新教材苏教版必修第二册第11章解三角形111~11

第11章解三角形

11.1"1.3综合拔高练

五年高考练

考点1利用余弦定理和正弦定理解三角形

1.（2021全国甲文,8,5分，掇）在比中，已知展120°，力年回/展2,则BC=

（）

B.V2C.V5

2.（2021浙江,14,6分，城）在△Z6C中，/尻60。，力庐2,〃是a'的中点，力加2f,则

AO,cosN例C=.

3.（2021新高考/,19,12分,婚）记△Z6C的内角4月。的对边分别为a,b,c.已知

^2=ac,点。在边ZC上，勿sinNA5??=asinC

⑴证明:吩厅

（2）若A氏2DC,求cos/ABC.

4.（2020新高考分，播）在①ac=W，②csin[=3,③6-百8这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求。的值;若问题中的三角形不存

在，说明理由.

问题:是否存在△Z6C它的内角力以。的对边分别为且

sinJ=V3six\B,C=^,?

6------------------

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

5.（2019江苏,15,14分,不）在△四。中，角44。的对边分别为a,b,c.

⑴若a=3c,W^,cos庐|,求c的值；

（2）若萼=噤，求sin（B+刍的值.

6.(2020江苏,16,14分,姨)在△/回中，角44c的对边分别为a,b,c,已知

年3,。二金,庐45

(1)求sin。的值；

(2)在边比上取一点〃使得cosNZ此总求tan/%。的值.

考点2三角形面积公式的应用

7.(2021全国乙理,15,5分，母)记△力回的内角。的对边分别为a/,c,面积为

百,户60。，3+。2=3&。,则b=.深度解析

8.(2019课标全国〃,15,5分，箱)△Z6C的内角44C的对边分别为a,b,c.若

b=6,所2c,庐翔I」〜比的面积为.

9.(2019课标全国〃7,18,12分,*04力£。的内角的对边分别为a,b,c.已知

asin^^=6sin4

2

⑴求身

(2)若△力比为锐角三角形，且c=l,求△力面积的取值范围.

考点3余弦定理和正弦定理在实际问题中的应用

10.（2019江苏,18,16分,"）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直

线型公路，，湖上有桥/以力£是圆。的直径）.规划在公路,上选两个点E。,并修建

两段直线型道路分,，，规划要求:线段PB,QA上的所有点到点。的距离均不小于圆

。的半径.已知点46到直线/的距离分别为北和做为垂足），测得

Z展10,/e6,吩12（单位:百米）.

⑴若道路必与桥Z6垂直,求道路心的长；

⑵在规划要求下/和0中能否有一个点选在。处？并说明理由；

⑶在规划要求下，若道路必和力的长度均为«单位:百米），求当d最小时上0两点

间的距离.

DCI

三年模拟练

1.（2020江苏南通海安高一月考,姨）已知锐角三角形/欧的内角。的对边分别

为24G且H=26sin4贝UcosZ+sinC的取值范围是（）

(-今⑹D.(|,⑹

2.（2021山东昌邑一中高一期中,小）在△力比中，"是的中点，加是阳的中点.若

N四”，△/比的面积为百，则前•前取最小值时，焰（）

6

V3-12D.蜉-4

3.（2021江苏梁丰高级中学高一月考,小）在a力比中，角力、B、。所对的边分别为a、

b、°,且1+2»&2+4+6,若△力的面积为呼，则cos管+/）sin£的取值范围是

4.（2020苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）高三第一次质量检测,*）如图，在△

力£。中,〃£是£。上的两个三等分点，荏•AD=2AC-荏，贝ljcosNZ座的最小值

为.

5.（2021山东泰安第一中学高一期中,"）欧几里得在《几何原本》中,以基本定义、

公设和公理作为全书推理的出发点.其中第/卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理

（勾股定理），书中给出了一种证明思路:如图,比中,N掰e90。，四边形

ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,ANIDE于点、N,交于点M.先证AZ庞与△物。全等,

继而得到矩形施愀与正方形ABHL面积相等，同理可得到矩形CW与正方形ACFG

面积相等,进一步定理可得证.在该图中，若tanN掰斤提则sinN应大,

6.（2021山东临沂高一期末,*）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围

停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.

李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是

就业勘位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者

陈某准备在商场门前'摆地摊"，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块如图所示的

区域，其中NZ吠120°,且在该区域内的点4处有一个路灯，经测量点7?到区域边界

PA、分的距离分别为心4叫兄*6m.陈某准备过点月修建一条长椅网点也〃分别

落在山,心上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

⑴求已人两点间的距离；

（2）为优化经营面积，当加等于多少时，该三角形区域冏W的面积最小？并求出面积

的最小值.

A

S'

PTNB

7.（2020江苏南通通州高一下学期期中,"）如图，在Rt△26。中，点瓶及在斜边BC上

的〃异于且N柱〃。之间）.

⑴若是/掰。的平分线4加3,且谶2幽求△力比的面积;

（2）已知45=3,/年3百,/例年三，设N掰加9.

6

①若sin。=与，求腑的长；

②求△/腑面积的最小值.

RM1\1

答案全解全析

第n章解三角形

综合拔高练

五年高考练

1.D解法一:设△Z6C的内角力以。的对边分别为8互0,在4力£。中,由题意知

为g,c=2,由余弦定理得代I?++2cacosa即19=4+a2-2•2a•cosl20°,整理得

4+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍)，所以BO3.故选D.

解法二:在回中，由正弦定理得黑=黑，即普=告，所以sin版缜后又

sinFsinCsinl20sinCV19yj19

0°360°,所以COS/?=Vl-sin2C=^,所以

।-JTQX-^5-

sin走sin(£+C)=sin及os/cos厌简会?><亮+©>门=慧，所以况浮=十=3.

T

2.答案2质;誉

解析解法一:由题意知在△力胸中总户2,N左60°，力22g,

由余弦定理得A生A#+B就-2AB•酬cos及即12=4+胡-4-BM'

解得联4或联-2(舍)，

•.•〃为的中点,.•.册心4,小8,

在△加。中,由余弦定理知AC=Ag+BC-2AB•BC*cosB,

：.必=4+64-2X2X8X1=52,

.•.心2底.

在△闻心中，由余弦定理可得

cosN也"苗+状.=12产生=返.

2AM,AC2x2>/3x2\/1313

解法二:过力作AHLBC交BC于H,'：AB=2,ZB=6Q°,：.A4，又

22

Z/2同/.HHi,B后MO4,AOyjAH+HC2=JAH2+(HM+MC)=V3+49=2713.

在LAMC中，由余弦定理可得

cosN例建笔%普.12+52-16_2V39

2X2V3X2V13131

3.解析⑴证明:在△26。中，由BD・sinNZ叱asin。及正弦定理可得BD・Ka•c,

又出ac,所以BD•斤|故BD=b.

(2)由Z氏2%得A%b,D*,

在4ABD中,COSZ=4J+4BJBD匕g匕典

'2AD-AB2x|bc孤'

在△板中,05/二叱：廿2严2=、2：一02

'2AC•AB2bc'

所以之1£=庐+02-。2

人孤2bc'

化简得3c2-1162+6养0,

又一=ac,所以3c2_llac+6a2=0,

即(b3a)(3b2a)=0,

所以c=3a或c=1a.

当c=3a时,彦=&<^3],所以所遮a,此时a+仪g故a,女c构不成三角形;

当c=|a时，为ac=|a；所以乐黑,此时a,4c可以构成三角形，

故片名乐箓,所以在4力欧中,cosNZ比曰/=办学=白

12

332ac2a•第

4.解析方案一:选条件①.

由可和余弦定理得官『考.

62ab2

由siih4=V5sin5及正弦定理得年V55.

于是直咛畔，由此可得乐C.

273b乙

由①ac^VJ,解得a=V3,Z^c=l.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时^1.

方案二:选条件②.

由可和余弦定理得弯产景

62ab2

由sin/=V5sin夕及正弦定理得年百5.

千日3b2+b2~c2—y/3

丁72例2-不

由此可得b=c,B=C=l，A=^-.

oJ

由②csinZ=3,所以c^Z^2V3,a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时C=243.

方案三:选条件③.

由党和余弦定理得穹『善.

62ab2

由sinZ=gsin£及正弦定理得3F塞b.

于是嘿r考，由此可得fc.

由③c=V54与b=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

5.解析⑴因为&=3。,反仿(：05f全

所以由C0S庐。-庐

2ac

2-(3C)2+C2-(V2)2

［否2x3cxc'

即I9解得。卷.

(2)因为今生噗，

所以由正弦定理彳导篝=嘤，

所以cos7?=2sin^

从而cos)庐(2siM；

即cos之企4(l—cos2助故cos2^.

因为sin皮0,所以cos於2sin皮0,

从而cos'等.

因此sin(B+步cost等.

6.解析⑴在△Z6C中，因为a=3,c-鱼，户45°,所以由庐得6=9+2-

2X3XV2XCOS45°=5,所以斤烟.

在△力£0中，由马得磊=霁，所以sineg

s\nBsinCsin45sinC5

(2)在中，因为cosZAD(=~l，

所以NN%为钝角，

而氏180°,所以NO为锐角,

故COSC=Vl-sin2C=2^,

贝I」tanT片，

cosc2

因为cosZAD(=~l，

所以sinZADC=y/i-cos2ZADC=1,

tanNZ〃仁sinZADC-.3

cosZADC4

从而tanN的＜^tan(180°-ZADC-ZQ=-tan(ZADC+Z6)=-^ADC+^C

1tsn^-ADC,tanf

7.答案2或

解析由S△标=gacsin庐^ac=V^得ac=4.由tj=a+c-2ac•cosB=a+c-ac,

结合a2+c=3ac得至!)Z?2=2ac=8,/.b=2也

方法总结

解三角形问题时，若条件中含有边的二次式和角,则考虑用余弦定理;若条件中含有

角或边的一次式,则考虑用正弦定理;特征不明显时，两个可能都用.

8.答案6V3

解析由庐:a2+c2_2accos£及已知得62=(2c)2+d-2X2cXcXg,

.,.c=2g(c=-2V5舍去)..,.齐2c-4g,

Z.4ABC的面积S=^acsingX4V3X2V3X堂6VL

9.解析(1)由题设及正弦定理得sinZ•sin竽=sin£sin4

因为sinZWO,所以sing^=sin£.

由Z+吩e180。，可得sin^=cosf,

故cos|=2sin|cos1.

因为cos#0,所以sin|=|,

因为0°<B<180°,

所以0°<(<90。，所以5=60

(2)由题设及⑴知△力的面积^acsinB=^a.

由正弦定理得_csin24_sin(120°-C)_V3_|_1

'sinCsinC2tanC2*

由于△4%为锐角三角形,

故0°储<90°,0°〈伏90°.

由⑴知A+(=120。，所以30°<6<90°,

故关L水2,从而o争SZ哗.

因此,△26。面积的取值范围是(看中.

oZ

10.解析⑴如图，过力作四，能垂足为£.

由已知条件得，四边形/切£为矩形，

DE=BE=AC=6百米，力后6Zt8百米.

因为必，仍所以cosN必)sinNZ应书喙

所以小詈15(百米).

cosNPBOz'7

5

因此道路分的长为15百米.

?2191

（2）不能，理由如下:

①若尸在〃处，由⑴可得£在圆上，则线段座上的点（除用勾到点。的距离均小于圆

。的半径，所以2选在。处不满足规划要求.

②若0在〃处，连接Z〃贝|J4JAE2+ED2=10百米，

从而COS/物女号黑黑喉〉0,

所以/胡。为锐角.所以线段42上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此0选在〃处也不满足规划要求.

综上/和0均不能选在。处.

（3）先讨论点〃的位置.

当N如砍90°时，线段分上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点P不符合规划

要求；

当/瞅290。时,对线段分上任意一点£0Q/即线段期上所有点到点。的距

离均不小于圆。的半径,点尸符合规划要求.

设幺为/上一点，且由⑴知，幺展15百米，

此时幺氏XSsinNX吩X£cosN场=15X|=9（百米）；

当N加分90。时，在△阳£中，质X庐15百米.

由上可知,215百米.再讨论点0的位置.

由（2）知,要使得,215百米，点0只有位于点。的右侧,才能符合规划要求.当

，=15百米时，份师方:五芋*=3历（百米）.此时，线段QA上所有点到点。的距

离均不小于圆。的半径.

综上，当PB2AB,点0位于点。右侧，且CQ=342i百米时,d最小，此时五,0两点间的距

离凰外⑦817+3同（百米）.

因此，当d最小时£0两点间的距离为（17+3历）百米.

三年模拟练

应用实践

1.B由正弦定理及已知得sin/=2sina,sinJ,

因为sinZWO,所以sin生;，

由于三角形力是锐角三角形,

所以B=ol

由

所以cos/+sinC=cos/+sin偿-a)

=cosJ+^2cos/+冬2inA

=-cos24+—sinJ

22

=V5sin(/+»

由于吊

所以si(+/(*),

所以回in(4+§若,|).

2.A因为在AZ比中,N掰e巳△力比的面积为6,

6

所以•AB*AC*sin：

26

所以Z£・J<^4V3,

又〃是灰的中点，"是阳的中点,

所以赤号(同+三后荏+海,

所i^AN-(AB+AM)~(AB+^AB+^AC^-AB+^AC,

则俞,AN=^-AB+-AC^,(-

萍+IAB|2+1XB•AC+l\AC\2

22Z

得同巴|研宿cos去■^\AC\2^\AB\l^cl+^l^l\AC\=^\AB\•I初=6,

当且仅当⑸词=|力，即H皆=2时等号成立，所以在△加。中由余弦定理可得

BG=AR+AG-2AB-ACcosZBAO4+12-2X2X2Kx苧=4,

所以B（=2.

故选A.

3.B由三角形的面积公式可得S△咨；•absinC=^-,absinC=3y/3.

c+2ab=a+lj+6,

•QQg^T_a24-b2-c2_2ab-6_ab-3

2ab2abab'

由siWcOsZj可得件）2+%户1,/.5/^6,/.cos

・・・0（伏兀厕0〈偌,

/.cos（m+z）sin企sin/sin企sin/sin（/+6）=sin/GsirL4+

@COSA）总sin/+渔sin/cosZ=逅sin2/+^^^•sin（24-当+L

316661

.•.1〈siQ4户1,

.,.0<|sin（2X-=）+|<|,

因此cos管+4）sin£的取值范围是（o,|],

故选B.

4.答案i

解析解法一：AD=AB+BD^BD-BC,

AD=AB+^5C=AB+|（XC-XB）

=1椅挺①

同理可得就三荏+:幅②

由（I）^^AB=2AD-AE,AC=2AE-AD,

"."AB•AD=2AC•福

(2AD-AE)•AD=2(2AE-AD),AE,

：.2AD2+AD•版=4版2,

/.2AD2+\AD\•\AE\•COSZDAE=^AE2,

由余弦定理得2万2+1万1・1福・正言武

2\AD\,\AE\

：.^AD2+AD2+AE2-DE2=SAE2,

：.AE2=^(5AD2-DE2),

即初=；（5/力-吐）,

.加+花-盘一心+。£2-池2+；谓

由余弦定理得cosZADE=-

2AD•DE2AD•DE

_延处

2+2_AD_^_4DE

2AD•DE~7DE7AD

22唇谯弓当且仅当益=喘，即Z氏2庞时等号成立.

...cosNZ庞的最小值为之

解法二:由题意得，方=方+方=而+前，

AC=AD+'DC=AD-2'ED,

AE=AD+~DE=AD-~ED,

X"."AB•AD=2AC•AE,

(AD+'ED).XD=2(^D-2EP)•(XD-ED),

整理彳导7万,ED=XD2+4FD2,

即7|加国IcosN力吐I利?+4屈

所以cos/血族吧+4阳2

7\AD\­\ED\

当且仅当黑吉黑，即|词=2屈］时，等号成立.

\ED\\AD\

二•cosN/座的最小值为:

5,答案S

解析设AB=k,A用以80&可得货+宿=宜,又△ABE^X

HBC,.*.AB^C^HL1+CL2=lk2+(m+k)2,

丛

在ABE中,tanN掰后c萼os驾BAE总3，

又sir?/创研cos?/胡斤］,

・・.sinN现后高,cosN现后品，

由cos4BAE:AB'AEFEZ

2AB・AE

_/c2+(k+m)2+fc2-n2

2kjk2+(k+m)2

-2k2+2km

2kj2k2+2km+m.2

k+m—3

J2k2+m2+2km

化简，得8A2-2吐/=0,

解得厅24炉-4A舍去),

又J^+in-n,/."亚k,

在△11班中，由AB_BE

sinZBEAsinZBAE1

即k•=今,可得sinN

sinZBEA

TTo

6.解析⑴如图，连接ST；PR,

在△EST中,/必％60°,

由余弦定理可得S72=42+62-2X4X6XCOS60°=28,...S乃2bm.

由余弦定理可得cosNS怵-28+36-16-2V7

嘿等2x277x67

在△处7中,sinN〃於cosNS府好

由正弦定理可得心：,ST

sinl20°

....SMPTS=2"幺M（）

收

sinl20°T3',

在Rt△夕夕中，跳^^+夕邑干+^^）；苧.•.小殍m.

（2）V5k«F|•PM-PN-sinl20°PM-PN,又5kmkSw”+丛

战弓X