24-第二章第四节(概率统计)

第二章随机变量及其分布2.4连续型随机变量及其概率密度内容简介:对于连续型随机变量X,同离散型随机变量X并行研究,先后讨论概率密度、分布函数及其二者关系问题,其中重点研究三种常用的连续型随机变量的分布——均匀分布、指数分布和正态分布.重点学习正态分布的理论.第二章随机变量及其分布2.4连续型随机变量及其概率密度2.4.1提出问题若随机变量X的所有的可能取值充满一个区间,那么就不能像离散型随机

变量那样,以指定它取每个值的概率的方式给出其概率分布,怎样来研究这种情形呢？2.4.2预备知识1.反常积分，原函数，定积分的几何意义，定积分与反常积分计算;

2.奇偶函数，单调增函数，分布函数连续性.2.4.3提出概念

连续型随机变量X的所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能像离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.1.连续型随机变量的概率密度

定义对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数f(x),使得对于任意的实数x,有F(x)=P{-∞<X≤x}=则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度.

由定义可以看出:连续型分布函数F(x)是处处连续的,而一般定义(2.3.1)得到的分布函数F(x)仅是右连续的.几何意义见下图.概率密度f(x)的性质：

(1)

f(x)≥0,x∈(-∞,+∞).

(4)若f(x)在点x处连续,则有(5)

连续型随机变量取任一指定值的概率为0,

即P{X=a}=0,a为任一指定值.

(3)对于任意实数x1,x2(x1≤x2),P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)=讲评如果任意一个非负实函数f(x)满足以上两条性质(1)、(2),则f(x)就是一个随机变量的概率密度.这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.

由性质(2)知道,介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1.见(图2-7).

由性质(3)知道,X落在区间(x1,x2]上的概率P{x1<X≤x2}等于区间(x1,x2]上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积值(图2-8).这是因为性质(4)说，若f(x)在点x处连续,有故X的概率密度f(x)在x这一点的值,恰好是X落在区间(x,x+△x]上的概率与区间长度△x之比的极限.这里,如果把概率理解为质量,则f(x)相当于线密度.若不计高阶无穷小,有

P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x.它表示随机变量X取值落入区间(x,x+△x]的概率近似等于f(x)△x.由导数的定义，我们得到：

讲评由P(A)=0,不能推出A=,但P()=0;由P(B)=1,也不能推出B=Ω,即Ｂ并非必然事件,但P(Ω)=1.性质(5)是因为因此,对连续型随机变量X,(2.4.2)式成为

P{x1≤X<x2}=P{x1<X≤x2}=P{x1<X<x2}.P{X=a}例2.4.1设连续型随机变量X的概率密度f(x)如右式，试求:

解

(1)因为故由

(1)常数k;(2)P{|X|≤0.5};(3)X的分布函数.

2.4.4理论应用

(2)所求概率

(3)因为得到当x<-1时,当-1≤x<1时,当x≥1时,

得X的分布函数

(4)计算连续型随机变量X落入区间(a,b]或[a,b)或[a,b]内的概率都用公式

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=或

(∵P{X=a}=0)

(1)确定f(x)中的待定参数用公式讲评(2)已知概率密度f(x),求分布函数用定义(3)已知分布函数F(x),求概率密度f(x)用关系

注意F(x)和f(x)为分段函数时的定义区间写法.

常用的连续型随机变量的分布有均匀分布、指数分布和正态分布.2.4.5常见常用的连续型随机变量的分布

1.均匀分布

均匀分布的分布函数为

若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,其中a,b为分布参数,且a<b,

记为X~U(a,b).

均匀分布的概率密度f(x)及分布函数F(x)的图形分别如下图所示.若X～U(a,b)，则对于满足a≤c<

d≤b的c,d,总有

可见,若随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布,则X落入该区间中任一相等长度的子区间内的概率相同,即X落入任何子区间的概率仅与该区间的长度成正比,而与其位置无关.此性质进一步说明了几何概率定义的合理性.

均匀分布常见于下列情形:某一事件等可能地在某一时间段发生;在数值计算中,由于进行四舍五入,小数点后某一位小数舍入的误差,例如对小数点后第一位是按四舍五入原则得到时,那么一般认为误差在(-0.05,0.05)上服从均匀分布.

由题意,可以认为测量误差X(单位:cm)

在区间(-0.05,0.05)上服从均匀分布,故知X的概率密度为

例2.4.2

测量一个工件的长度,要求准确到毫米,即若以厘米为单位计,小数点后第一位数字是按“四舍五入”的原则得到.求由此产生的测量误差X的概率密度,并求某次测量中,其误差的绝对值小于0.03的概率.解因此所求概率为

2.指数分布若连续型随机变量X的概率密度为

则称

X服从参数为λ的指数分布,其中λ>0,是一常数，记为X~E(λ).用分段积分的方法,易知指数分布的分布函数为

例2.4.3

多年统计表明,某厂生产的电视机的寿命X~E(0.2)(单位:万小时).

(1)某人购买了一台该厂生产的电视机,问其寿命超过4万小时的概率是多少?

(2)某单位一次购买了10台这种电视机,问至少有2台寿命大于4万小时的概率又是多少?

(3)若已知一台电视机的寿命大于4万小时，问这台电视机的寿命大于5万小时的概率是多少？解由题设知,随机变量X的概率密度为(1)

电视机寿命超过4万小时的概率为

(2)设Y={10台电视视中寿命大于4万小时的台数},则Y服从二项分布,即有Y~B(10,).于是P{Y≥2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}

=0.9765.(3)这是求条件概率P{X>5|X>4}.讲评

(1)这里X~E(0,2),Y服从二项分布Y~B(10,).用到结论P{X>4}=e-0.8.

(2)此题比较综合,应引起重视.

指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命,动植物的寿命,服务系统的服务时间等等.连续型随机变量X的指数分布概率密度还有形式：

3.正态分布

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在19世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广,所以通常又称为高斯分布.

正态分布是概率论与数理统计中最常用也是最重要的一种概率分布,它在解决实际问题中有着广泛的应用.经验表明,当一个变量受到大量微小的、互相独立的随机因素影响时,这个变量往往服从或近似地服从正态分布.在正常条件下,各种产品的质量指标,零件的尺寸,纤维的强度和张力，农作物的产量,小麦的穗长和株高，测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声，等等,都服从或近似地服从正态分布.(1)正态分布的定义

若随机变量X

的概率密度为

则称X服从参数为μ和σ2的正态分布,其中μ和σ(σ>0)都是常数.常记为X～N(μ,σ2).f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.

(2)正态分布的图形特点正态分布的概率密度图象见图2-11.图2-11正态分布的概率密度及参数μ,σ含义

正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,其特点是“两头小,中间大,左右对称”.μ决定了图形的中心位置,当μ取不同值时,图像将会发生平移；σ决定了图形的峰的陡峭程度:当σ较大时,曲线较平坦;当σ较小时,曲线则较陡峭.

令x1=μ+c,x2=μ-c(c>0),分别代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c),且f(μ+c)≤f(μ),

f(μ-c)≤f(μ),并在x=μ处达到最大值:

当x→±∞时,f(x)→0.这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越接近x轴,即f(x)

以x轴为渐近线;用求导的方法可以证明,x=μ±σ为f(x)的两个拐点的横坐标.设X～N(μ,σ2),则随机变量X的分布函数是

(3)正态分布的分布函数当μ=0,σ=1时,得到的正态分布N(0,1)称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用φ(x)和Φ(x)表示.这里(4)标准正态分布关于φ(x)和Φ(x)的图形见图2-12.图2-12标准正态分布概率密度φ(x)和分布函数Φ(x)关系

关于分布函数Φ(x)和概率密度φ(x)有以下性质:(i)Φ(0)=0.5,

φ(0)=

(ii)Φ(-x)=1-Φ(x),

φ(-x)=φ(x).

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布N(μ,σ2)都可以通过“标准化”线性变换转化为标准正态分布.

定理

若X

～N(μ,σ2),

则Z=～N(0,1)．证的分布函数为

=P{X≤μ+σx}

根据这个定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表,就可以解决一般正态分布的概率计算问题.得到

令

由此得到

(5)正态分布表及正态分布计算问题

书末附有标准正态分布表,借助于该表,可以解决一般正态分布的概率计算问题.表中给的是当x≥0时Φ(x)的值.对于x<0时,用关系等式Φ(x)=1-Φ(-x)计算.特别地,P{│X│≤a}=2Φ(a)-1.

(2.4.13)(i)若X～N(0,1),则P{a<X<b}=P{a≤

X≤b}=Φ(b)-Φ(a).(2.4.12)(ii)若X～N(μ,σ2),则Y=

～N(0,1),且有

(2.4.14)

求导,得概率密度关系

(2.4.15)

P{a<X≤b}=(2.4.16)

区间概率关系：

讲评

(1)若X服从标准正态分布,即X~N(0,1)则X落于区间(a,b]上的概率为

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=Φ(b)-Φ(a).

(2)若X服从一般正态分布,即X~N(μ,σ2)

则X落于区间(a,b]上的概率为

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a)

(iii)3σ准则:由标准正态分布的查表计算可以求得，当X～N(0,1)时,

P{│X│≤1}=2Φ(1)-1=0.6826,P{│X│≤2}=2Φ(2)-1=0.9544,

P{│X│≤3}=2Φ(3)-1=0.9974.

(3)标准正态分布函数Φ(x)与正态分布函数F(x)的关系:F(x)=Φ

Φ(x)=F(μ+σx).

这说明,X的取值几乎全部集中在

[-3,3]区间内,超出这个范围的可能

性仅占不到0.3%.这表明,Y

的取值几乎全部集中在区间[μ-3σ,μ+3σ]内.这在统计学上称作3σ准则

(三倍标准差原则）.

上述结论推广到一般的正态分布Y～N(μ,σ2)时,

P{│X-μ│≤σ}=0.6826,P{│X-μ│≤2σ}=0.9544,P{│X-μ│≤3σ}=0.9974.(6)上α分位点

为了便于今后在数理统计中的应用,对于标准正态随机变量,我们给出α分位点的定义.

设X~N(0,1),若zα满足条件

P{X>zα}=α(0<α<1),(2.4.17)则称数zα为标准正态分布的上α分位点.图2-13上α分位点zα下面列出了几个常用的zα的值.α0.0010.0050.010.0250.050.10zα3.0902.5762.3271.9601.6451.282特别地,由φ(x)图形的对称性知道z1-α=-zα.(2.4.18)显然,由P{X>zα}=α得到P{X≤zα}=1-α.(2.4.19)例2.2.4

设随机变量.X～N(3,22)(1)计算P{2<X≤5}，P{|X|>2}；(2)确定c使得

(3)设d满足

,问d至多为多少？

解

(1)利用(2.4.16)式，查标准正态分布表，得到(2)由