苏教版选择性必修第二册6.2.2空间向量的坐标表示随堂练习

【精挑】6.2.2空间向量的坐标表示随堂练习

一.单项选择

1.如图，在三棱柱ABC-451G中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,

AAl=6,若E,R分别是棱5用，CG上的点，且=C1F=；CG，则

异面直线AE与AF所成角的余弦值为（）

2.在空间直角坐标系O-孙z,4（0,1,0）,5（1,1,1）,C（0,2,l）确定的平面记为a,

不经过点A的平面夕的一个法向量为〃=（2,2,—2）,则（）

A.al1/3B.aVpC.。，尸相交但不垂直D.所成的锐二面角为

60°

3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABC。，且

77

PD=AD=1,AB=2,点E是A5上一点，当二面角P—EC—O为了时，AE=（）

A.2-73B.C.2-拒D.

4.

如图，在三棱锥「月回中，不能证明/匹笈的条件是（

w

A.APVPB,APVPC

B.APLPB,BCLPB

C.平面小7_L平面4CBCLPC

D.加工平面W

5.设O—ABC是正三棱锥，G]是AABC的重心，G是上的一点，且OG=3GG1,

若OG=xOA+yOB+zOC,则（x,y,z）为（）

（）（、门（、

111333c1DD'222

卜L'Z'zJB-[zqqj-Ijg'J

6.如图，在长方体A3CD—ABC'。'中，点尸，。分别是棱BC,。上的动点，

BC=4,CD=3,CC'=，直线CC与平面P。。所成的角为30°,则APQC的面积

的最小值是（）

7.正方体ABCD-AgG，中，点P在4。上运动（包括端点），则“与AD】所成角

的取值范围是（）

8.如图，在三棱柱A3C-4用£中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4,

的=6,若E.R分别是棱5片，CG上的点，且BE=4E,C/=：CG，则异

面直线AE与A厂所成角的余弦值为（）

A.BB.逋j是D.正

6101010

9.在正四棱锥S-ABCD中，。为顶点S在底面的射影，P为侧棱S。的中点，且

SO=OD,则直线3c与平面PAC所成的角是（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

10.如图，三棱柱ABC—AAG中，侧棱A4,上底面A4G，A4=AC=BC=1,

ZACB=9Q°,。是A4的中点，尸是8片上的点，A瓦，交于点E,且

A4_LDF,则下面结论中不正确的为（）

A.CE与5G异面且垂直B.ABX1CXF

C.CQF为直角三角形D.的长为半

11.从点A（2,-l,7）沿向量a=（8,9,-12）的方向取线段长|AB|=34,则B点的坐标为（）

711

（6,-1）（一2,---,13）

A.（18,17-17）B.（-14-19,17）。2D,2

12.如图所示，在直三棱柱ABC-AIBIJ中，AB=AA1=2,“ABC=90°,点E、F分别是棱

AB'BB1的中点，当二面角CI-AARB为45。时，直线EF和BJ所成的角为（）

A.45°B,60°c,90°D,120°

13.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是

（0,0,0）,（1,0,1）,（O,l,l）,Q,1,O］绘制该四面体三视图时，按照如下图所示的方向画正

视图，则得到左视图可以为（）

14.如图是一个正方体的平面展开图，其中分别是EG,。尸的中点，则在这个正

方体中，异面直线40与CN所成的角是（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

15.已知三棱柱ABC—ABG的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为4ABC

的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（）

16.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD!_平面CBD,则异面直线

AD,BC所成的角为（）

A.120°B.30°C.90°D.60°

17.

在直三棱柱44G中，AB=\,AC=2,BC=布,D,£分别是/G和阳的中点，则

直线应与平面圈GC所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

18.已知空间上的两点A（-2,2,l）,B（-2,0,3）,以AB为体对角线构造一个正方体，则该正方

体的体积为（）

A.3B.2由c.9D.3而

参考答案与试题解析

1.【答案】D

【解析】以的中点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（2百,0,0）,

a（260,6）,E（0,2,3）,F（0,-2,4）,4石=卜2"2,—3）,”=卜26—2,4卜

设&E,AF所成的角为。，则cos'=3空竺1—^=—.

I4£|-|AF|5x4&10

【考点】线面角.

2.【答案】A

【解析】•；A（0,L0），5（1,1,1）,C（0,2,l））确定的平面记为a,

/.AB=(1,0,1),AC=(0,1,1),

设平面a的法向量加=(x,y,z),

AB=%+z=0

则｛不妨令x=l,得加=（LI，T，

m>AC=y+z=0

•.•不经过点A的平面B的一个法向量为n-=（2,2,?2）,

n二(2,2,—2)=2m,

Ja〃8.

故选：A.

3.【答案】A

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则

A（l,0,0）,B（l,2,0）,C（0,2,0）,D（0,0,l）,E（l,/,0）,设平面的一个法向量为

x-2-t

〃=（苍y,z）,由于。石=（"-1）,。。=（0,2,-1）,所以{7n{y=l，

2y—z=0

z=2

即«=（2-r,l,2）,又平面ABCD的一个法向量是勺=（0,0,1）且

〃•珥=2nJ（2—/『+4+1义曰=2,解之得t=2—宕，应选答案A。

4.【答案】B

【解析】A中，因为APLPB,APLPC,PBCPC=P,所以4L平面PBC,又BC2平面PBC,

所以加L6G故A正确；

C中，因为平面阅匕平面必。,比L役,所以比人平面APC,APl平面所以APLBC,

故C正确；

D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APLBC,

故选B.

点睛：垂直.平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面.面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

5.【答案】A

【解析】由G是。G］上一点，且OG=3GG「可得

OG=^OGi=1(OA+AG1)=|OA+^AGI

21.

又因为G1是AABC的重心，所以AG=§[i(A3+AC)]

OG=|OA+|-|[|(AB+AC)]

=-OA+-[(OB-OA)+(OC-OA)]=i-OA+-OB+-OC

44444

而。G=xO4+y。-所以=所以(3)=(：■，选A.

【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.

6.【答案】B

【解析】以C为原点，以CD,CB,CC,为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则C(0,0,0),C(0,0,273),PC=(0,-a,2A/3),设P(0,a,0),Q(b,0,0),于

是0<aW4,0<b^3.QC=(-b,0,273),PC=(0,-a,2^),CC'=(0,0,273)

/、n-PC'=0—ay+2-\/3z=0

设平面PQC'的一个法向量为"=(X,%z)贝ij{,-广令z=l，

n-QC'=0-&X+2A/3Z=0

得

n=[—,^,11'.n-CC'=2AlcCk2百，卜=M+^|+l

baII11\ba

111212a1.

cos几,CCr=——T+-y=3ci9+b=：a2b?22ab,解得ab28.

fl212i201b24

庐+11

・••当ab=8时，SAPQC=4,棱锥C'-PQC的体积最小,

直线CC'与平面PQC'所成的角为30°,，C到平面PQC'的距离d=2gx!=J^

2

—$4x26=#…技—",=8

故选B

点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往

往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.

7.【答案】D

【解析】以点D为原点，DA.DC.DD[分别为X、y、z建立空间直角坐标系，设正方

体棱长为1,设点P坐标为(羽1—羽可，则3P=(x-l,f㈤,3C]=(-1,0,1)设

BP、BC[的夹角为a，所以

BPBC.

cosaL

=।麻——n麻——

81

cosa取最大值~~,(x——o当x=l时，cosa取最小值;=彳。因为

2623

BCJ/AD,o故选D。

【点睛】因为BCJ/ADi，所以求3£、BP夹角的取值范围。建立坐标系，用空间向

量求夹角余弦，再求最大.最小值。

8.【答案】D

【解析】以A5的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为A3=4,叫=6且BE=4E,C/=,

所以4石=(0,—2,0),AF=(-273,2,4),

e/4l4厂\AE-AF-a^2

贝！]cos〈4片,A尸〉—।——...——=7=——~,

A£|-|AF5X47210

所以异面直线4E与AF所成的角的余弦值为旨，故选D.

点睛：本题考查了异面直线所成的角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角的方法,

根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量4旦"所成角的求解是解答的关键•

9.【答案】D

【解析】如图所示，以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

设OD=SO=OA=OB=OC=a,

aa

则A(a,O,O),B(O,a,O),C(-a,O,O),P(O,CA=(2a,0,0),PA=

22

2ax-0

设平面PAC的法向量为〃=(尤,y,z)则｛aa八可求得则

''-ax——y+—z=0'7

2-2

cosBC=,"=60".♦.直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.

2

故选D.

点睛：本题考查了直线与平面所成的角的概念及利用空间向量的方法求解空间中的直线

与平面的夹角，注意计算的准确性.

10.【答案】D

以。为原点,CA为x轴,CR为y轴,GC为z轴,建立空间直角坐标系,

由题意A】(1,0,0),Bi(0,1,0),D(g,!，0),a(0,0,0),A(l,0,1),设F(0,1,t),0?t?1,

22

,**ABy_LDF,AB1・D尸——+——0,,解得t—1.

二线段OR的长为.Jl2+Q^|=£=乎，故D不正确.

故选D.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰

当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求

法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

n.【答案】A

【解析】设B点坐标为(x,y,z),则京=入:(入>0),gp(x-2,y+l,z-7)=A(8,9,-12),因为|京|=34,

即旧64+入281+入2144=34,得人=2,所以x=18,y=17,z=-17。故选A

12.【答案】B

如图，因为三棱柱ABC-A]BR中是直三棱柱，'AAI，平面A[B[C],则

A1C11AAVA1B11AAyNB]A]C]为二面角CrAA]-B的平面角等于45°,

・"即]=3=45°,且AIB]=AB=2-B]C]=BC=2,以B为原点，分别以吃酬外，所

在直线为x"z轴建立空间直角坐标系，则BQO,O),E(O,1,O),C](2,O,2),F(O,O,1),

----BJEF21

•••BJ=(2,0,2),EF=(0-1,1),cos<BC“EF>=一一=亍―产=-一

际府商也2,..叫与EF的夹角为60。,

即直线EF和兴1所成的角为60,故选笠

13.【答案】B

【解析】满足条件的四面体如右图,

依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果

如右图，

故选：B.

14.【答案】D

由展开图还原正方体如图，以DA,DC为x轴.y轴.Z轴建立空间直角坐标系,

设正方形的棱长为2,可得向量CM=（0,-2,1）,AM=（0,1,2）,

Gif.AA^=0x0+（-2）xl+lx2=0,CMLAN，异面直线A"与CN所成的角是

90°,故选D.

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角空间向量的应用，属于难题.求异面直线

所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，

分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用

平行四边形.三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

15.【答案】B

【解析】如图，设Ai在平面ABC内的射影为0,以。为坐标原点，0A.OAi分别为x轴.z

轴建立空间直角坐标系如图.

f,o,o］，4

设AABC边长为1,则A

13)

5A/31&

AB,—【一丁万可

又平面ABC的法向量为〃=（O,O,l）.

设ABj与底面ABC所成角为a,

阿iM

故直线ABi与底面ABC所成角的正弦值为-y.选B.

16.【答案】D

【解析】过A作AO'BD,