2022届山西省高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2022届山西省高三第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合M的描述，判断集合N中元素与集合M的关系，再由集合的交运算求【详解】由题设，，，所以.故选：A2．设复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】由已知可得.故选：D.3．已知命题若，则；命题，在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项.【详解】对于命题，取，，则，但，为假命题，对于命题，，，则函数在定义域内为增函数，为真命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：B.4．若倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得结果.【详解】抛物线的焦点为，设点、，直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得.故选：C.5．已知非零向量、满足，，则与的夹角为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用等式结合可求得，且有，利用平面向量的数量积求出，结合向量夹角的取值范围可得出结果.【详解】由，可得，所以，，因为，则，故，所以，，因为，因此，.故选：C.6．如图，正方体中，若，，分别是棱，，的中点，则下列结论中正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面平面【答案】C【分析】根据线面位置关系分别判断.【详解】由为正方体，且，分别是棱，的中点，则，则平面即为平面，A选项，如图连接，由正方体可知，又不成立，所以不成立，即A选项错误；B选项，由平面，故与平面不平行，B选项错误；C选项，连接，则，又平面，，所以平面，C选项正确；D选项，平面与平面有公共点，故D选项错误；故选：C.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件逻辑，结合不等式的性质，讨论、对应输出S的范围，即可得答案.【详解】由题设，，当，即且时，可得，所以且，此时；当时，.综上，输出的S的取值范围是.故选：B.8．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化成函数在上恰有3个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】函数在上恰有3个零点，，则，求得：.故选：D.9．设函数，若有四个实数根、、、，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出图象，分析可知，，，利用对数的运算性质可得出，可得出，利用单调性求出函数在上的值域，即可得解.【详解】作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为、、、，且，由图可知，点、关于直线对称，则，由图可知，，，由可得，所以，，所以，可得，所以，，易知函数在上为减函数，且，，故.故选：A.10．设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数，其中，则，当时，，所以，函数在上单调递增，因为，则，即，即，所以，，因为，故，即，即，因此，.故选：D.11．“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是（

）A．微、商、羽、角 B．微、羽、商、角C．商、角、微、羽 D．角、羽、商、徵【答案】A【分析】设宫的弦长为，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得答案.【详解】由题设，若宫的弦长为，则其它四音对应弦长依次为、、、，因为声音的音高与弦长是成反比，则四音的音高关系为，又音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，所以五音生成顺序为宫、微、商、羽、角.故选：A12．如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若是中点，连接，易得直线CM与面DEF所成角即为直线CM与面所成角为，利用线面垂直的判定可得面，由线面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判断的变化范围，进而确定最小时的位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可.【详解】若是中点，连接，则面DEF即为面，所以直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面所成角为，因为，，，则面，又F是的中点，则F到面的距离为.因为，，，则面，又面，则面面，又面，面面，所以直线CM与面所成角为，即为直线所成角.又△为等腰直角三角形且，则，由图知，M在线段上运动过程中，即直线CM与平面DEF所成角最小时，重合，此时，四面体MFCE的体积.故选：A【点睛】关键点点睛：利用线面垂直、面面垂直，结合M在线段上运动判断线面角的范围，应用数形结合思想判断角度最小时M的位置.二、填空题13．某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表：书法组舞蹈组乐器组高一x2030高二453010已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则_________．【答案】15【分析】利用分层抽样的等比例性质列方程，即可求出x.【详解】由题设，，解得.故答案为：15.14．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．【答案】>【分析】设、，类比题设的不等关系，判断两个分数的大小.【详解】令，则，令，则，所以，，根据题设知：.故答案为：>15．过双曲线C：的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是_________．【答案】【分析】取双曲线的一条渐近线，可求出，再由，可得，由题意可得直线的方程为，求出点，然后由列方程化简可求出离心率【详解】取双曲线的一条渐近线，即，因为右焦点，所以，因为，所以，所以，所以，因为直线与渐近线垂直，所以直线的方程为，令，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，得，，所以，所以离心率故答案为：16．已知圆内接四边形ABCD中，，，，，则_________．【答案】【分析】根据圆的有关性质可知，，由勾股定理求出，连接BD，利用余弦定理分别求出和，根据列方程，解方程即可.【详解】如图，在圆内接四边形中，，所以，，因为，所以，又，所以，连接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因为，所以，则，由，解得.故答案为：.三、解答题17．已知各项都不相等的等差数列中，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等比中项的性质及等差数列通项公式求基本量，即可得的通项公式；（2）由（1）有，应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求.【详解】(1)若的公差为，则，所以，解得，则.(2)由（1）知：，所以.18．在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．(1)求证：平面MBC；(2)已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】取CD的中点E，连接BE、NE，根据题意可得平面，平面，利用面面平行的判定定理和性质即可证明；(2)根据题意知四边形为菱形，可得直线AN与BC所成角为，利用余弦定理求出AM，进而求出，结合三棱锥等体积法即可求出点C到平面MBD的距离.【详解】(1)由题意得，取CD的中点E，连接BE、NE，则且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，又且，且，则且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，由得，平面平面，因为平面，所以平面；(2)因为矩形平面，所以平面，又，所以四边形为菱形，则，直线AN与AE所成角为，设AM的长为x，则，在中，由余弦定理，得，即，由解得，所以，得，在中，，所以的高为，故，设点C到平面MBD的距离为h，则，由，得，解得.即点C到平面MBD的距离为.【点睛】19．从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：10.5

9.9

9.4

10.7

10.0

9.6

10.8

10.1

9.7

9.3记样本均值为，样本标准差为s．(1)求，s；(2)将质量在区间内的零件定为一等品．①估计这台机器生产的零件的一等品率；②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P．【答案】(1)，s=(2)①；②【分析】（1）由平均数和方差公式代入即可求出答案；（2）①首先求出质量在区间内的零件定为一等品，再求出一等品的件数，则这台机器生产的零件的一等品率即可求出.②从样本中的一等品中随机抽取2件，有种情况，再求出两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况有7种，即可求出答案.【详解】(1)，=，所以s=.(2)①，质量在区间内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9，10.0，9.6，10.1，9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为.②从5件一等品中，抽取2件，有种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：，，，，，，共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P=.20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于a、b的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可；(2)设过点G的直线方程为、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线AM与BN的方程，两式相除，化简计算可得直线AM与BN的交点的横坐标为4，即可证明.【详解】(1)由题意知，，化简得，解得，故椭圆的方程为；(2)设过点G的直线方程为，，消去x，得，，设，则，所以又，得，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，两式相除，得，即，又，即，解得，即直线AM与BN的交点的横坐标为4，所以直线AM与BN的交点在定直线上.21．已知函数．(1)当时，证明：在定义域上是增函数；(2)记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据：，．）【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论.（2）对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．【详解】(1)由题设，且定义域为，因为，则，当且仅当时等号成立，而，所以，时有，故在上是增函数.(2)由题设，，则且定义域为，因为在内没有极值点，即或，所以或在上恒成立，令，则，当时；当时，令则，，所以在上递增，而，所以在上，故在上递增，而，综上，在上，即，所以，在上，即单调递增，则，故或，即a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问，对求导后，将问题转化为或在上恒成立，并构造函数，利用导数研究单调性求值域.22．在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）写出点C,M的直角坐标，求得圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可得答案;（2）将代入圆的极坐标方程中，利用根与系数的关系得到，再结合，求得的值，可得答案.【详解】(1)的直角坐标为，的直角坐标为，故圆的半径为