的最小值为2．请利用以上结果解决下面的问题：(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；(2)当时，求的最小值；(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值．

【答案】(1)4；(2)(3)【分析】（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值；（2）由，结合（1）的结论可得答案；（3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案．【详解】（1）解：当时，，当即时，的最小值为4；当时，，，，当即时，的最大值为；（2）而，由（1）可知的最小值为4的最小值是．（3）设的面积为，，即，．四边形的面积，由（1）可知的最小值为4的最小值是．四边形面积最小为9．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键．压轴题型五二次根式的数字规律问题1．（2023·贵州六盘水·统考二模）人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设，，记，，，…依此规律，则的值为（

）A． B．25 C． D．125【答案】D【分析】利用分式的加减法则以及二次根式的混合运算法则求得、，以及，代入求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，，，…，，故选：D．【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，解题的关键是找出相应的规律．2．（2023·上海·八年级假期作业）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），根据此规律可求得结果．【详解】解：由题意得，行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），第1行到第9行共有：个数，即第9行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第5个数为；故选：B．【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，找出规律是本题的关键．3．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（）A． B． C．9 D．8【答案】C【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解．【详解】解：第个等式：，

第个等式：，第个等式：，

第个等式：，……第n个等式：，∴=，故C正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．4．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案．【详解】解：原式故选：B．【点睛】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式运算，正确得出数字变化规律是解题关键．5．（2023春·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：．【答案】【分析】通过观察类比总结出通用规律，两个根式相等，第一个根式里面是整数加分数，第二个根式里面是分数，根式外面是整数，发现等式两边的整数和分数之间的关系，即可求解．【详解】解：①，②，③，……第n个，故答案为：．【点睛】本题考查了观察类比总结出二次根式规律，关键在于充分理解题干给出的信息，找到各式的公共特点，最终得到规律．6．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·七年级校联考阶段练习）观察下列式子：；；；；…；请用字