第一章直线与圆知识归纳与题型突破（4大考点8大题型）

第一章直线与圆（题型清单）0101考点归纳考点一、直线的方程考点二、两条直线的位置关系考点三、圆的方程考点四、直线与圆、圆与圆的位置关系0202知识速记直线的方程1．直线的倾斜角一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按eq\o(□,\s\up1(1))逆时针方向旋转到与直线重合时所转的eq\o(□,\s\up1(2))最小正角记为θ，则称θ为这条直线的eq\o(□,\s\up1(3))倾斜角；倾斜角的取值范围是eq\o(□,\s\up1(4))[0，π)．2．直线的斜率(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝eq\o(□,\s\up1(5))tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq\o(□,\s\up1(6))eq\f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的eq\o(□,\s\up1(7))方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(v,u)．3．直线方程的五种形式名称几何要素方程形式适用范围点斜式点(x0，y0)，斜率keq\o(□,\s\up1(9))y－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直斜截式斜率k，纵截距beq\o(□,\s\up1(10))y＝kx＋b两点式点(x1，y1)，点(x2，y2)，x1≠x2，y1≠y2eq\o(□,\s\up1(11))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与坐标轴不垂直截距式纵、横截距，a≠0，b≠0eq\o(□,\s\up1(12))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且不垂直于坐标轴一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0或B≠0)所有直线常用结论1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交eq\o(□,\s\up1(1))k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝eq\o(□,\s\up1(2))－1eq\o(□,\s\up1(3))A1A2＋B1B2＝0平行eq\o(□,\s\up1(4))k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合eq\o(□,\s\up1(5))k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合eq\o(□,\s\up1(6))平行3.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\o(□,\s\up1(9))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．圆的方程1．圆的定义与方程2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(6))＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(7))>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(8))<r2⇔点在圆内直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δeq\o(□,\s\up1(1))<0Δeq\o(□,\s\up1(2))＝0Δeq\o(□,\s\up1(3))>0几何观点deq\o(□,\s\up1(4))>rdeq\o(□,\s\up1(5))＝rdeq\o(□,\s\up1(6))<r2．圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系圆心距与半径的关系图示公切线条数外离eq\o(□,\s\up1(8))d>r1＋r24内含eq\o(□,\s\up1(9))d<|r1－r2|0相交eq\o(□,\s\up1(10))|r1－r2|<d<r1＋r22内切eq\o(□,\s\up1(11))d＝|r1－r2|1外切eq\o(□,\s\up1(12))d＝r1＋r230303题型归纳题型一直线的方程例题：11．过点，倾斜角为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，化简得.故选：C.12．过点和，的直线的一般式方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，整理得，即直线的一般式方程为.故选：C.巩固训练11．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由斜截式方程求解即可.【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率，所以直线的方程为，即直线的一般方程为：.故选：D.12．过点，且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项.【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以直线方程为，故选：A.13．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，其中，由直线，可得斜率为，即，可得，根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过点，可得直线的方程为，即.故选：D题型二直线方程的综合应用例题：21．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得.【详解】令，得；令,得．故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得.故选：B22．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设直线l：的倾斜角为，可得，从而利用两角和的正切公式求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案.【详解】设直线l：的倾斜角为，则，由题意可得，直线的倾斜角为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选：C巩固训练21．直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．【详解】解：直线方程转化为：，令，解得，所以直线过定点，故选：A．22．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果.【详解】由题意知：直线恒过定点；直线与轴分别交于点，；在平面直角坐标系中作出直线如下图所示，结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行；，，倾斜角为，倾斜角为，直线倾斜角的取值范围为.故选：D.23．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.【详解】设，直线过和，当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.设关于轴的对称点为，当直线过两点时，，三角形是等腰三角形，同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，所以，此时直线的方程为，即，设直线与轴相交于点，如图所示，若，则，所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为，即，综上直线方程为或，故选：D题型三两条直线的平行与垂直例题：31．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数.【详解】设与直线平行的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是．故选:A32．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值.【详解】直线与直线垂直，则有，解得或，故选：A．巩固训练31．已知直线：，：，若，则m的值为（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3【答案】B【分析】根据直线平行得到方程，求出或1，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或1，当时，直线：，：，两直线平行，满足要求.当时，直线：，：，两直线重合，舍去，故选：B32．若直线与互相垂直，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由两直线互相垂直的条件，列方程求的值.【详解】若直线与互相垂直，则有，解得.故选：A33．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可.【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且.因为直线l与斜率为的直线垂直所以，解得.故选：A.题型四两条直线的综合应用例题：41．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线的斜率，且，可知直线的斜率所以的倾斜角为．故选：D．42．已知直线与直线平行，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两直线平行列式计算即可.【详解】由题意可知，，所以，且.故选：B.巩固训练41．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.【详解】因为，故即，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：C.42．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及所过的点，再利用直线的点斜式方程求出方程.【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点，所以直线的方程是，即.故选：B43．已知直线，䒴，，则（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.【详解】已知直线，由，得，且，解得，由，得，故.故选：B.题型五圆的方程例题：51．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.【详解】由题意可得方程为.故选：C.52．圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．， B．， C．，3 D．，3【答案】A【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.【详解】圆的圆心坐标为，半径为.故选：A巩固训练51．圆的圆心和半径分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.【详解】由，所以圆心和半径分别为.故选：D52．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解.【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为．故选：A.53．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项.【详解】设过和两点的圆的圆心为，半径为，则，故，当且仅当为中点时等号成立，故过和两点的圆的面积最小时直径为，此时圆的圆心为，故其标准方程为，故选：C.题型六轨迹方程和最值问题例题：61．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案.【详解】设，，由，得，所以，又因为点在圆上，所以，即.故选：C.62．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.【详解】由，得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B.巩固训练61．若点是圆:上一点,则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.故选：B.62．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积.【详解】设线段的中点，，则，即，又因为端点在圆上运动，所以，即，整理得：，所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆.所以该圆的面积为.故选：C.63．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解.【详解】的圆心为，半径为，由题意得，故在圆外，所以的最大值为．故选：D题型七圆的切线、弦长例题：71．直线被圆所截得的弦长为（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案.【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，；圆心到直线的距离为，所以弦长为.故选：B.72．若直线与圆只有一个公共点，则（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得.【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1，因此，解得，所以.故选：C巩固训练71．若直线与圆交于点A，B，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线被圆截得的弦长公式求解.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以，故选：B.72．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。【详解】将l的方程转化为，令解得，即过定点，当时，圆心到直线的距离最大值为，此时取得最小值,根据勾股定理：.故选：A73．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为，圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以，即，解得，即的方程为.故选：A题型八直线与圆、圆与圆的位置关系综合例题：81．已知圆与圆交于A，B两点，则（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：，显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.故选：C82．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（

）A．1 B． C． D．0【答案】A【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，