第05讲异面直线间的距离（2个知识点3种题型强化训练）

第05讲异面直线间的距离课程标准学习目标认识和理解两条异面直线的公垂线以及公垂线的存在性与唯一性，进一步完善空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系以及研究方法，进一步发展直观想象和逻辑推理核心素养.1.认识和理解两条异面直线的公垂线概念及其距离（重点）初步感受求异面直线间的距离的多种方法.（难点）知识点01异面直线距离与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。知识点02异面直线距离求法（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求．3题型01异面直线间的距离【例1】（2022·上海·高二专题练习）棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为．【答案】【分析】根据题意，证得且，得到为异面直线与的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体中，可得平面，平面，因为平面，平面，所以且，所以为异面直线与的公垂线，又由正方体的棱长为，可得，所以异面直线与的距离为.故答案为：.【变式11】（2022·上海·高二专题练习）若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为．【答案】2【分析】连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果.【详解】连接，，

，又

平面，又平面

即为异面直线与之间的距离又

本题正确结果：【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段.【变式12】．（2022秋·上海·高二专题练习）在棱长为的正方体中，与AD成异面直线且距离等于的棱共有条.【答案】4【分析】作出图形，结合异面直线距离的定义即可得到答案.【详解】如图，由图可知，异面，且垂线段，异面，且垂线段，异面，且垂线段，异面，且垂线段.故答案为：4.【变式13】．（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是．【答案】/【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可.【详解】作的中点，连接，，，因为，，，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，因为，，，所以，且，所以平行四边形为边长为2的菱形，且，所以和都是正三角形，所以，，又因为，、平面，所以平面，过作于点，因为平面，所以，则为异面直线与的公垂线段，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，则，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与的距离为，故答案为：.题型02点面距离【例2】（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．(1)求与平面所成角的大小；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，当时，使得点到平面的距离为【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及矩形的性质，利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合勾股定理及锐角三角函数即可求解；（2）根据已知条件做出图形，利用线面垂直的判定定理及点到面的距离的定义即可求解.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又，平面，所以平面，直线在平面的射影为直线，所以是直线与平面所成的角，因为，,所以，在中，，故直线与平面所成角的大小为；（2）假设边上存在一点满足题设条件，作，如图所示因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，故，且△DQA∽△ABG，所以，故存在点，当时，使得点到平面的距离为；【变式21】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.【答案】【详解】在棱长为1的正方体中，，如图所示，设点在平面的射影为，因为，所以有，故答案为：【变式22】（2023春·上海杨浦·高二同济大学第一附属中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

【答案】【详解】，为边长为的等边三角形，设到平面的距离为，根据，则，解得.故答案为：.【变式23】．（2023春·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，，平面ABCD，，E为PA的中点．

(1)求证：平面平面ABCD；(2)求二面角的正切值；(3)求点E到平面PBC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）设，连接EO，由已知得，从而得到平面ABCD，由此能证明平面平面ABCD；（2）过点O作OF垂直BE于F点，连接AF，由线面垂直的判定定理可得平面BDE，平面AOF，得到二面角的平面角为，求解直角三角形得答案；（3）在底面作，垂足为H，根据平面PBC可知点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，求出OH即可求出点E到平面PBC的距离．【详解】（1）设，连接EO，∵菱形ABCD，∴O是AC中点，∵E为PA的中点，∴，∵平面ABCD，∴平面ABCD，又平面EDB，故平面平面ABCD．（2）过点O作OF垂直BE于F点，连接AF，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，平面BDE，∴平面BDE，因为平面BDE，所以，又平面AOF，所以平面AOF．∴二面角的平面角为，因为底面ABCD是边长为1的菱形，则为等边三角形，所以，，又，所以，所以，在中，．（3）在底面作，垂足为H，∵平面ABCD，平面ABCD，所以，又平面PCB，所以平面PCB，由（1）知，，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，在中，，，，所以，即点E到平面PBC的距离为．

题型03线面距离【例3】（2023·上海·高二专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.【答案】【分析】由，得，则线段的长为到底面ABCD的距离，然后求出即可．【详解】解：因为，所以为异面直线AD与所成的角，所以，因为正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以线段的长为线段到底面ABCD的距离，因为在中，，，所以，所以线段到底面ABCD的距离为．【变式31】（2023·上海·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.【答案】.【分析】根据平面，将直线B1C1到平面的距离转化为C1到平面的距离，进而解出答案.【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，又平面，平面，所以，而，所以平面，易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，所以直线B1C1到平面的距离为.故答案为：.【变式32】（2022秋·上海·高二期中）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；(3)求EF到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)【分析】（1）连接，分别证明平面和平面即可；（2）连接交于，连接，，，，，，通过证明和即可.（3）平面，又因为平面，为交的交点，所以EF到平面的距离即为.【详解】（1）连接，由正方体的性质知：，所以四边形是平行四边形，所以，又因为在三角形中，，平面，平面，平面.（2）取的中点，则满足平面，证明如下：连接交于，连接，，，，，，则，，，，∴在中，由，得，∴在中，由，得，∴在中，由，得，∴在中，，，又∵，，平面，∴平面（3）平面，又因为平面，为交的交点，所以EF到平面的距离即为，由（2）知.【变式33】（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论；（2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长；（3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知.【详解】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，，平面，平面，平面.（2）取中点为，，，，，又，，，又，，则，，平面，平面，此时，则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，又，直线到平面的距离为.一．选择题1．（2023秋•松江区校级期末）正方形的边长为12，其内有两点，，点到边，的距离分别为3，2，点到边，的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，设得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为A． B． C． D．【分析】设点和点所在的截面圆的圆心分别为，，利用，将、两点间的距离转化为向量的模进行计算即可．【解答】解：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，由扇形的弧长公式可得，，因为，所以，所以．故选：．【点评】本题考查空间距离的求法，熟练掌握扇形的弧长公式，空间向量的运算法则是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．2．（2023秋•闵行区期中）如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是A． B． C． D．【分析】首先找出过点且与平面平行的平面，然后在三角形内找线段长度的最小值即可．【解答】解：连结，，，如图所示，因为，，分别为，，的中点，所以，又平面，平面，则平面，因为，同理可得平面，又，，平面，所以平面平面，因为直线平面，所以点在直线上，在中，，所以，故当时，线段的长度最小，所以，故．故选：．【点评】本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线的距离，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．3．（2023秋•浦东新区校级期末）已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③的余弦值的取值范围为；④周长的最小值为．其中正确结论的为A．①② B．②③ C．③④ D．①④【分析】将四面体放置在正方体中，设正方体的棱长为，求得值判断①；取特殊点并求值判断②③；利用剪展法求最小值判断④．【解答】解：将四面体放置在正方体中，设正方体的棱长为，则，，故①正确；当为线段的中点，点为线段的中点时，直线与直线相交垂直，故②错误；若在的中点处，则，此时，若在的端点处（在处同理），则，，此时，故③错误；将和展开成平面图形，如图2，由图2可知，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，此时，周长的最小值为，故④正确．故选：．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．二．填空题4．（2023秋•黄浦区期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，、分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段长度的取值范围是，．【分析】根据圆柱的几何性质，利用勾股定理求解即可．【解答】解：设是圆柱的底面圆的一条直径，点位于点的正上方，点在底面圆周上运动（不与和重合），则，由勾股定理知，，，即线段长度的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查空间中距离的求法，熟练掌握圆柱的几何性质是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．5．（2023秋•浦东新区校级期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为．【分析】先过点作平面于点，得到点是的外心，再利用平面几何的知识来解答．【解答】解：过点作平面相交于点，连接并延长与相交于点，连接，因为，所以，因此点是的外心，又因为，所以点是的中心，因此，又因为，且，所以，故点到平面的距离是．故答案为：．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，属于中档题．6．（2023秋•长宁区校级期末）点是线段的中点，若，到平面的距离分别为和，且，在平面的异侧，则点到平面的距离为1．【分析】画出该几何模型的侧面示意图，利用三角形相似的性质，求解即可．【解答】解：画出该几何模型的侧面示意图，如图所示，设点，到平面的距离分别为，，与平面相交于点，过点作平面，则，所以，不妨设，，因为为的中点，所以，所以，因为，所以，所以，即点到平面的距离为．故答案为：1．【点评】本题考查空间中点到面的距离，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（2023秋•徐汇区期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为．【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解．【解答】解：如简图所示，两平面相交于，，，，，，．则为二面角的平面角，且，，即点到二面角的棱的距离为．故答案为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，属于中档题．8．（2023秋•宝山区校级期末）正方体的棱长为4，在平面上，，之间的距离为5，则、之间的最短距离为．【分析】由正方体的性质可得，即在以为圆心，3为半径的圆，进而可求、之间的最短距离．【解答】解：由正方体，可得平面，平面，，由，之间的距离为5，正方体的棱长为4，可得，即在以为圆心，3为半径的圆，又，、之间的最短距离为．故答案为：．【点评】本题考查两点间的距离的最小值，考查点的轨迹的求法，属中档题．9．（2023秋•黄浦区期末）如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线，若上一点到平面的距离为1，与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离为．【分析】作辅助线，并利用线面垂直的判定定理与性质定理寻找点到直线的距离，再由三角函数的知识求解即可．【解答】解：设点在平面上的投影为点，则点在直线上，且，，所以，，过点作于点，连接，则，由题意知，平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，即点到直线的距离为，在中，，所以，即点到直线的距离为．故答案为：．【点评】本题考查空间中的角与距离，理解线线夹角、点到面的距离，点到线的距离等的含义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．（2023秋•松江区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则平面到平面的距离是．【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，结合锐角三角函数定义进行求解即可．【解答】解：因为，分别是棱，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理平面，而，，平面，所以平面平面，过作，垂足为，由正方体的性质可知，平面，而平面，所以，而，，平面，所以平面，因此的长度就是平面到平面的距离，在正方形中，，即，因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理，可得，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查空间面面平行的判定，考查线面垂直的判定以及勾股定理，属中档题．11．（2023秋•闵行区校级期末）已知正方体的棱长为2，为棱的中点，，分别是线段，上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为．【分析】根据题意得点在以为焦点，以为准线的抛物线上，则的最小值转化为到直线的距离与到棱的距离之和，由三角形三边关系能求出结果．【解答】解：正方体的棱长为2，为棱的中点，，分别是线段，上的两个动点，为正方体表面上一点，面，到棱的距离为，到棱与到棱的距离相等，点在以为焦点，以直线为准线的抛物线上，的最小值为到直线的距离与到直线的距离之和，即的最小值转化为到直线的距离与到棱的距离之和，点到直线的距离与到棱的距离之和，，的最小值即为点到直线的距离，即为的高，在中，，，，，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查点的轨迹、抛物线定义、三角形三边关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三．解答题12.（2022·上海·高二专题练习）如图，正方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求两平面与之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正方体的性质，通过证明线面平行证明面面平行即可；（2）作出两平行平面的公垂线段，再计算公垂线段的长即可得出结论.【详解】(1)正方体中，且不在平面内，所以平面同理可得，平面又平面平面；（2）如图，设，连接，，平面，，又正方体中，平面，，又，平面，根据（1），平面平面平面，图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，平行四边形中，分别是的中点，是线段的三等分点，，两平面与之间的距离为.13．（2023·上海·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；(3)求异面直线与之间的距离.【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可；(2)假设存在，利用二面角的大小为求解即可；(3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可.【详解】（1）取的中点，因为是的中点，所以，又，所以，所以异面直线与所成角也就是与所成角，由正方体得平面，平面，所以，，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设存在点符合题意，连接与交于点，所以，因为是正方体，所以，又是的中点，所以，所以就是二面角的平