2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十九章 几何证明（15个知识归纳+14类题型突破）（解析版）

第十九章几何证明（15个知识归纳+14类题型突破）1.掌握几何证明的相关概念，掌握命题与定理、掌握逆命题与逆定理；2.掌握垂直平分线的性质与判定；3.掌握角平分线的性质与判定；4、掌握直角三角形的性质与判定；5、掌握勾股定理的相关概念；知识点01．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．知识点02．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE知识点03．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．知识点04．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．知识点05．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．知识点06．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．知识点07．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．知识点08．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．知识点09．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点10．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点11．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点12．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点13．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识点14．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．知识点15．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．题型一几何证明1．（2023上·上海闵行·八年级统考期中）下列命题中，真命题的是（

）A．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】A【分析】根据平行线的性质可判断A．根据全等三角形的判定方法可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，根据等边三角形的性质可判断D，从而可得答案．【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直，描述正确，真命题，故A符合题意；∵有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等∴有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，假命题，故B不符合题意；∵三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角的和∴三角形的一个外角等于两个内角的和，假命题，故C不符合题意；∵等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形∴等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，假命题，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的外角的性质，等边三角形的性质，真假命题的判断，熟记基本概念与图形的性质是解本题的关键．2．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（

）（1）等角的补角相等；（2）两边及其中一边的对角对应相等的三角形是全等三角形；（3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；（4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（5）等腰三角形，两腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】（1）等角的补角相等，正确；（2）无法证明全等，故错误；（3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故错误；（4）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；（5）等腰三角形，两腰上的高相等，正确；故选：A．3．（2023上·上海杨浦·八年级校考期中）下列命题中，假命题的个数是（

）（）垂直于同一条直线的两条直线平行；（）面积相等的两个三角形全等；（）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；（）三角形的一个外角大于任何一个内角；（）有两角和一边对应相等的两个三角形全等；（）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．A．个 B．个 C． D．【答案】C【分析】本题考查了命题的真假，分别利用平行线的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质逐一判断即可，熟练掌握已经学过的概念、性质、定理是解题的关键．【详解】解：（）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故（）为假命题；（）面积相等的两个三角形不一定全等，故（）为假命题；（）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，故（）为真命题；（）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故（）为假命题；（）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，故（）为假命题；（）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故（）为假命题；其中，假命题有个，故选：．巩固训练：1．（2023上·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）下列命题正确的是（

）①两个等边三角形一定全等；②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；③有两边和一角分别相等的两个三角形全等；④两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根据三角形全等的判定方法逐一判断即可．【详解】①两个等边三角形的边不一定相等，故“两个等边三角形一定全等”是错误的；②根据判定方法“角边角”可得“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”是正确的；③根据判定方法“边角边”可得有两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等，但两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不全等，故“有两边和一角分别相等的两个三角形全等”是错误的；④如图，在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且．

∵是边上的中线，是边上的中线，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等”是正确的．综上所述，正确的命题是：②和④．故选：D【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，根据所给的条件逐一判定是解题的关键．2．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果那么．【答案】两个角是同一个角的补角这两个角相等【分析】命题由题设和结论两部分组成，命题可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，由此即可得．【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写为“如果，那么”的形式：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，故答案为：两个角是同一个角的补角，这两个角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的表达形式是解题关键．3．（2022上·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，已知：是的一个外角．

(1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题．条件：________________________________________________结论：________________________________________________(2)证明你所构建的命题是真命题．【答案】(1)①②，③(2)见解析【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）；（2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明．【详解】（1）解：选择①②当条件，③为结论；故答案为：①②，③．（2）解：已知：是的一个外角，，平分，求证：．证明：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．即选择①②当条件，③为结论，构成真命题．【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．题型二逆命题和逆定理1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．若，则【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；D、逆命题为若，则，∵若，则，∴错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．2．（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（

）A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．邻补角互补【答案】B【分析】根据题意，分别写出逆命题，再逐项判断即可求解．【详解】解：A.对顶角相等，逆命题为：相等的角是对顶角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；B.直角三角形的两个锐角互余，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，原命题的逆命题是真命题，故该选项正确，符合题意；C.全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；D.邻补角互补，逆命题为：互补的两个角是邻补角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了真假命题的判断，写出原命题的逆命题，掌握相关性质定理是解题的关键．3．（2022上·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；B选项的逆命题是“如果两个三角形的对应角都相等，那么这两个三角形全等”，可知这两个三角形不一定全等，是假命题，所以符合题意；C选项的逆命题是“如果两个三角形的对应边都相等，那么这两个三角形全等”，根据“”可知两个三角形全等，是真命题，所以符合题意；D选项的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，所以不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题，真假命题的判断，掌握性质定理及逆定理是解题的关键．巩固训练1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）下列四个命题：①若，，则；②若，则；③如果两个角是直角，那么它们相等；④同旁内角互补，两直线平行；其中逆命题是真命题的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】本题考查了逆命题真假的判定，平行线的性质，绝对值的意义等知识，先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可，理解相关性质是关键．【详解】解：①逆命题是若，则，，错误，如，是假命题，故不符合题意；②逆命题是若，则，错误，如，是假命题，故不符合题意；③如果两个角相等，则这两个角是直角，错误，相等的角不一定都是直角，是假命题，故不符合题意；④逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题；综上，它们的逆命题是真命题只有1个．故选：．2．（2023下·甘肃平凉·八年级校考期中）命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是．它是命题．（填“真”或“假”）【答案】如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数假【分析】逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，即可写出逆命题．根据逆命题判断真假命题．【详解】解：逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，故“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数”，根据两个负数的乘积也是正数可以判断该命题为假命题，故答案为：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数，假．【点睛】本题考查写出命题的逆命题，熟练掌握命题的逆命题是解题的关键．3．（2022下·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题：．

(1)请在上面空格中写出该命题；(2)小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程．已知：在中，，．求证：．证明：【答案】(1)若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则这条直角边所对的角为角；(2)；；证明见详解【分析】（1）将条件与结论对调即可得到答案；（2）根据命题写出已知求证，延长至D使，连接，证明即可得到得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，命题为：若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则直角边所对的角为角；（2）解：由（1）得，已知：在中，，，求证：；证明：延长至D使，连接，

∵，∴，在与，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∴；故所填答案为：；．(证明如上)【点睛】本题考查书写逆命题及证明，解题的关键是作出辅助线得到．题型三线段垂直平分线的性质与判定1．（2022上·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【详解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．2．（2022下·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．3．（2022上·上海·八年级上海市南洋模范中学校考期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案．【详解】解：、，且，，又平分，，故．正确，不符合题意；、在与中，，，根据三角形内角和定理．正确，不符合题意；、，且，∴EB=EA，正确，不符合题意；、不一定成立，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．巩固训练1．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）如图，，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，根据等要三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质求出是解决问题的关键．【详解】解：，∴，∴，垂直平分，，∴，∴故选：D．2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图，在中，平分的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为．

【答案】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．设，依据角平分线以及线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到的值．【详解】解：设，∵平分，∴，∵的垂直平分线交于点，∴，∴，又∵，∴中，，即，解得，∴，故答案为：．3．（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．求证：(1)是的垂直平分线；(2)为等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，再根据角平分线的定义求得，然后根据等腰三角形判定和三线合一性质可得结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得，根据等腰三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）证明：∵在中，，，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，，∴是的垂直平分线；（2）证明：∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴为等腰三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．题型四角平分线的性质与判定1．（2022上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（

）A．的角平分线与边上中线的交点B．的角平分线与边上中线的交点C．的角平分线与边上中线的交点D．的角平分线与边上中线的交点【答案】A【分析】根据点到、的距离相等可得点在的角平分线上，由可得边上的中线上，即可求解．【详解】解：由点到、的距离相等可得点在的角平分线上，由可得边上的中线上，则点是的角平分线与边上中线的交点，故选：A【点睛】此题考查了角平分线的判定以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．2．（2022上·上海杨浦·八年级校考期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】先利用角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】是中的角平分线，于点，于点，，∴，，，，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3（2023·上海静安·统考二模）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：①在、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，以大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点；③作射线．就是所求作的角的平分线．该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（

）A．三边对应相等的两个三角形全等B．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等C．两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等D．两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等【答案】A【分析】由作图可得，，根据三角形全等的判定方法“”解答．【详解】解∶连接，，由作图可得，，，在和中∴，∴，∴平分．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．巩固训练1．（2023上·陕西安康·八年级统考期中）如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先过点作于点，然后根据角平分线的性质，证明，然后根据的面积的面积的面积的面积，求出答案即可．【详解】如图所示：过点作于点，

，分别是和的角平分线，，，，，，，，，，，故选：D．2．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）如图，已知，边分别交交于M，N，若，，则的度数是．【答案】/28度【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定，作，垂足分别为P，Q，根据全等三角形的性质得出，则平分，设，证出，，根据列出方程计算即可．【详解】解：作，垂足分别为P，Q，∵，∴，平分，，设，∵，，，，，，∵，∴，，，，解得：，∴，故答案为：．3．（2023上·广东广州·八年级铁一中学校考期中）如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．

(1)若，，求的长度；(2)连接，求证：．【答案】(1)4(2)见解析【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识，（1）首先根据三角形面积公式求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可；（2）连接，根据等边对等角得到，然后结合得到，即可证明．解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上．【详解】（1）∵，，∴，即解得∵平分交BC于点D，，，∴，（2）如图所示，连接，

∵∴∵∴∵∴∴．题型五轨迹1．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，甲、乙、丙三人同时从点出发向点移动，甲的运动路线为一个半圆形的圆弧，乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，若甲、乙、丙的运动速度相等，则谁先到达点（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同时到达【答案】D【分析】分别计算出三人所走的路程，即可判定．【详解】解：甲的运动路线为一个半圆形的圆弧甲的运动路径长乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，乙的运动路径长丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，丙的运动路径长三人总路程相等，而速度也相等三人同时到达故选：D【点睛】本题考查了圆的周长公式，理解题意，准确计算是解决此类题的关键．2．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，将一个半径为1cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆心O滚动一周路径长，可得结论；【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为，∴滚动2020周后圆心所经过的路径长，故选：D．【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个90°的弧长和一个180°的弧长．3．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，点，分别在轴，轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C点坐标（），得出C点在直线y＋x=3（0≤x≤3）上，分别讨论A在O点和A′时C，D的坐标，结合图形求解，从而确定D点的轨迹为线段．【详解】解：如图，OA＋OB=6，点C为线段AB的中点∴C点坐标（），，即C点在直线y＋x=3（0≤x≤3）上设A（3，0），则B（0，3）∴当点在点处时，C（0，3），此时D（3，0）∴∠BAO=45°当点在处时即处，C（3，0），此时D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△为等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD∴当C点由B到A时，D点由A到D′∴点移动的路径长为故选：C【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转的特征，直线上坐标的特征，由C点的坐标关系得出C点的轨迹再结合图形得出D点的轨迹是解题关键．巩固训练1．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，证明，进而得到，再计算出即可求出点所经过的路径长．【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，，和是等边三角形，，，，，，，，，又点在处时，，点在处时，点与点重合，点所经过的路径的长为从C点运动到点运动的路径长．故选：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是求出点N的运动轨迹的路径长等于线段DM的长．2．（2022·八年级统考课时练习）和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有个．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质可得和已知线段的两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，分别讨论定长m>PO、m=PO和m<PO三种情况，得出与垂直平分线的交点个数即可得答案.【详解】如图，直线CD为相等AB的垂直平分线，过定点P作PO⊥CD，设定长为m，∵已知线段的两端点距离相等的点在AB的垂直平分线上，∴所求的点在直线CD上，∴当m>PO时，与CD有2个交点，当m=PO时，与CD有1个交点，当m<PO时，与CD没有交点，∴已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有2个，故答案为2【点睛】本题考查本题考查的是点的轨迹，熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键.3．（2022·八年级统考课时练习）如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹．【答案】线段．【分析】过点作交直线于点，根据D点在B点，BC中点以及C点时，得出E点所在位置，进而得出E点在一条直线上，进而得出答案．【详解】如图所示：过点作交直线于点，当点与点重合时，点与点重合，当点在中点时，∵，，∴．∵在和中，，∴≌（AAS）．∴，．∵，，∴．∴．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，当点与点重合时，∠ECA=90°，∴点与另两个点都在过点C且垂直于AC的一条直线上．综上所述：当从运动到的过程中，点的运动轨迹是线段．【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键．题型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）下面四个命题中，真命题的个数是（

）①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等；②有两角及一边对应相等的两个三角形全等；③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定可进行求解．【详解】解：①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，正确；理由：如图所示，在等腰与等腰中，，于点H，于点G，且，求证：；

证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；②有两角及一边对应相等的两个三角形全等，根据或可知其正确；③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；理由：如图所示，在与中，，、分别是上的中线，且，求证：；

证明：∵、分别是上的中线，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确，理由：如图所示，在与中，，，、分别为、上的中线，且，求证：．

证明：延长至，使，连接，延长至，使，连接．，．为的中点，．在和中，，．同理，．，．在和中，，，，同理可得．．．综上所述：真命题的个数是4个；故选D．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2022上·上海浦东新·八年级校联考期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE=DE，由角平分线的性质可得出DE=DC、AE=AC，根据周长的定义即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此题得解．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，即∴∴DE=BE∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE．∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=DC，又∠C＝90°，

∴在和中，∵∴∴AE=AC，∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性质找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解题的关键．3．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①，，根据等腰三角形的性质，可证得是的角平分线，又由，，根据角平分线的性质，即可证得；②根据证明，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出；③根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出；④根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质得出．【详解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正确；②∵，，∴，∵，∴；故②正确；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正确；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．巩固训练1．（2023上·广东江门·八年级新会华侨中学校考阶段练习）如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长为（

）

A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定及性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长即可．【详解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∴的周长，，，，，，∵，∴的周长为．故选：B．2．（2023上·天津·八年级校联考期中）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的有．（只写序号）【答案】①②③【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，利用角平分线的性质及得，进而可判断①；利用得则可判断③；利用全等三角形的性质及角的等量代换即可判断②，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【详解】解：如图，作交AD的延长线于点F，平分，于E，，，在和中，，，，，，，，，，故①正确；在和中，，，，，故③正确；，，，故②正确；故答案为：①②③．3．（2023上·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知：点O到的两边所在直线的距离相等，且．

(1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：；(2)如图2，若点O在的内部，求证：；(3)若点O在的外部，“小强”同学认为也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)不同意，见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，则，进而可证；（2）过点O作于E，于F，如图1所示，证明，则，由，可得，则，进而可证；（3）由题意知分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示，证明，则，，进而可得，进而可证；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示，证明，则，由，可得，③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：同理②，可得，然后作答即可．【详解】（1）证明：由题意知，，∵，，∴，∴，∴；（2）证明：过点O作于E，于F，如图1所示，

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（3）解：不同意他的想法，理由如下：分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示：

∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示：

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴；③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：

同理②，，∴，∵，∴；综上所述，不一定成立．题型七直角三角形的性质1．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图所示，连接，根据中点的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，根据“边边边”可证，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，点分别是对角线的中点，∴在中，是斜边的中线，则，在中，是斜边的中线，则，∴，∵点是对角线的中点，∴，在中，，∴，∴，且，∴，∴，故选项正确，故选：．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023·上海普陀·统考二模）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是(

)

A． B．C． D．点O到直线的距离是1【答案】C【分析】由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出的度数，由三角形内心的性质求出的度数是，的长在变化不一定等于，由直角三角形的性质得到，由角平分线的性质得到，得到到的距离是，据此即可求解．【详解】解：作于，于，

、分别平分、，，，，，故A正确；、分别平分，是的内心，平分，，，故B正确；的长在变化不一定等于，故C不一定正确；，，，，到的距离是，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2022上·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝EC，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A错误，符合题意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正确，不符合题意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正确，不符合题意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解题的关键．巩固训练1．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）在中，，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N，那么等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据折叠的性质得到是的垂直平分线，得到，进而得到，再利用三角形的外角定理得，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，即可得到．【详解】解：如图，连接，

∵折叠，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查折叠的性质，中垂线的性质，三角形的外角的性质，含30度的直角三角形，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．2．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）如图，中，，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点．若，则．【答案】/【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性这些质，含30度角的直角三角形的性质．连接，由等腰三角形的性质求出，再求出，可证，然后根据即可求解．【详解】解：连接．∵，，∴．由作法知，是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．3．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知：如图，在中，，，，点D在边上，平分，E为上的一个动点（不与A、C重合），，垂足为F．(1)求证：；(2)设，，求y关于x的函数解析式；(3)当时，求的长？【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由此可证明；（2）先求出，再由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，得到，则；（3）先求出，则，即可得到，再证明，得到，则，解方程得到，则．【详解】（1）证明：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，列函数关系式等等，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边长是斜边长的一半是解题的关键．题型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解．【详解】解：∵的面积为1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面积．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解．2．（2022下·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图中能用来证明勾股定理的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】运用等面积法证明即可；【详解】①根据等面积法得：，得出，可以证明勾股定理；②，得出，可以证明勾股定理；③不能证明勾股定理；④，得出，可以证明勾股定理；⑤得出，可以证明勾股定理；⑥，得出，可以证明勾股定理；⑦，不可以证明勾股定理；故①②④⑤⑥可以证明勾股定理；故选：C．【点睛】该题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是运用等面积法的列等量关系．3．（2023上·山东济南·八年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（

）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】分析已知条件，图形由八个全等的直角三角形拼接而成，可设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面积，，表示出来，得出根据，，，最后根据，代入求解即可．【详解】解：该图形由用八个全等的直角三角形拼接而成，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，∴，，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了图形面积关系，弄清图形的意义，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解决问题的关键．巩固训练1．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了勾股定理，完全平方式，根据大正方形的面积是，可得，根据小正方形的面积是，可得，将这两个式子变形即可解决问题．【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是，小正方形的面积是，∴，，由得：，得：，得：，∴，故选：．2（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为50，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，则．【答案】23【分析】由大正方形的面积为50结合勾股定理可得出；由小正方形的边长为，即得出，即，最后整体代入计算即可．【详解】解：由图可知大正方形的边长为．∵大正方形面积为50，∴，即．由图可知小正方形的边长为，∵小正方形面积为4，∴，即，将代入，得：，∴．故答案为：23．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．3．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．(1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，，边上的高为______．【答案】(1)见解析(2)6，【分析】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；【详解】（1）解：，，，，∴，化简得：；（2）解：设边上的高为，则：，∴，∴即AB边上的高是，故答案为：，．题型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和为，即可判断A、B；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断C；根据勾股定理的逆定理，即可判断D．【详解】解：A、∵，，∴，解得：，能判定是直角三角形，不符合题意；B、∵，∴，，，不能判定是直角三角形，符合题意；C、∵，∴，能判定是直角三角形，不符合题意；D、设，，能判定是直角三角形，不符合题意；故选：B．2．（2023上·山西太原·八年级统考期中）现有长度为的五根细木条，若选择其中的三根首尾顺次相接，恰好能摆成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据如果一个三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形，由此逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；B、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；C、，故能摆成直角三角形，符合题意；D、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；故选：C．3．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论．【详解】解：连接，如图：∵是等边三角形，∴，，∴，由旋转的性质可得，∴，即，∴是等边三角形，∴，，∵，∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形．巩固训练1（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（

）A．24 B．48 C．12 D．6【答案】D【分析】可得，求出a，b，c的值，用勾股定理的逆定理进行判断三角形的形状，即可求解【详解】解：由题意得，解得：，，，三角形是以a，b为直角边的直角三角形，；故选：D．【点睛】本题考查了平方的非负性，勾股定理的逆定理，理解非负性，掌握逆定理是解题的关键．2．（2023上·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于．【答案】18【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：连接、，如图，是线段的垂直平分线，，是线段的垂直平分线，，，∴，∴，，故答案为：18．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）【综合与实践】建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案：小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则．

小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则．问题解决：(1)填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是；(2)根据小智的方案，证明：；(3)工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由．【答案】(1)勾股定理的逆定理(2)见解析(3)见解析，理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【分析】本题主要考查直角三角形的判定，三角形内角和定理以及垂直平分线的性质等知识．（1）由可判断是直角三角形，且，由此可知得出依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）由操作得出和为等腰三角形，得到，再由三角形内角和定理可得出，得，从而可得出；（3）利用“工具绳”画出的垂直平分线即可．【详解】（1）∵，∴是直角三角形，且，依据的一个数学定理是：勾股定理的逆定理，故答案为：勾股定理的逆定理；（2）∵为的中点，∴，由旋转得，∴,∴和为等腰三角形，∴，又，∴∴∴；（3）如图，

将工具绳置于处，1.先以P点为圆心，为半径画一个圆，2.再以Q点为圆心，为半径画一个圆，3.两圆会有两个交点，用直尺连接，4.观察连线与是否重合理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．题型十勾股定理的应用1．（2023上·山东威海·七年级统考期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（

）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得．【详解】解：设旗杆的长为．根据题意，得，，．在中，．∴．解方程，得．答：旗杆的长为12米．故选：B．2．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子顶端A沿墙下滑至点C，那么梯子的底端B外移至点D，则的长（

）

A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定【答案】C【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．【详解】解：在中，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，即的长大于，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．3．（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒【答案】A【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间．【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A处受噪音影响的时间为：．故选：A【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．巩固训练1．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.【详解】解：设，则，，在直角三角形中，根据勾股定理可得：，即，解得：，即绳索的长是m；故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、得出是解题的关键.2．（2023下·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长m（结果精确到）．

【答案】24【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．【详解】解：，，为直角三角形．，，，，故答案为：24．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键．3．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：

①测得的长度为8米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高米；(1)求风筝的垂直高度．(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)米；(2)7米．【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，，所以，（负值舍去），所以，（米），答：风筝的高度为米；（2）解：连接，由题意得，米，

，（米），（米），他应该往回收线7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．题型十一用勾股定理解三角形1．（2023上·江苏南京·八年级南京五十中校考期中）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，，则的长度是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质；先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求得，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：在中，，为边上的中线，，∴，∵，∴，∵为边上的高，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，故选：D．2．（2023上·天津·八年级校联考期中）如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则，的长度为（）

A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．【详解】解：在中，，，，，，，，由折叠知，，，在中，，，，，，，，，故选：B．3．（2023上·吉林·九年级吉林松花江中学校考期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，，∴，，∵与关于点C中心对称，，∴，，，∴，∴．故选：D．巩固训练1．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在中，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合．①

②点到的距离为8

③

④

以上结论正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①；根据角平分线的性质即可判断②；设，则，中，，，继而求得；根据，求得，可得，即可判断④．【详解】解：中，，，故①正确；如图，过点作于，于，

，平分，，是的角平分线，，，，故②正确；将沿折叠使点C与点E恰好重合，，设，则，中，，．，解得，，故③正确；，且，即，，故④正确；结论正确的个数是4，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为．

【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解．【详解】是等边三角形，，，在和中，，，，，，，，，，如图，过点作于，

，，，，，，，，，，故答案为：．3．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由；(2)求证：．【答案】(1)，理由见解析(2)见解析【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．（1）由与都是等腰直角三角形，，可知，，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；（2）由等腰直角三角形的性质得，由，得，，则，根据勾股定理得，则．【详解】（1）解：，理由：与都是等腰直角三角形，，，，，在和中，，．（2）证明：，，，，，，，，．题型十二勾股定理与折叠问题1．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解．【详解】解：由折叠的性质可得，设，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，∴，故选：B．2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（

）A．24 B．30 C．40 D．80【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边性质，由折叠结合矩形的性质先证明，设，则，再利用勾股定理求解，从而可得的面积．掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：长方形，，，由对折可得：设，则，∵∴．故选：C．3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为()

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．【详解】解：∵沿着直线翻折，得到，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的长是，故选：B．巩固训练1．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（）A．26 B．24 C．21 D．15【答案】D【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案．【详解】解：根据折叠的性质得，，，∵，，∴，∵的面积为42，F为中点，∴，∵沿翻折得到，∴，则，解得，∴，则，，故选∶D．2．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片，，．先对折长方形纸片使与重合，得到折痕，再将沿折叠，当点恰好落在折痕上时，则的长为．【答案】【分析】本题考查矩形的判定及其性质，折叠性质，勾股定理的应用，根据对折长方形纸片使与重合，得到折痕，求得，根据将沿折叠，当点恰好落在折痕EF上，得到，，在和中，应用勾股定理即可求解．【详解】解：在长方形中，，，，∵对折长方形纸片使与重合，得到折痕，∴，，，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵将沿折叠，当点恰好落在折痕上，∴，在中，，即，∴，∴，在中，，即，∴，故答案为：．3．（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．

(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，勾股定理；（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠的性质可得进而即可求解；（2）根据折叠的性质可得，设，则，在中根据勾股定理，列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：在中，，，由翻折可得，，（2）解：由翻折可得，设，则，

在中，解得，．题型十三求最短路径问题1．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为，高为，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用及几何体的展开图形，将圆柱侧面沿展开，则点、点分别是和的中点，连接，利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理及圆柱的展开图形是解题的关键．【详解】解：将圆柱侧面沿展开，则点、点分别是和的中点，连接，如图：

，，在中，根据勾股定理得：，故选B．2．