2.1 向量的概念（教学设计）-【中职专用】高二数学同步课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

教学目标2.1向量的概念教学目标1．通过位移、力等物理背景体会向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量和零向量等概念，能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量；教学重难点2教学重难点教学重点：向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．教材分析教学难点：向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教材分析教学工具本课通过实际例引入向量的概念，进而介绍相关一些基本概念，为后续学习做好准备．本课概念较多，应结合具体例子引导学生在熟悉的环境中，分析、提炼向量的两个要素，了解向量概念；帮助学生用位移、力、速度等物理量理解相关知识，并数形结合进行说明．教学工具教学课件教学教学过程（一）情境导入我国是海洋大国，海域辽阔、资源丰富．如图所示，某海洋科考船从A点沿东北方向航行100nmile到达B点．如果船S舰沿其他方向航行100nmil能不能到达B点呢？【设计意图】创设情境设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透课程思政.（二）探索新知可以看出，船从A点出发沿其他方向航行100nmile不能到达B点．事实上，图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100nmile，航向东北方向．100nmile”称为船的位移．生活和学习中常会遇到一些量如长度、质量时间温度积年龄它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中把既有大小又有方向的量称为向量．向量常用小黑体英文字母a、b、ca、b、c…一些软件中也是用字母上方加箭头来表示向量．除了位移，生活中常见的向量还有速度、加速度、力等．向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|．模为1的向量称为单位向量．0或0．零向量的方向是任意的．非零向量的方向如何表示呢？平面中由两点A、B所确定的线段AB有两个方向，即以点A为起点、点B为终点的方向和以点B为起点、点A为终点的方向．一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB．习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题中有向线段直观地表示了船的位移，其长度表示船位移的大小，其箭头指向表示船位移的方向．一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．这也是向量的几何表示．【设计意图】结合实际生活说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示.（三）典例剖析例1.2022年2月我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩．冰球是最受关注的项目之一．如图所示是按1:1000比例尺绘制的甲运动员带球传球的示意图甲运动员从点A带球到了点，然后将球传给了位于点C的乙运动员．尝试用有向线段分别表示冰球甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到1m解如右上图所示，用有向线段AB

表示甲运动员的位移．在图中测量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲运动员位移的实际大小|AB

用有向线段AC表示冰球的位移．在图中测量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的实际大小|AC

|≈2.1cm×1000=21m例2.如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量．解向量a：|a|=2²+2²=2向量b：|b|=2²+2²=2向量c：|c|=1²+1²向量d：|d|=1²+1²向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向．其中的单位向量有：i、j．例2中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？（1）i与j； （2）a与d；（3）a与b；（4）c与d．向量i与j的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量．向量a与d的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量．向量a与b不仅模相等，而且方向相同．考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把a与b看作一样的向量．向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系．一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量向量a与b相等时记ab．与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a．规定：零向量的相反向量仍是零向量．进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行．一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记a∥b．规定零向量与任何一个向量平行即对于任意向量，都有∥a．进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行．对于前面图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l．然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a，OC=c，OD=d，如右图所示．这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量．（利用课件演示）例3.如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中符合下列要求的所有向量：（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量.解:（1）与向量相等的向量有：（2）与向量共线的向量有：【设计意图】例1巩固向量的概念及要素强化向量的直观表达，通过作图等方式体会向量的几何特征；例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念,及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面.（四）巩固练习1．下列说法正确的是 ()A．平行向量就是向量所在直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为0D．共线向量是在一条直线上的向量解:平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．2．如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：（1）图中与共线的向量有；（2）图中与相等的向量有；（3）图中与的模相等的向量有.解:（1）图中与共线的向量有；（2）图中与相等的向量有；（3）图中与的模相等的向量有.3.如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.解：（1）如图，即为所求.（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，∴.4.在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.解:A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，所以A地至B实际距离为：，A地至C地的实际距离为：.5．下列说法错误的是（

）A． B．，都是单位向量，则C．若，则 D．零向量方向任意解:对于A，