中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题22 解直角三角形模型之实际应用模型（教师版）

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为SKIPIF1<0，看底部C的俯角为SKIPIF1<0，无人机A到该建筑物SKIPIF1<0的水平距离SKIPIF1<0为10米，求该建筑物SKIPIF1<0的高度．（结果精确到SKIPIF1<0米；参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

【答案】该建筑物SKIPIF1<0的高度约为SKIPIF1<0米【分析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到SKIPIF1<0米，再利用锐角三角函数，求出SKIPIF1<0米，即可得到该建筑物SKIPIF1<0的高度．【详解】解：由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，答：该建筑物BC的高度约为SKIPIF1<0米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼SKIPIF1<0的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部SKIPIF1<0米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼SKIPIF1<0的顶部B处的俯角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0米．已知目高SKIPIF1<0为SKIPIF1<0米．

(1)求教学楼SKIPIF1<0的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于SKIPIF1<0的方向，以SKIPIF1<0米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线SKIPIF1<0．【答案】(1)教学楼SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0米(2)无人机刚好离开视线SKIPIF1<0的时间为12秒【分析】（1）过点B作SKIPIF1<0于点G，根据题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，通过证明四边形SKIPIF1<0为矩形，得出SKIPIF1<0米，进而得出SKIPIF1<0米，最后根据线段之间的和差关系可得SKIPIF1<0，即可求解；（2）连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点H，先求出SKIPIF1<0米，进而得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0米，即可求解．【详解】（1）解：过点B作SKIPIF1<0于点G，根据题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），答：教学楼SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0米．（2）解：连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点H，∵SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0米，∵SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），∵无人机以SKIPIF1<0米/秒的速度飞行，∴离开视线SKIPIF1<0的时间为：SKIPIF1<0（秒），答：无人机刚好离开视线SKIPIF1<0的时间为12秒．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形SKIPIF1<0，斜面坡度SKIPIF1<0是指坡面的铅直高度SKIPIF1<0与水平宽度SKIPIF1<0的比．已知斜坡SKIPIF1<0长度为20米，SKIPIF1<0，求斜坡SKIPIF1<0的长．（结果精确到米）（参考数据：SKIPIF1<0）

【答案】斜坡SKIPIF1<0的长约为10米【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用正弦函数求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米）．答：斜坡SKIPIF1<0的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度SKIPIF1<0，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为SKIPIF1<0，楼顶C点处的俯角为SKIPIF1<0，已知点A与大楼的距离SKIPIF1<0为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度SKIPIF1<0（结果保留根号）

【答案】大楼的高度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0．【分析】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．【详解】解：如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，

则四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴大楼的高度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心SKIPIF1<0处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点SKIPIF1<0．

(1)在图1中，过点SKIPIF1<0画出水平线，并标记观测SKIPIF1<0的仰角SKIPIF1<0．若铅垂线在量角器上的读数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地SKIPIF1<0米，站在SKIPIF1<0处观测SKIPIF1<0的仰角为（1）中的SKIPIF1<0，向前走SKIPIF1<0米到达SKIPIF1<0处，此时观测点SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，求树SKIPIF1<0的高度．（注：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)树SKIPIF1<0的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0米．设SKIPIF1<0米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；SKIPIF1<0；

（2）如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0米．设SKIPIF1<0米．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米），SKIPIF1<0（米），解得SKIPIF1<0．答：树SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0米．【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点，分别解、即可．【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的宽度约为64米．【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为SKIPIF1<0，点O是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为SKIPIF1<0，在E处测得电池板边缘点B的仰角为SKIPIF1<0．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽SKIPIF1<0的长度．（结果精确到SKIPIF1<0．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

【答案】SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，先证SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由此解出SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0的长．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图，

依题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，检验：SKIPIF1<0是原方程的根．SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，答：太阳能电池板宽SKIPIF1<0的长度约为SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．例4．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角SKIPIF1<0的斜坡SKIPIF1<0，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼SKIPIF1<0的楼顶C的仰角SKIPIF1<0，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线交水平线SKIPIF1<0于点D，求SKIPIF1<0的长（结果保留根号）．

【答案】SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0米【分析】作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，首先根据坡度求出SKIPIF1<0，并通过矩形的判定确定出SKIPIF1<0，然后通过解三角形求出SKIPIF1<0，即可相加得出结论．【详解】解：如图所示，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则由题意，四边形SKIPIF1<0为矩形，

∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0是上述方程的解，且符合题意，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．模型3、拥抱模型图1图2图3图4【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架SKIPIF1<0放在离树SKIPIF1<0适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架SKIPIF1<0上的点E处，然后沿着直线SKIPIF1<0后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，观测者目高SKIPIF1<0的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0于点B，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，则这棵树的高度（SKIPIF1<0的长）是米．

【答案】4.1【分析】过点SKIPIF1<0作水平线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据镜面反射的性质求出SKIPIF1<0，再根据对应边成比例解答即可．【详解】过点SKIPIF1<0作水平线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图，

∵SKIPIF1<0是水平线，SKIPIF1<0都是铅垂线．∴SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0（米），又根据题意，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0(米)．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔SKIPIF1<0前有一座高为SKIPIF1<0的观景台，已知SKIPIF1<0，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为SKIPIF1<0，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的长；(2)设塔SKIPIF1<0的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段SKIPIF1<0的长（结果保留根号）；②求塔SKIPIF1<0的高度（SKIPIF1<0取0.5，SKIPIF1<0取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）①分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用锐角三角函数定义求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而可求解；②过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．可证明四边形SKIPIF1<0是矩形，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，利用锐角三角函数定义得到SKIPIF1<0，然后求解即可．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．（2）解：①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．②如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．根据题意，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．答：塔SKIPIF1<0的高度约为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．课后专项训练1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大仰角为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，则点SKIPIF1<0到桌面的最大高度是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，利用解直角三角形可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据点SKIPIF1<0到桌面的最大高度SKIPIF1<0，即可求得答案．【详解】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到桌面的最大高度SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则房顶A离地面SKIPIF1<0的高度为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：∵它是一个轴对称图形，∴SKIPIF1<0m，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0房顶A离地面SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．3．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角SKIPIF1<0，再沿SKIPIF1<0方向前进至C处测得最高点A的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则灯塔的高度SKIPIF1<0大约是（

）（结果精确到SKIPIF1<0，参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0中，得出SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据正切得出SKIPIF1<0，求解即可得出答案．【详解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0灯塔的高度AD大约是SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(

)A．(600－250SKIPIF1<0)米B．(600SKIPIF1<0－250)米C．(350＋350SKIPIF1<0)米D．500SKIPIF1<0米【答案】B【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即SKIPIF1<0，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=SKIPIF1<0x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=SKIPIF1<0CD．∴1200+x=SKIPIF1<0（500+SKIPIF1<0x），解得x=600﹣250SKIPIF1<0．∴DF=SKIPIF1<0x=600SKIPIF1<0﹣750．∴CD=DF+CF=600SKIPIF1<0﹣250（米）．∴山高CD为（600SKIPIF1<0﹣250）米．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用．5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高SKIPIF1<0的天桥，已知天桥斜面SKIPIF1<0的坡度为SKIPIF1<0，则斜坡SKIPIF1<0的长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】直接利用坡度的定义得出SKIPIF1<0的长，再利用勾股定理得出SKIPIF1<0的长．【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门SKIPIF1<0高6.5米，学生SKIPIF1<0身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为SKIPIF1<0，当学生刚好离开体温检测有效识别区域SKIPIF1<0段时，在点C处测得摄像头A的仰角为SKIPIF1<0，则体温检测有效识别区域SKIPIF1<0段的长为（）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．10米 D．5SKIPIF1<0米【答案】B【分析】由题意得SKIPIF1<0米，分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用三角函数求出SKIPIF1<0，即可得解．【详解】解：由题意得，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米．故选B．【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．7．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中SKIPIF1<0处探测到某地面目标在点SKIPIF1<0处，此时飞行高度SKIPIF1<0米，从飞机上看到点SKIPIF1<0的俯角为SKIPIF1<0飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行SKIPIF1<0米到达点SKIPIF1<0时，地面目标此时运动到点SKIPIF1<0处，从点SKIPIF1<0看到点SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，则地面目标运动的距离SKIPIF1<0约为米．（参考数据：SKIPIF1<0）

【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所述，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据正切的计算方法可求出SKIPIF1<0的值，在SKIPIF1<0中根据角的正切值可求出SKIPIF1<0的值，由此即可求解．【详解】解：根据题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴如图所述，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是解题的关键．8．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面SKIPIF1<0的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为SKIPIF1<0，尚美楼顶部F的俯角为SKIPIF1<0，已知博雅楼高度SKIPIF1<0为15米，则尚美楼高度SKIPIF1<0为米．（结果保留根号）

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】过点E作SKIPIF1<0于点M，过点F作SKIPIF1<0于点N，首先证明出四边形SKIPIF1<0是矩形，得到SKIPIF1<0，然后根据等腰直角三角形的性质得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0角直角三角形的性质和勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求解．【详解】如图所示，过点E作SKIPIF1<0于点M，过点F作SKIPIF1<0于点N，

由题意可得，四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵博雅楼顶部E的俯角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点A是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，由题意可得四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵尚美楼顶部F的俯角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．9．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中SKIPIF1<0，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为SKIPIF1<0cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是_______cm．【答案】

90cm

SKIPIF1<0【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据SKIPIF1<0，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接SKIPIF1<0，判断当AP＝MP时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，∵SKIPIF1<0，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，∴SKIPIF1<0，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，当AP＝MP时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在AB边上，连接SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱SKIPIF1<0垂直地面SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，支架SKIPIF1<0平行地面SKIPIF1<0，篮筺SKIPIF1<0与支架SKIPIF1<0在同一直线上，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面SKIPIF1<0米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，根据题意得出SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0比较即可求解．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴该运动员能挂上篮网．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．11．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度SKIPIF1<0（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度SKIPIF1<0．任务3换算高度楼房实际宽度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1SKIPIF1<0．【答案】规划一：[任务1]选择点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，测得图上SKIPIF1<0；[任务2]SKIPIF1<0；[任务3]发射塔的实际高度为SKIPIF1<0米；规划二：[任务1]选择点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．[任务2]SKIPIF1<0；[任务3]发射塔的实际高度为SKIPIF1<0米；【分析】规划一：[任务1]选择点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上SKIPIF1<0[任务2]如图1，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可求解；[任务3]测得图上SKIPIF1<0，设发射塔的实际高度为SKIPIF1<0米．由题意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，规划二：[任务1]选择点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上SKIPIF1<0；[任务2]如图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而即可求解．[任务3]测得图上SKIPIF1<0，设发射塔的实际高度为SKIPIF1<0米．由题意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．规划一：